2443
.pdf31
массового обслуживания, различают два основных вида СМО:системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в
момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает очередь;системы с ожиданием (очередью), в которых заявка,
поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов.
Для указания типа СМО используются общепринятые обозначения Кендалла – Баша: X/Y/Z/m,
где X – вид закона распределения интервалов поступления заявок; Y – вид закона распределения времени обслуживания заявок;
Z – число каналов;
m – число мест в очереди.
В обозначениях вида закона распределения буква M соответствует экспоненциальному распределению (от слова Марковиан), букваE–распределению Эрланга, R – равномерному распределению и D – детерминированной величине.
Например, запись M/M/1означает одноканальную систему с экспоненциальными распределениями времени поступления и обслуживания заявок (М – марковская) без очереди.
2.7.Расчёт основных характеристик СМО на основе использования их аналитическихмоделей
Рассмотрим такие СМО, в которых возможные состояния системы образуют цепь и каждое состояние, кроме исходного и последнего, связано прямой и обратной связью с двумя соседними состояниями. Такая схема процесса, протекающего в системе, называется схемой «гибели и размножения». Термин ведёт начало от биологических задач, процесс описывает изменение численности популяции.
Если в такой системе все потоки, переводящие систему из состояния в состояние пуассоновские, то процесс называется
марковским случайным процессом «гибели и размножения».
Заметим, что в таких системах все состояния являются существенными, а значит, существуют финальные вероятности состояний, которые можно найти из линейной системы уравнений Эрланга.
На практике значительная часть систем (СМО) может описываться в рамках процесса «гибели и размножения».
32
Рассмотрим некоторые типы таких систем: а) одноканальные с отказами (без очереди); б) одноканальные с ограниченной очередью; в) многоканальные с отказами (без очереди); г) многоканальные с ограниченной очередью.
Одноканальные системы с отказами
Рассмотрим одноканальную систему обслуживания с отказом, т. е. если поступает заявка на обслуживание, а устройство занято, то заявка получает отказ в обслуживании. Граф системы (рис. 2.5) имеет два состояния S0 – устройство свободно и S1 – устройство занято. Пусть интенсивность входящего потока равна λ (количество заявок в ед. времени), а интенсивность обслуживания равна µ.
S0 S1
Рис. 2.5. Граф одноканальной системы без очереди
Для изображённого графа система уравнений Эрланга имеет вид:
Из неё находим: 
Основные характеристики системы M/M/1:
вероятность отказа Pотк = Р1 = λ / (λ + µ); вероятность обслуживания Робс = 1 – Pотк = µ / (λ+µ).
Одноканальные системы с ограниченнойочередью
Рассмотрим теперь случай, когда устройство одноканальное, но если оно занято, то заявка не получает отказ, а становится в очередь к устройству. Очередь имеет длину не более n мест. Соответственно, граф
33
состояний (см. рис. 2.6) будет иметь n + 1 вершину: состояние S0 – устройство свободно; S1 – устройство занято, нет очереди; S2 – устройство занято, 1 в очереди; Sn+1 – устройство занято, n заявок в очереди.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S0 |
S1 |
S2 |
Sn |
Sn+1 |
|
|
|
|
|
Рис. 2.6. Граф одноканальной системы с очередью
Для такого графа система Эрланга имеет вид:
Из неё последовательно выражая все Рk через Р0 и подставляя в последнее нормировочное уравнение, имеем:
Основные характеристики системы M/M/1 / n:
вероятность отказа Pотк = Рn+1 = (λ/µ)n+1P0; вероятность обслуживания (относительная пропускная
способность) Q = Робс=1 – Pотк ;
абсолютная пропускная способность А = λQ;
среднее число мест в очереди N = P2 + 2P3 + 3P4 +…nPn+1 .
Многоканальные системы сотказами
Рассмотрим случай, когда устройство многоканальное, количество каналов равно m. Если все каналы заняты, то заявка получает отказ. Граф
34
состояний будет иметь m + 1 вершину (см. рис. 2.7): состояние S0 – устройство свободно; S1 – один канал занят; S2 – два канала занято; Sm – m каналов занято.
|
|
|
|
S0 |
S1 |
S2 |
Sm |
|
|
2 |
m |
Рис. 2.7. Граф одноканальной системы с очередью
Обратите внимание, что интенсивность выходящих потоков кратна µ, например, при переходе из состояния S2 в состояние S1 интенсивность потока равна 2µ, т. к. если были заняты два канала, а затем стал занят один, то неизвестно какой из них освободился: µ + µ = 2µ.
