2443

11

методы не дают точных решений, но позволяют задать точность решения.

Имитационные методы моделирования (ИМ). С развитием вычислительной техники широкое применение получили имитационные методы моделирования для анализа систем, преобладающими в которых являются стохастические воздействия.

Суть ИМ заключается в имитации процесса функционирования системы во времени, соблюдением таких же соотношений длительности операций, как в системе-оригинале. При этом имитируются элементарные явления, составляющие процесс: сохраняется их логическая структура, последовательность протекания во времени. Результатом ИМ является получение оценок характеристик системы.

Известный американский учёный Роберт Шеннон [1] даёт следующее определение: "Имитационное моделирование есть процесс конструирования модели реальной системы и постановки экспериментов на этой модели с целью либо понять поведение системы, либо оценить (в рамках ограничений, накладываемых некоторым критерием или совокупностью критериев) различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы". Все имитационные модели используют принцип чёрного ящика. Это означает, что они выдают выходной сигнал системы при поступлении

внеё некоторого входного сигнала. Поэтому в отличие от аналитических моделей для получения необходимой информации или результатов необходимо осуществлять "прогон" имитационных моделей, т. е. подачу некоторой последовательности сигналов, объектов или данных на вход модели и фиксацию выходной информации, а не "решать" их. Происходит своего рода "выборка" состояний объекта моделирования (состояния – это свойства системы

вконкретные моменты времени) из пространства (множества) состояний (совокупность всех возможных значений состояний). Насколько репрезентативной окажется эта выборка, настолько результаты моделирования будут соответствовать действительности. Этот вывод показывает важность статистических методов оценки результатов имитации. Таким образом, имитационные модели не формируют своё собственное решение в том виде, в каком это имеет место в аналитических моделях, а могут лишь служить в качестве средства для анализа поведения системы в условиях, которые определяются экспериментатором.

12

Применение имитационного моделирования целесообразно при наличии определённых условий. Эти условия определяет Р. Шеннон:

1.Не существует законченной математической постановки данной задачи либо ещё не разработаны аналитические методы решения сформулированной математической модели. К этой категории относятся многие модели массового обслуживания, связанные с рассмотрением очередей.

2.Аналитические методы имеются, но математические процедуры столь сложны и трудоёмки, что имитационное моделирование даёт более простой способ решения задачи.

3.Кроме оценки определённых параметров, желательно осуществить на имитационной модели наблюдение за ходом процесса

втечение нужного временного периода.

Дополнительным преимуществом имитационного моделирования можно считать широчайшие возможности его применения в сфере образования и профессиональной подготовки. Разработка и использование имитационной модели позволяет экспериментатору видеть и "разыгрывать" на модели реальные процессы и ситуации.

Необходимо обозначить ряд проблем, возникающих в процессе моделирования систем. Исследователь должен акцентировать на них внимание и попытаться их разрешить, дабы избежать получения недостоверных сведений об изучаемой системе.

Первая проблема, которая касается и аналитических методов моделирования, состоит в нахождении "золотой середины" между упрощением и сложностью системы. По мнению Шеннона, искусство моделирования в основном состоит в умении находить и отбрасывать факторы, не влияющие или незначительно влияющие на исследуемые характеристики системы. Нахождение этого "компромисса" во многом зависит от опыта, квалификации и интуиции исследователя. Если модель слишком упрощена и в ней не учтены некоторые существенные факторы, то высока вероятность получить по этой модели ошибочные данные, с другой стороны, если модель сложная и в неё включены факторы, имеющие незначительное влияние на изучаемую систему, то резко повышаются затраты на создание такой модели и возрастает риск ошибки в логической структуре модели. Поэтому перед созданием модели необходимо проделать большой объём работы по анализу структуры системы и взаимосвязей между её элементами, изучению совокупности входных воздействий,

13

тщательной обработке имеющихся статистических данных об исследуемой системе.

Вторая проблема заключается в искусственном воспроизводстве случайных воздействий окружающей среды. Этот вопрос очень важен, так как большинство динамических производственных систем являются стохастическими, и при их моделировании необходимо качественное несмещённое воспроизведение случайности, в противном случае, результаты, полученные на модели, могут быть смещёнными и не соответствовать действительности.

