ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

1. Электростатика

1.1. Основные понятия, законы и формулы [1, 2]

Электрический заряд q характеризует способность тел

оказывать с ловое

воздействие

друг

на

друга

при

помощи

электр ческого поля. Единицей измерения электрического заряда q,

принятой

в с стеме СИ, является Кулон (Кл).

Электр ческ й

заряд является

квантованной величиной,

С

-19

Кл,

кратной элементарному заряду e0 = 1,602 10

q = ±Ne0,

(1.1)

где N – целое ч сло.

Элементарный заряд – наименьшая встречающаяся в природе

мера

электр ческого

заряда.

Носителем

элементарного

отрицательного заряда является электрон, а положительного – протон.

Точечный заряд – заряд, сосредоточенный на теле, линейные

размеры которого прене режимо малы по сравнению с расстоянием

до других заряженных тел, с которыми данный заряд

взаимодействует.

Закон сохранения заряда: общий заряд замкнутой системы

остаётся неизменнымбА, какие бы процессы ни происходили внутри

данной системы; сумма положительных и отрицательных зарядов

остаётся постоянной:

n

(1.2)

qi const.

i 1 Д

Закон Кулона описывает силу, возникающую при воздействии

друг на друга двух точечных зарядов: сила F12

взаимодействия двух

точечных зарядов q1

и q2

прямо пропорциональна произведению этих

зарядов и обратно пропорциональна квадратуИрасстояния r12 между

ними. Эта сила является центральной: она направлена вдоль прямой,

соединяющей заряды (рис. 1.1).

Сила (см. рис. 1.1), действующая со стороны заряда q1

на заряд

q2, определяется следующим образом:

1

q1q2

r12

F

,

(1.3)

4

r2

21

0

r

12

12

F12

q1

r12

q2

F21

F12

r12F21

q2

q1

r1

r2

r1

r2

и

С0

F12 F21

0

а – одно менные заряды q1

и q2; б – разноименные заряды q1 и q2

Рис. 1.1

где F21 –

с ла, которая действует на второй точечный электрический

заряд q2

со стороны первого заряда q1;

r12 –

вектор,

соединяющий

заряды и направленный от q1

к

q2;

r12

r12

– расстояние между

зарядами; ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды;

ε0=8,85∙10-12 Ф/м – электрическая постоянная.

Напряжённость

Д

электростатического

поля

– физическая

величина, бАопределяемая силой, действующей на единичный

положительный заряд q0, помещённый в данную точку поля:

F

.

(1.4)

E

q0

Силовые линии (линии напряжённости) – линии, касательные к

которым в каждой точке совпадают

с

Инаправлением вектора

напряжённости в этой точке.

Напряжённость электростатического поля, создаваемого

точечным зарядом q, равна

1

q

r

E

,

(1.5)

4

0

r2

r

12

12

жённость

электрического поля

E, создаваемого N точечными

зарядами

в точке пространства

радиусами-векторами

ri равна

С

геометрической сумме напряжённостей электрических полей Ei всех

точечных зарядов:

N

E(r) Ei(ri).

(1.6)

рис

1 n

i 1

бА

электрических

( . 1.2) ч сленно равен алгебраической сумме

зарядов, заключённых внутри этой поверхности, делённой на ε0:

ФE E dS

Qi .

(1.7)

S

0 i 1

Линии напряжённости

Д

q

S

r

Рис. 1.2

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой

формы. Если заряд в пространстве распределён с объёмной

плотностью

dq

,

то теорема Гаусса дляИэлектрического поля в

dV

вакууме будет иметь следующий вид:

1

ФE

EdS En dS

dV .

(1.8)

S

S

0 V

q

1

r

E(r)

.

(1.9)

4 0 r2

r

Напряжённость убывает обратно пропорционально квадрату

расстоян я r.

- Заряженная полая сфера

С

0

(0 r R);

q

1

E (r)

r

(r R),

(1.10)

4 0

r

2

r

где q – заряд сферы.

и

Электр ческое поле внутри однородно заряженной полой сферы

радиусом R равно нулю. Напряжённость электрического поля убывает

обратно пропорционально квадрату расстояния r.

- Однородно заряженный шар

q

r

r

(0 r R );

4 0

R

3

E (r)

r

q

1

(1.11)

r

(r R ),

бА

4

0

r2

r

Д

- Бесконечно длинная заряженная нить

E(r)

1

2

,И(1.12)

4 0

r

ex ,

(1.13)

E

2 0

где – поверхностная плотность заряда (заряд единицы поверхности

С

– единичный вектор,

=

dq/dS, где

S – площадь пластины); ex

направленный вдоль оси х ортогонально пластине. Верхний и нижний

знаки в формуле (1.13) спользуются для x>0 (x<0).

На небольшом расстоянии от пластины, которая расположена в

плоскости0

x = 0,

поле однородно: напряжённость пропорциональна

поверхностной плотности заряда.

- Однородно заряженные параллельные бесконечные пластины:

l

бесконечном

E ex ;

l

x

,

(1.14)

2

2

где l – расстоян

между пластинами.

Вектор электр ческого смещения (электрическая индукция)

D

в

А

определяется

однородном

диэлектрике

соотношением D 0E.

Потенциальная энергия U заряда q0, находящегося в поле

заряда q на расстоянии r от него, удет

Д

U(r)

1

qq0

.

(1.15)

4 0

r

n

n

q

U U

q

i

.