Для этого графа построим систему уравнений Эрланга:
Выражаем все Рk через Р0 и подставляем в последнее нормировочное уравнение:
Основные характеристики системы M/M/m:
вероятность отказа Pотк = Рm = 1/m! (λ/µ)mP0; вероятность обслуживания Q =Робс=1– Pотк ; абсолютная пропускная способность А= λQ;
среднее количество занятых каналов К = P1 + 2P2 + 3P3 +…mPm .
Количество каналов можно вычислить проще, зная соотношение
35
А = µК : среднее число заявок, обслуженных в единицу времени, равно произведению средней производительности одного канала на среднее число занятых каналов.
Многоканальные системы сограниченной очередью
Пусть в системе имеется m каналов обслуживания и n мест в очереди. Если свободных мест в очереди нет, заявка получает отказ. Граф состояний такой системы имеет вид (рис. 2.8):
|
|
|
|
|
|
|
S0 |
S1 |
S2 |
. . . |
Sm |
Sm+1 . . . |
Sm+n |
|
2 |
|
m |
m |
m |
m |
Рис. 2.8. Граф многоканальной системы с очередью
Граф динамики многоканальной системы такого вида состоит из двух частей: до состояния Sm – все m каналов занято, очереди нет, и после от Sm+1 – все m заняты, одна заявка в очереди до Sm+n – все каналы заняты, n заявок в очереди. Общее количество состояний в графе конечно и равно m + n + 1, включая нулевое состояние, где n – величина, ограничивающая длину очереди (в другой терминологии – n – количество мест в накопителе очереди), m – количество каналов обслуживания.
Построим систему уравнений Эрланга для этой СМО и
разрешим её. Обозначим |
|
, тогда формулы вероятностей |
|
состояний имеют вид:
Основные характеристики системы M/M/m/n:
36
вероятность отказа Pотк = Рm+n = 1/m! ρm+n / mn P0; вероятность обслуживания Q = Робс = 1– Pотк ; абсолютная пропускная способность А = λQ; среднее количество занятых каналов К = A/µ;
средняя длина очереди L = M[L] = 1Pm+1 + 2Pm+2 +…nPm+n ; среднее время ожидания Т = L/λ .
Пример. На станцию техобслуживания с двумя подъёмниками для текущего ремонта поступает простейший поток заявок с плотностью λ = 1,5 маш./час. Во дворе могут находиться, дожидаясь обслуживания не более 3-х
машин. Среднее время ремонта Тобс = |
2 час. Найти основные характеристики |
||||||
работы станции. |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Имеем |
|
марковскую |
СМО |
M/M/2/3 |
с параметрами: |
|
m = 2, n = 3, λ = 1,5 , µ = 1/T = 1/2, значит ρ = λ/µ = 3. |
|
||||||
Граф состояний имеет 6 вершин: S0 – все свободны; S1 – один подъёмник |
|||||||
занят; S2 – два |
занято, очереди нет ; S3 – подъёмники заняты, одна машина в |
||||||
очереди, S4 – подъёмники заняты, две машина в очереди, S5 – три в очереди. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S0 |
S1 |
|
S2 |
S3 |
S4 |
S5 |
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
Находим P0:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= 0,0246 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P1 = ρP0 = |
|
|
= |
|
|
|
|
= 0,0738 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
P2 = ρ/2 Р1 = 3/2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= 0,1107 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
P3 = ρ/2 P2 = 1,5 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
=0,16605 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
P4 = ρ/2 P3 = 1,5 |
|
|
= |
|
|
|
|
= 0,249075 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
P5 = ρ/2 P4 = 1,5 |
|
|
= |
|
|
|
|
= 0,3736125 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Проверка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Pотк = Р5 = 0,37 = 37%, Q = Робс = 1 – Pотк = 0,63 ;
абсолютная пропускная способность А = λQ = 1,5 0,63 = 0,945 (маш.в час);
средняя длина очереди L = M[L] = 1P3+2P4+3P5 =
(маш.);
среднее время ожидания Т = L/λ = 1,79/1,5 =1,19 (час).