Существует два основных направления разрешения этой проблемы: аппаратная и программная (псевдослучайная) генерация случайных последовательностей. При аппаратном способе генерации случайные числа вырабатываются специальным устройством. В качестве физического эффекта, лежащего в основе таких генераторов чисел, чаще всего используются шумы в электронных и полупроводниковых приборах, явления распада радиоактивных элементов и т. д. Недостатками аппаратного способа получения случайных чисел является отсутствие возможности проверки (а значит, гарантии) качества последовательности во время моделирования, а также невозможности получения одинаковых последовательностей случайных чисел. Программный способ основан на формировании случайных чисел с помощью специальных алгоритмов. Этот способ наиболее распространён, так как не требует специальных устройств и даёт возможность многократного воспроизведения одинаковых последовательностей. Его недостатками являются погрешность в моделировании распределений случайных чисел, вносимую по причине того, что ЭВМ оперирует с n- разрядными числами (т. е. дискретными), и периодичность последовательностей, возникающую в силу их алгоритмического получения. Таким образом, необходима разработка методов улучшения и критериев проверки качества генераторов псевдослучайных последовательностей.

Третьей, наиболее сложной проблемой является оценка качества модели и полученных с её помощью результатов (эта проблема актуальна и для аналитических методов). Адекватность моделей может быть оценена методом экспертных оценок, сравнением с другими моделями (уже подтвердившими свою достоверность) по полученным результатам. В свою очередь, для проверки полученных результатов часть из них сравнивается с уже имеющимися данными.

14

1.3.Классификациямоделей

Вразных науках существуют различные способы классификации моделей. Классификация зависит от признака, лежащего в основе. Признаком может выступать отрасль знаний, способ представления модели, учёт временного фактора, учёт влияния фактора случайности, приспособляемости модели и др.

По отраслям знаний модели классифицируются на

биологические, социологические, физические, экономические и др.

Математические модели, используемые в экономике, можно классифицировать по особенностям моделируемого объекта – на макро- и микроэкономические. Макроэкономические модели описывают экономику страны как единое целое, связывая такие макроэкономические материальные и финансовые показатели, как ВВП, потребление, инвестиции, занятость, бюджет, инфляция, ценообразование и др. Микроэкономические модели описывают состояние структурных составляющих экономики, стратегии поведения фирм в неустойчивой или стабильной среде.

По целям моделирования и используемому инструментарию

модели делятся на теоретические и прикладные, оптимизационные и равновесные. Прикладные модели обеспечивают возможность оценки параметров функционирования конкретных технико-экономических объектов и обоснования выводов для принятия управленческих решений.

Равновесные модели, присуще рыночной экономике, описывают поведение субъектов хозяйствования в стабильных устойчивых состояниях, но и в нерыночной экономике, где равновесие по одним параметрам компенсируется другими факторами.

Оптимизационные модели связаны в основном с микроуровнем и предполагают выбор наилучшего варианта по некоторому критерию: максимум прибыли, минимизация расходов, минимум отходов производства и т. д. Причём различают одно- и многокритериальные задачи.

По отношению к фактору времени модели подразделяются на статические и динамические, непрерывные и дискретные. Статические модели описывают состояние объекта в конкретный текущий момент или период времени, а динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени. Динамические

15

модели, в свою очередь, делятся на дискретные и непрерывные, в зависимости от характера изменения процесса во времени. Дискретное моделирование применяют для исследования систем, в которых входные и выходные характеристики изменяются во времени дискретно, через некоторый промежуток времени dt (например, часы), в противном случае применяют непрерывное моделирование.

По отношению к фактору случайности модели делятся на стохастические и детерминированные. Детерминированные модели предполагают жёсткие функциональные связи между переменными, а стохастические модели допускают наличие случайности, используя в качестве инструмента теорию вероятностей и математическую статистику.

По назначению модели бывают: балансовые (наличие ресурсов и их использование), трендовые (развитие моделируемой системы через тенденцию развития ее показателей), оптимизационные, имитационные (машинная имитация процессов).

По способу представления модели бывают предметные и знаковые. Предметные модели воспроизводят определенные геометрические, физические, динамические свойства объекта (глобус, карты…). Знаковые модели – это схемы, чертежи, формулы. Важнейшим видом знаковых моделей являются математические.