(1.16)

i 1 i

0i 1

4 r

0

i

Потенциал в какой-либо точке

электростатического поля –

физическая величина, определяемая потенциальной

энергией

И

единичного положительного заряда q0 , помещённого в данную точку

поля:

U

.

(1.17)

q0

заряда:

- Точечный заряд

расстоянию

q

1

С

.

(1.18)

4 0 r

Потенц ал точечного заряда в трёхмерном пространстве обратно

бА

пропорц онален

r от заряда до точки наблюдения.

- Заряженная полая сфера

q

(0 r R);

4 0R

(1.19)

q

(r R),

4 0r

q

3

r2

8 0

R

Д3 (0 r R);

R

(1.20)

q

1

(r R),

И

4 0

r

A12 q( 1

2 ).

(1.21)

Потенциал – физическая величина, определяемая работой сил

электростатического

поля

по

перемещению

единичного

положительного заряда

q при удалении его из данной точки поля в

бесконечность:

С

A

.

(1.22)

q

поля, создаваемого

Пр нц п суперпозиции: потенциал

зарядов q1, q2, ..., qn, равен сумме потенциалов φi полей,

создаваемых каждым

з этих зарядов в отдельности:

системой

n

(1.23)

i.

i 1

Энергия системы точечных зарядов q1, q2, …, qi

1

n

(1.24)

W

qi i

,

2 i 1

где φi – потенциалы полей в точке нахождения заряда qi, создаваемые

всеми остальными зарядами, кроме qi.

бА

Связь между напряжённостью и потенциалом поля

Ex

;

Ex

;

Ex

.

(1.25)

x

y

z

Д

Напряжённость поля как градиент потенциала

E i

j

k

grad .

(1.26)

y

x

z

И

С

+q

l

-q

p

r

r

и

Рис. 1.3

p

Д поль характер зуется электрическим дипольным моментом

q

l ,

где l

– вектор, проведённый

от отрицательного к

полож тельному заряду. Дипольный момент является важной

характер ст кой

электрического

поля

диполя на

больших

расстоян

ях от него.

Электрический дипольный момент системы зарядов

n

(1.27)

p qiri.

i 1

где ri – радиус-вектор заряда qi.

Д

ВращающийбАмомент M, действующий на диполь (рис. 1.4) в

однородном электрическом поле, находим по следующей формуле:

M

p E.

(1.28)

E

И

F

q p

q

F

Рис. 1.4

Потенциальная энергия диполя в электрическом поле

U p E pE cos ,

(1.29)

обусловленный эт м зарядом.

С U .

(1.31)

величиной

Электроёмкость C системы из проводников является скалярной

С, показывающей какое количество заряда может

накапл ваться в этой с стеме при заданном напряжении U.

бА;

(1.32)

q

Фарад (Ф) является единицей

измерения

ёмкости

в системе СИ.

[C]=Ф=Кл/В.

Ёмкости конденсаторов, включённых

а) последовательно

1

1

1

1

n 1

Cобщ

С1

С2

Сn

i 1

Ci

б) параллельно

Собщ

С1 С2

Сn

n

(1.33)

Сi.

Д

i 1

И

С

0 S

;

(1.35)

d

в)

ёмкость

цилиндрического

конденсатора

прямо

пропорциональна его длине l и обратно пропорциональна логарифму

С

отношения радиусов внешнего R и внутреннего r цилиндров:

С 2 0

l

;

(1.36)

ними

ln(R/r)

0

R r

г)

ёмкость сфер ческого конденсатора (две концентрические

:

бА

C 4

R r

.

(1.37)

W

1

2

1

1 D

2

0 E

E D

.

(1.38)

V

2

2

2 0

W

1

qU

CU2

q2

,

(1.39)

2

2

И

2C

где U – разность потенциалов (напряжениеД) на его обкладках.

Диэлектрик (изолятор) –

вещество, плохо проводящее

E 0

E 0

E 0

E 0

F

F

F

F

F

F

С

F

F

Р с. 1.5.

Рис. 1.6.

и

p 0.

Д

V

Вектор поляризацииАP равен плотности электрических

диполей на единицу объёма диэлектрика. Его направление совпадает

с направлением связанного заряда, который направлен от

отрицательного заряда к положительному. Модуль вектора

поляризации P равен плотности поверхностных

связанных

зарядов p :

dp

P

;

P

p.

(1.40)

dV

Вектор поляризации P и вектор напряжённостиИэлектрического

поля E имеют одинаковое направление. В небольших электрических

полях связь поляризации P с напряжённостью E электрического

поля в диэлектрике линейная:

P x 0E,

(1.41)

где x – диэлектрическая восприимчивость, ε0

–

электрическая

постоянная.

Относительная

диэлектрическая

проницаемость

–

безразмерная величина, зависящая от материала. Она характеризует

уменьшение напряжённости электрического поля при внесении

С

материала (диэлектрика) в электрическое поле. Относительная

диэлектрическая проницаемость вакуума =1.

Электр ческая

поляризация

P в диэлектрике

выражается

следующ м образом:

и

(1.42)

P ( 1) 0E x 0E.

Д электр ческая восприимчивость x определяется относи-

тельной д электр ческой проницаемостью:

x 1.

(1.43)

Вектор

электр ческого

смещения

D

в

диэлектриках

выражается следующ ми уравнениями:

D 0E E,

D 0E P.

(1.44)

Особую

группу

диэлектрических

веществ

образуют

сегнетоэлектрикибА: сегнетова соль, метатитанат бария и др.