37
Выводы
Итак, в этой главе был рассмотрен математический (или аналитический) подход к описанию и построению моделей систем массового обслуживания (СМО). Предложена классификация систем
ипостроены аналитические модели для дискретных и непрерывных марковских цепей определённой структуры. Приведены условия существования финальных вероятностей в установившемся режиме
ивыведены формулы для нахождения основных характеристик систем. В рассмотренных примерах даже несложных по структуре СМО при расчётах основных характеристик уже требуется определённый навык и уровень математической культуры. При более сложных конфигурациях структур СМО, а тем более сетей, построение аналитических моделей является непростой задачей. Поэтому наиболее перспективным направлением в исследовании систем является построение не аналитических, а имитационных моделей СМО в каких-либо готовых средах разработки, которые позволяют получать накопленные статистические результаты моделирования, отражающие характеристики системы, автоматически в конце процесса моделирования.
Контрольные вопросы и задания
1.Какой процесс называется марковским, стационарным, ординарным?
2.Рассматривается процесс: система представляет техническое устройство, которое осматривается в определенные моменты времени (например, через сутки) и её состояние регистрируется. Каждый осмотр – шаг процесса. Возможные состояния следующие:
s1 – полностью исправно; s2 – частично исправно, необходима наладка; s3 – серьёзная неисправность, требует ремонта; s4 – непригодно. Постройте граф состояний для системы.
3.Магазин продаёт две марки автомобилей А и В, для каждой своя матрица переходных вероятностей, соответствующая состояниям: «исправен», «требует
гарантийного ремонта». Для А РА = |
0,9 |
0,1 |
|
, для В РВ = |
0,8 |
0,2 |
|
. Требуется |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0,6 |
0,4 |
|
|
|
0,7 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
найти вероятности состояний через два года после эксплуатации, если в начальном состоянии автомобиль исправен и определить марку автомобиля наиболее предпочтительную.
38
4.В городе работают три мобильных оператора: Билайн, МТС и Мегафон
ипредположим каждый пользуется услугами одного, но может поменять его или нет на другого каждые полгода. Причём результаты опроса показали, что в среднем 15 % Билайн переходят на МТС, 10 % на Мегафон; 20 % МТС переходят на Билайн, 5 % на Мегафон; 5 % Мегафон уходят на МТС и 10 % на Билайн. Постройте матрицу переходных вероятностей. Предположив, что изначально клиенты были распределены равномерно, найти распределение через полтора года, определить какой оператор будет пользоваться наибольшим спросом.
|
5. Пусть имеется система с состояниями: |
2 |
S1 |
|
2 |
S0 |
– оба узла работают исправно; |
|
1 |
3 |
|
S1 |
– первый работает, второй сломан; |
S |
2 |
1 |
S2 |
S2 |
– второй работает, первый сломан; |
3 |
S4 |
|
2 |
S3 – оба неисправны. |
|
|
|||
|
|
|
|
||
Возможные переходы из одного состояния в другое изображены на графе. Пусть исправность первого узла приносит доход 10 у. е., а второго – 6 у. е., а их ремонт требует расходов 4 у. е. и 2 у. е. соответственно. Оценить экономический эффект возможности уменьшения вдвое времени на ремонт, если придётся вдвое увеличить затраты.
6. На вход горячей линии, имеющей 9 каналов, поступает в среднем 120 заявок в час. Заявка получает отказ, если все каналы заняты. Среднее время обслуживания в канале равно 4 мин. Все потоки простейшие. Определить вероятность отказа и среднее число занятых каналов.
7. В ремонтную мастерскую с 4 мастерами принимают не более 7 заявок в день, известно среднее число поступающих в час заявок (λ) и среднее время обслуживания (Тобс). Найти основные показатели эффективности.
№ вар. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
λ |
5 |
6 |
8 |
7 |
4 |
9 |
10 |
5 |
6 |
3 |
Тобс |
1 |
0,5 |
0,5 |
1 |
0,5 |
0,5 |
1 |
2 |
1 |
2 |
8. При проектировании СМО с ограниченной очередью n, число каналов обслуживания m, производительность обслуживания µ заявок в час было рассчитано на характерную для района интенсивность потока заявок λ. Но плотность заявок по некоторым причинам удвоилась (2λ в час). Что целесообразнее для минимизации отказов: удвоить количество каналов или удвоить производительность канала.