Выводы

Приступая к процессу моделирования какого-либо объекта или системы, нужно сначала определить и учесть все важные характеристики объектов системы. Затем необходимо определиться с целями моделирования. Что бы Вы хотели иметь в результате процесса моделирования? Какие цели являются основными, а какие второстепенными? В соответствии с этим выбрать нужный тип модели и использовать соответствующие методы моделирования. После построения модели необходимо оценить ее качество, адекватность, приспособляемость к различным условиям моделирования, определить точность используемых методов и сделать анализ результатов моделирования.

Контрольные вопросы и задания

1. К каким методам моделирования можно отнести известный метод решения систем дифференциальных уравнений Рунге-Кутта?

16

2.Классифицируйте по разным признакам модель транспортной задачи линейного программирования.

3.В чём состоит основная идея метода имитационного моделирования?

4.Сравните аппаратный и программный способ генерации случайных чисел по недостаткам и преимуществам.

5.Объясните способ генерации случайных чисел по методу серединных квадратов.

6.Объясните, на чём основан конгруэнтный метод получения случайных

чисел.

7.Объясните на примере конкретных систем, как Вы понимаете основные свойства системы.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАРКОВСКИХ

СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Среди различных видов систем, окружающих нас: технических, информационных, социальных и т. д. нас будут интересовать системы, которые возникают в сервисных процессах, в процессах обслуживания. В прикладной математике они так и называются –

системы массового обслуживания (СМО). Математический аппарат изучения этих систем давно разработан и позволяет построить модели таких систем для описания процессов обслуживания и вычислить основные характеристики функционирования системы с целью определения её эффективности [7, c. 78]. Этот аппарат основывается на теории вероятностей и теории случайных процессов. Рассмотрим основные идеи и понятия.

2.1. Элементытеории марковских случайных процессов, используемые при моделированиисистем

Функция X(t) называется случайной, если её значение при любом аргументе t является случайной величиной.

Случайная функция X(t), аргументом которой является время,

называется случайным процессом.

Марковские процессы являются частным видом случайных процессов. Особое место марковских процессов среди других классов случайных процессов обусловлено следующими обстоятельствами: для марковских процессов хорошо разработан математический аппарат, позволяющий решать многие практические задачи, с помощью

17

марковских процессов можно описать (точно или приближённо) поведение достаточно сложных систем.

Определение. Случайный процесс, протекающий в какой-либо системе S, называется марковским, или процессом без последействия,

если он обладает следующим свойством: для любого момента времени t0 вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от её состояния в настоящем и не зависит от того, когда и каким образом система S пришла в это состояние.

Классификация марковских процессов. Классификация марковских случайных процессов производится в зависимости от непрерывности или дискретности множества значений функции X (t) и параметра t.

Различают следующие основные виды марковских случайных процессов:

с дискретными состояниями и дискретным временем (цепь Маркова);

с непрерывными дискретным временем (марковские

Мы будем рассматривать только марковские процессы с дискретными состояниями S1, S2, ..., Sn.

Граф состояний. Марковские процессы с дискретными состояниями удобно иллюстрировать с помощью так называемого графа состояний (рис. 2.1), где кружками обозначены состояния S1, S2,...

системы S, а стрелками – возможные переходы из состояния в состояние.

Рис. 2.1. Пример графа состояний системы S

На графе отмечаются только непосредственные переходы, а не переходы через другие состояния. Возможные задержки в прежнем состоянии изображают «петлёй», т. е. стрелкой, направленной из данного состояния в него же. Число состояний системы может быть

18

как конечным, так и бесконечным (несчётным).

2.2.Марковские цепи

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называют марковской цепью. Для такого процесса моменты времени t1, t2..., когда система S может менять своё состояние, рассматривают как последовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, откоторогозависит процесс, выступает не время t, а номер шага 1, 2,.., k,... . Случайный процесс в этом случае характеризуется последовательностью состояний S (0), S (1), S (2),..., S (k), где S (0) – начальное состояние системы (перед первым шагом); S(1) – состояние системы после первого шага (в момент времени t1) и т. д.

