2.3.2. Цифровые коды

В основу прав л соответствия кодовых комбинаций числам цифровых кодов положены математические системы счисления, поэтому данные коды называются также арифметическими или взвешенными [7].

Запись кодовых ком инаций в виде многочлена

Любое число в системе счисления с основанием X можно представить в виде многочлена. Так, n-разрядное число запишется в виде

i 0

31

Десятичное число 47 запишется следующим образом:

47 1 25 0 24 1 23 1 22 1 21 1 20

или в виде многочлена

СибАДИG(X) 1 x5 0 x4 1 x3 1 x2 1 x1 1 x0 x5 x3 x2 x1 1. (2.3.4)

Сложение

Над многочленами можно производить все алгебраические операции. Обычное сложение с переносом числа в высший разряд здесь непримен мо, так как это может привести к образованию более высокого разряда, чем пр нято в данном коде, что недопустимо. Поэтому применяется так называемое сложение двоичных чисел по модулю 2, обозначаемое знаком.

При двух слагаемых правила сложения следующие: 0 0 0; 0 1 1; 1 0 1; 1 1 0.

При сложении многозначных чисел складывают разряды, занимающие одинаковые места. При этом сложение сводится к сложению только коэффициентов при членах совпадающих степеней. Если складываются несколько чисел, то четное число единиц в сумме дает нуль, а сумма нечетного числа единиц приравнивается к единице. Иногда в результате сложения нескольких чисел сумма выражается меньшим двоичным числом, чем какое-либо из слагаемых.

Для примера произведем сложение следующих многочленов:

x6 x5 x3 x2 1; x5 x4 x2; x6 x5 x4 x3 x2 x1 1.

32

Выразим эти многочлены в двоичных числах и, расположив их соответствующим образом в столбцы, произведем сложение:

СибАДИчением сложен я, которое производится по модулю 2. Перемнож м два многочлена:

Для того что ы при умножении многочленов не увеличилась разрядность степени многочлена выше заданной, производят так называемое с мвол ческое умножение, или умножение в конечном поле

Произведем теперь умножение многочлена на xn. Например, (x5 x4 x2) x3 x8 x7 x5.В результате умножения степень каждого члена многочлена повышалась на n. В двоичной форме записи 110100 x 1000=110100000. Таким образом, умножение многочлена на xn означает приписывание справа n нулей.

Деление

При делении в двоичной записи делитель умножается на частное и подписывается под делимым так, чтобы совпадали старшие разряды. В частное записывается единица. Для нахождения первого остатка из делимого вычитается делитель (что эквивалентно их сложению

33

по модулю 2) и к остатку справа сносится очередной разряд делимого. Далее под первым остатком снова подписывается делитель и в частное приписывается еще одна единица, если число разрядов в остатке равно числу разрядов делителя. В противном случае в частном записывается нуль и к остатку подписывается очередной член делимого. Деление продолжается до тех пор, пока степень остатка не станет

СибАДИменьше степени делителя, т.е. число разрядов остатка не окажется меньше ч сла разрядов делителя. Например,

.

При составлен ц клических кодов необходимо уметь находить только остатки без определения частного. Ниже дается пример нахождения нескольких остатков при делении единицы с нулями на слу-

чайно выбранный многочлен P(X) x3 x 1. Следует помнить, что число разрядов у остатков на единицу меньше, чем у делителя.

Перенос слагаемых

Понятие отрицательной цифры при операциях в конечном поле двоичных чисел отсутствует, так как это привело бы к увеличению признаков с двух до трех, т.е. к троичной системе счисления. Поэтому перенос слагаемых из одной части в другую производится без изменения знака. Например, справедливо как выражение

34

(x4 x 1) (x3 x) x4 x3 1, так и выражение, отличающееся тем, что второе слагаемое левой части перенесено в правую без изменения знака, т.е. (x4 x 1) (x3 x) (x4 x3 1).Справедливость этих равенств проверяется сложением по модулю 2 одночленов с одинаковыми степенями.