Рассмотрите случаи:
a) m = 1, n = 3, λ = 1,5 , µ = 0,5; b) m = 1, n = 3, λ = 4 , µ=2.
39
9.На мойке машин имеется три места для мойки и еще не более трёх для стоянки ожидающих машин. Если все эти места заняты, машина уезжает. В среднем за час прибывает 2 машины, среднее время мойки одной машины 1 час. Найти вероятность отказа и среднюю длину очереди.
10.Входной поток покупателей в магазин – простейший с плотностью 3 покупателя в мин. Среднее время обслуживания 2 мин. Работает 8 продавцов, доступ неограничен. Будет ли магазин справляться с потоком? Найти характеристикисистемы.
11.Диспетчерский пункт принимает заявки на ремонт по нескольким телефонам. Известно среднее число заявок, поступающих в час (λ) и среднее время оформления Тоб. Требуется определить минимальное количество телефонов, при котором вероятность отказа будет менее 10 %. При найденном значении m определить абсолютную пропускную способность и среднее количество занятых каналов (см. таблицы).
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
вар. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
60 |
80 |
870 |
90 |
65 |
75 |
85 |
90 |
85 |
80 |
60 |
85 |
Тобс. |
5 |
2 |
3 |
2 |
4 |
2 |
33 |
1 |
2 |
3 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
240 |
вар. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
60 |
80 |
70 |
65 |
90 |
75 |
75 |
75 |
70 |
80 |
75 |
65 |
Тобс. |
4 |
4 |
2 |
3 |
3 |
2 |
2 |
3 |
5 |
5 |
4 |
5 |
Указание. Поскольку явно из общей формулы для нахождения вероятностей выразить m нельзя, то нужно организовать (удобно на листе Excel) пошаговую процедуру определения Рn для каждого значения m (см. формулы на стр. 32). При этом нужно найти все промежуточные вероятности от Р0 до Рn. Убедиться, что их сумма равна 1 и последняя вероятность меньше 0,1.
40
ГЛАВА 3. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В СРЕДЕ GPSS
Технологии имитационного моделирования и различные подходы к моделированию начали бурно развиваться в прошлом столетии, сначала для систем массового обслуживания, затем для технических систем и сетей. Существуют разные среды моделирования, отличающиеся подходами, средствами, функциональными возможностями. Некоторые из них имеют хороший графический интерфейс, позволяющий наблюдать за процессом моделирования. Из наиболее известных в настоящее время GPSS, Micro Saint, Arena, Anylogic и др. Рассмотрим наиболее распространённую и относительно несложную в освоении среду GPSS [2,5,7].
3.1.Общие сведения о языке GPSS
Язык моделирования GPSS/PC (General Purpose Simulation System –
общецелевая система моделирования) был разработан компанией Minuteman (США) в 1962 году изначально для моделирования дискретных систем и был предназначен для работы в операционной среде DOS. Язык получил широкое распространение и был включён в учебные курсы по моделированию систем у нас в стране и во многих университетах США и других стран. В последнее десятилетие появилась новая версия языка Gpss World, разработанная под Windows, в которой можно моделировать не только дискретные, но и непрерывные процессы. Эти возможности обеспечиваются как новыми объектами языка, так и включением в состав Gpss World языка PLUS – языка программирования низкого уровня, позволяющего взаимодействовать с другими приложениями и создавать собственные библиотеки процедур. Также эта среда обеспечивает высокую интерактивность и визуальное представление информации.
Студенческая версия GPSS/World бесплатная, имеет ограничения лишь на количество используемых в программе блоков (не более 170). Учебную версию можно получить бесплатно на портале www/minutemansoftware.com/download. Не требует установки, для запуска программы достаточно запустить на выполнение файл GPSSW.exe. После этого откроется среда моделирования GPSS/World. Далее необходимо выбрать пункт меню File/Open и в открывшемся диалоговом окне Новый документ – Создать Model. В результате будет открыто окно Untitled Model1, в котором необходимо набрать текст программы. Файл с программой можно сохранить в файле с расширением .gps (пункты меню
File/Save; File/Save As).