Событие S (k) = Si , состоящее в том, что сразу после k-го шага система находится в состоянии Si (i = 1, 2,...), является случайным событием. Последовательность состояний S (0), S (1),..., S (k),... можно рассматривать как последовательность случайных событий. Такая случайная последовательность событий называется марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния Si в любое Sj не зависит от того, когда и как система пришла в состояние Si.

Вероятностями состояний цепи Маркова называются вероятности Pi (k) того, что после k-гo шага и до (k + 1)-го система S будет находиться в состоянии Si (i = 1, 2, ..., п).

n

Понятно, что для каждого k: Pi k 1.

i 1

Начальным распределением вероятностей Марковской цепи называется распределение вероятностей в момент t = 0: P1 (0), P2 (0), Pn

(0). В частном случае, если S (0) = Si, то Pi (0) = 1, а остальные равны 0. Вероятностью перехода из состояния Si в состояние Sj (переходной вероятностью) называется вероятность того, что система окажется в состоянии Sj ,при условии, что до этого она находилась в состоянии Si. Поскольку система может пребывать в одном из n состояний, то для каждого момента надо задать n2 вероятностей, которые записывают в матрицу переходных

вероятностей:

19

Если переходные вероятности не зависят от номера шага (от времени), а зависят только от того, из какого состояния осуществляется переход, то соответствующая цепь называется

однородной.

Отметим особенности переходной матрицы:

каждая строка характеризует выбранное состояние системы и её элементы – это вероятности переходов за один шаг из этого состояния в любое другое или в само себя;

элементы столбцов показывают вероятности переходов из любого состояния в конкретное;

сумма вероятностей каждой строки равна единице, т. к. переходы образуют полную группу несовместных событий;

по главной диагонали стоят вероятности того, что система не выйдет, а останется в прежнем состоянии.

Если для однородной марковской цепи задано начальное распределение вероятностей и матрица переходных вероятностей известна, то вероятности состояний системы Pi (k) в момент времени k определяются по формуле:

j 1

Пример.

Рассмотрим процесс функционирования системы – автомобиль, находящийся на гарантийном сервисном обслуживании. Пусть автомобиль (система) в течение одной смены (месяца) может находиться в одном из двух состояний: исправном S1 и неисправном S2. Граф состояний системы представлен на рисунке (рис. 2.2).

S1 S2

Рис. 2.2. Граф возможных состояний системы S

p11 = 0,8 – вероятность того, что автомобиль останется в исправном состоянии;

20

p12 = 0,2 – вероятность перехода автомобиля из состояния «исправен» в состояние «неисправен»;

p21 = 0,9 – вероятность перехода автомобиля из состояния «неисправен» в состояние «исправен»;

p22 = 0,1 – вероятность того, что автомобиль останется в состоянии «неисправен».

Пусть в начальный момент времени автомобиль был исправен, т. е. P1(0)=1, P2(0) = 0. Тогда, найдём вероятности состояний системы в момент времениt=1:

P1 (1) = P1 (0) p11 + P2 (0) p21 = 0,8

P2 (1) = P1(0) p12 + P2 (0) p22 = 0,2.

В момент времени t = 2:

P1 (2) = P1 (1) p11 + P2 (1) p21 = 0,8 0,8 + 0,2 0,9 = 0,82

P2 (2) = P1(1) p12+ P2 (1) p22 = 0,8 0,2 + 0,2 0,1 = 0,18.

В момент времени t = 3:

P1 (3) = P1(2) p11 + P2(2)p21 = 0,82 0,8 +0,18 0,9 = 0,818

P2 (3) = P1(2) p11 +P2(2)p21 =0,182.

Т. е. после трёх суток автомобиль будет находиться в состоянии «исправен» с вероятностью 0,818 , а «неисправен» – с вероятностью 0,182.

Заметим, что формулу (2.1) можно переписать в матричном виде:

где P (k) = ( P1(k), P2 (k), … ,Pn (k) ) – вектор вероятностей состояний системы в момент k;

P = {pij} – матрица переходных вероятностей.

Действительно:

В матричном виде вычисления вести удобней.

2.3.Непрерывные цепи Маркова

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется непрерывной цепью Маркова