Если взять любые две или более строки матрицы a и сложить их по модулю 2, то получим одну из остальных строк, записанных в этой матрице (пункты б – з). Например, складывая вторую и третью строки, получим четвертую строку (пункт г). Из матрицы a можно выбрать комбинации, состоящие из одной единицы. Такие комбинации образуют матрицу, называемую единичной матрицей (матрица и). Матрица к является транспонированной единичной матрицей, т.е. зеркальным отображением матрицы и. Интересным свойством обладает единичная матрица : если сложить по модулю 2 в различном сочетании строки, то получим все остальные строки матрицы a без нулевой.

При исследовании кодов иногда оказывается полезным графическое и геометрическое представление кодов.

35

Графическое представление кода

Часто указывает пути и методы кодирования и декодирования комбинаций и представляет собой древовидный график, состоящий из точек и расходящихся от них линий, заканчивающихся также точка-

ми. Точки графа называются вершинами, а соединяющие их линии – Сибребрами. Начальная вершинаАД, от которой начинаетсяИрасхождение ре-

бер, называется корнем дерева, а число ребер, которое надо пройти от корня к некоторой вершине, – порядком этой вершины. Максимальное число ребер, которые могут выходить из каждой вершины дерева, равно основан ю кода, а максимальный порядок вершин, которое оно содерж т, равен макс мальной длине кодовых комбинаций. Значения разрядов комб нац , приписываемой каждой вершине, соответствуют направлен ям дв жения по ребрам от корня дерева к данной вершине. Ребра, ведущ е от корня к вершинам первого порядка, определяют значен е первого слева разряда комбинации; ребра, соединяющ е верш ны первого второго порядков, дают значение второго

разряда комб нац т.д.

На рис. 2.3.4 показано кодовое дерево для двоичного трехразрядного кода.

Рис. 2.3.4. Графическое представление кодового дерева

36

Геометрическая модель кода

Является более наглядной, чем графическое представление кода. Она дает наглядное представление о возможностях перехода одной комбинации в другую в результате искажения, поэтому по ней легко

судить о корректирующих возможностях кода, т.е. о его способности обнаруживать и исправлять ошибки.

СибАДдвоичного кода И

Любая n-разрядная двоичная кодовая комбинация может быть интерпрет рована как вершина n-мерного единичного куба, т.е. куба с

длиной ребра, равной 1.

При n=2 кодовые комбинации располагаются в вершинах квадра-

та (рис. 2.3.5), при n=3 – в вершинах единичного куба (рис. 2.3.6).

В общем случае n-мерный единичный куб имеет 2n вершин, что равно на большему возможному числу кодовых комбинаций. Такая

ответствует на меньшему числу ребер единичного куба, которое необход мо пройти, что ы попасть от одной комбинации к другой.

На рис. 2.3.7 и 2.3.8 представлены геометрические модели троичного двухразрядного и трехразрядного кодов соответственно.

37

СибР с. 2.3.7. ГеометрическаяАДмодель троичногоИ двухразрядного кода

Рис. 2.3.8. Геометрическая модель троичного трёхразрядного кода

Классификация двоичных кодов

По возможности обнаружения и исправления ошибок различают простые корректирующие коды. Дальнейшая классификация приведена на рис. 2.3.9.

Корректирующий код называется блочным, если каждая его комбинация имеет ограниченную длину, и непрерывным, если его комбинация имеет неограниченную, а точнее, полубесконечную длину.

Коды в зависимости от методов внесения избыточности подразделяются на разделимые и неразделимые. В разделимых кодах четко разграничена роль отдельных символов. Одни символы являются ин-

38

формационными, другие являются проверочными и служат для обнаружения и исправления ошибок.

Разделимые блочные коды называются обычно n, k-кодами, где n – длина кодовых комбинаций; k – число информационных символов в комбинациях.

Неразделимые коды не имеют четкого разделения кодовой ком- СибАДИбинации на информационные и проверочные символы.

Раздел мые блочные коды делятся на систематические несистематическ е. Нес стематические коды строятся таким образом, что проверочные с мволы определяются как сумма подблоков длины l , на которые разделяется блок информационных символов. У систематическ х кодов проверочные символы определяются в результате проведен я л нейных операций над определенными информационными с мволами.

Рис. 2.3.9. Классификация двоичных кодов

Основные характеристики двоичных кодов

Двоичные коды характеризуются весом кода w, кодовым расстоянием d и весовой характеристикой F(w) . Весом кода w называется количество единиц в кодовой комбинации. Например, для кодовой комбинации 1011110 вес кода w=5.

39