§5. Статистический анализ результатов испытаний.

Статистический анализ результатов испытаний необходим для оценки достоверности эксперимента и включает следующие этапы:

1. Проверка воспроизводимости или постоянства дисперсии отклика сводится к проверке гипотезы об однородности дисперсий , найденных по результатамN опытов.

Дисперсия отклика дляu-го опыта равна:

, u = 1,2,…N

где y_uq – отклик u-го опыта при q-м повторе, m – число повторов опыта.

Вычисляем экспериментальные значения критерия Кохрена, т.е. отношение максимальной изN дисперсий к сумме всех дисперсий:

где G ≤ G _табл – соответствие выполненного условия однородности дисперсий.

Гипотеза об однородности дисперсий подтверждается, если вычисленное значение критерия не превышает критического значения, определённого по соответствующим таблицам, в зависимости от числа степеней свободы k₁ = m – 1; k₂ = N и доверительной вероятности .

2. Адекватность модели, т.е. пригодность ранее принятой функции отклика для описания реального объекта исследования, проверяют по отношению дисперсий адекватности и воспроизводимости.

Дисперсию воспроизводимости или оценку дисперсии отклика определяют по формуле

Дисперсию адекватности определяем по формуле:

,

Где k – число факторов; - расчетная оценка среднего значения отклика в u-м опыте, вычисляемая по соответствующему полиному.

Например, для линейной модели

Где - значениеi-го фактора в u-м опыте.

Экспериментальное значение F-критерия (критерия Фишера) равно

Модель считают адекватной, если вычисленное значение F меньше критического, определённого по таблицам F-распределения [5, 45], в зависимости от числа степеней свободы ,

и доверительной вероятности .

Для насыщенных планов, в которых число определяемых коэффициентов равно числу опытов, для проверки адекватности проводят дополнительные опыты. Так, для линейной модели дополнительно ставят опыты в центре плана. По расхождению между полученным и расчетным значениями отклика принимают решения об адекватности модели.

При неадекватности модели возможны следующие действия: усложнение модели, достройка плана, преобразование переменных, изменение интервалов варьирования.

3. Значимость коэффициентов модели проверяем по t-критерию Стьюдента. Проверку начинаем с вычисления дисперсий коэффициентов.

Для планов дробного и полного факторного эксперимента типа дисперсии оценок коэффициентов,,одинаковы и определяются по формуле

.

Экспериментальное значение критерия Стьюдента равно

,

Где - абсолютное значение оценки проверяемого коэффициента, т.е. одного из коэффициентов,,.

Коэффициент считают значимым, если вычисленное значение критерия больше, чем критическое значение, выбираемое по таблицам распределения Стьюдента , в зависимости от числа степеней свободы и доверительной вероятности.

Для квадратичной модели, когда испытания проводят по ортогональному центральному плану, дисперсии оценок коэффициентов модели определяют по следующим зависимостям:

, .

, ;

, ;

,

Где - общая дисперсия среднего значения отклика определяется по формуле

.

Далее для каждого из коэффициентов вычисляется t-критерий Стьюдента (отношение абсолютного значения коэффициента к его среднему квадратичному отклонению) и сравнивают с табличным значением, найденного в зависимости от числа степеней свободы и доверительной вероятности.

Пример. Исследовать влияние радиальногои угловогосмещений осей соединяемых валов на долговечность муфты с резиновым торообразным элементом вогнутого профиля. Муфта нагружена номинальным моментом Т= 100 Нм, наружный диаметр муфтымм.

Решение: Схематизация эксперимента. На муфту (объект исследования) действуют два фактора: радиальное и угловоесмещения полумуфт. Кодированные значения факторов обозначаем соответственно черези определяем по следующим зависимостям:

; .

Предельные значения радиальных и угловых смещений устанавливаем, исходя из опыта эксплуатации муфт: . Подставляя предельные значения в формулу дляи, получаем

.

В качестве отклика Yрассматриваем логарифмы ресурса, гдеL-ресурс, выраженный в оборотах муфты.

Требуется оценить функцию отклика, т.е. найти связь между факторами и откликом.

Функцию отклика задаем полиномом первого порядка с учетом эффекта взаимодействия

,

Где ,,,- коэффициенты функции.

Соответственно оценку функций отклика (эмпирического уравнения регрессии) ищем в виде

,

Где ,,,- оценки коэффициентов,,,соответственно.

При планировании эксперимента выбран план полного факторного эксперимента типа . Число опытов;число повторов каждого опытанеобходимое число образцов равно.

Испытания проводятся на стенде с замкнутым контуром, спроектированном и изготовленном в МВТУ им. Н. Э. Баумана. Циркулирующий в контуре момент соответствовал номинальному моменту испытуемой муфты. Конструкция стенда позволяет изменять радиальное и угловое смещение полумуфт в широких пределах.

Результаты испытаний на долговечность представлены в виде значений логарифмов ресурса.

№ опыта	Факторы				Эффект взаимодействия	Отклик
						Повторы опыта	Среднее значение	Среднее квадратичное отклонение
1	+	+	-	-		6,7634; 6,7924; 6,9138	6,8232	0,07979
2	+	+	+	+		5,8692; 5,9638; 6,0170	5,9500	0,07486
3	+	-	-	-		6,5051; 6,5798; 6,7620	6,6156	0,1321
4	+	-	+	+		7,8195; 7,8921; 8,1250	7,9455	0,1596

Учитывая, что число повторов m=3, среднее значениеи среднее квадратичное отклонениелогарифмы ресурса в -м опыте, определяем по формулам

;

Где - текущее значение логарифма ресурса.

По результатам испытаний определяем оценки коэффициентов функций отклика

;

;

;

.

Оценка функции отклика в кодированных значениях факторов записываем в виде

.

После подставки значений иполучаем оценку зависимости среднего значения логарифма ресурса от радиальных и угловых смещений осей соединяемых валов

.

Статистический анализ результатов испытаний начинаем с проверки однородности дисперсии.

Вычисляем критерий Кохрена

Критическое значение критерия выбрано [45] в зависимости от числа степеней свободы,и доверительной вероятности.

Критическое значение критерия , что соответствует выполнению условия однородности дисперсий.

Для проверки значимости коэффициентов модели вычисляем дисперсию воспроизводимости

Дисперсия коэффициентов модели

Экспериментальные значения критерия Стьюдента для коэффициентовсоответственно равны:

Критическое значение критерия выбрано по [5.45] в зависимости от числа степеней свободыи доверительной вероятности

Так как значения критерия больше критического значения, полагают, что все коэффициенты модели значимы. Следовательно, ранее определенная зависимости среднего значения логарифма ресурса от радиальногои угловогосмещений остается в силе.