2.2. Квантование

15

их с вертикальными линиями, т.е. линии 0–1', 1–2' и т.д. Далее точки 1'–1, 2'–2, 3'–3 и т.д. соединяют и получают ломаную квантованную функцию λ’(t).

СибАДИТ ав

Рис. 2.2.1. Квантование сообщения по времени: а – метод квантования и восстановление функции

ступенчатой интерполяцией; б – погрешности квантования; в – восстановление функции линейной интерполяцией

Очевидно, что чем больше дискретных значений передается за время Т, т.е. чем меньше шаг квантования ∆t, тем с большей точностью будет восстановлена на приеме функция λ’(t). Однако излишне

16

малая величина ∆t увеличивает массив измеренных значений и для их запоминания требуется больший объем памяти. В то же время при чрезмерно большом шаге квантования воспроизводимая функция будет не очень точной и сильно искаженной.

Однако меется ряд ограничений для практического применения этой теоремы. Так, все соо щения, передаваемые в телемеханике, представляют со ой о ычно видеоили радиоимпульсы длительностью τ, у которых спектр есконечен. Поэтому представляет значительные трудности вы ор величины Fmax в формуле (2.2.1) для функций, огран ченных во времени. Так, например, если передавать синусоидальное напряжение с частотой 50 Гц бесконечно долго во времени, то согласно формуле (2.2.1) для восстановления его формы на приеме достаточно передать за период лишь два импульса, соответствующих амплитудным значениям: один – положительной полуволне, другой – отрицательной. Если же предавать синусоидальное напряжение в конечном отрезке времени, то для восстановления формы этого радиоимпульса необходимо уже не два, а значительно больше импульсов, хотя точно указать их число невозможно из-за того, что спектр частот радиоимпульсов бесконечен.

Практически теорему Котельникова можно принять со следую-

где η – коэффициент, зависящий от точности воспроизведения функции и способа интерполяции: при линейной ηл=0,75/ и при ступенчатой ηст=(3–5)ηл (δ – относительная погрешность в %).

Существует и другой подход определения шага квантования, исходящий из задаваемой величины погрешности. Для примера на рис. 2.2.1,б начерчены в виде фигур, близких к треугольникам, вели-

17

чины абсолютных погрешностей, возникающих при квантовании; эти фигуры подобны таковым на рис. 2.2.1,а. На рис. 2.2.1,б показано, что заданная величина абсолютной погрешности ∆З на одном участке нарастания функции λ(t) достигается за период ∆t, на другом – за ∆t2, а на некоторых она оказывается меньше заданной (например, на участ-

всплеск функц (пунктир), то выбранный шаг квантования ∆t оказался бы сл шком большим и этот всплеск не был бы восстановлен

где ∆ – абсолютная погрешность (см. рис. 2.2.1,б).

Если считать, что максимальная скорость нарастания сохраняется во всем диапазоне изменения сообщения от нуля до максимального значения, то минимальное время изменения сообщения (т.е. период) во всем диапазоне

Здесь при расчетах следует учитывать или +∆з, или –∆з, т.е. в среднем ∆/2. Это значит, что δ=∆∙100/2λmax, откуда ∆=2λmax δ/100.

Формула выведена с учетом восстановления функции при помощи ступенчатой интерполяции.

Пример. Найти ∆t при квантовании синусоидального напряжения частоты F=50 Гц. Погрешности при восстановлении δ=1%.

18

с=0,4 мс. Такой же результат получается и из формулы (2.2.5). Таким образом, при заданной точности восстановления каждый полупериод синусо ды следует передавать одним значением, а именно 25 при ступенчатой нтерполяции и 7,5 при линейной.

Восстанов ть квантованную по времени функцию на приемной стороне можно при помощи ступенчатой или линейной интерполяции или спользуя метод Котельникова. Чаще всего применяется ступенчатая нтерполяция. Ступенчатая интерполяция на рис. 2.2.1,а выполняется с помощью запоминающих устройств, сохраняющих значен я λ(ti) до появления следующего значения λ(ti+1).

Погрешность от ступенчатой интерполяции изображена на рис. 2.2.1,б. Причем под погрешностью интерполяции понимается разность между мгновенными значениями восстановленного и исходного символов, взятых в одни и те же моменты времени. Максимальная погрешность возникает в точках 1', 2', ..., 9'. Погрешность равна нулю в точках 1, 2, 3, ..., 9.

В общем случае задаются среднеквадратичные значения этой погрешности

где n – число замеров.

При восстановлении квантованной функции по Котельникову нужно знать все дискретные точки, как предыдущие, так последующие, или во всяком случае для практической реализации должно быть известно несколько точек до и после интервала, в котором происходит интерполяция. Знание последующих точек возможно лишь в системах, допускающих запаздывание в передаче информации. Большинство телемеханических систем работает в реальном масштабе времени и не допускает запаздывания. В таких системах приходится использовать ступенчатую интерполяцию.

19

Действительно, если, например, известно значение функции в момент t4 (см. рис. 2.2.1,а, точка 4), то при ступенчатой интерполяции нам заранее известно, что через ∆t значение функции будет тем же (точка 5`). Каким оно будет при линейной интерполяции через интервал ∆t, неизвестно: то ли возрастет (точка 5), то ли уменьшится (точка 52).

спектру передаваемой функции. Однако при этом возникают погрешности з-за того, что амплитудно-частотная характеристика реального фильтра отл чается от характеристики идеального фильтра. Восстановлен е при помощи фильтра имеет смысл, если спектр передаваемой функц достаточно сосредоточен в области нуля по оси частот. Квантован е по времени о ычно используется для осуществления амплитудномпульсной модуляции.

Квантован е по уровню и времени. При квантовании по уров-

ню передаваемые значения могут следовать друг за другом с переменным шагом ∆t. При квантовании по времени найденные значения непрерывной величины в дискретные моменты времени чередуются через строго определенные интервалы времени ∆t (шаг квантования), но имеют самую разноо разную амплитуду (уровень) [6].

В некоторых случаях квантование осуществляется с заданными шагами квантования как по времени, так и по уровню. На рис. 2.2.2 показано, как производится квантование по уровню по времени функции λ(t).

Рис. 2.2.2. Квантование по уровню и времени

20

Сначала проводятся линии, параллельные оси с шагом ∆t, затем уровни с шагом q, параллельные оси времени. Квантование осуществляется путем замены через время ∆t значений функции λ(t) ближайшим дискретным уровнем. Проследим по рисунку, как находятся эти точки.

В начальный момент ближайшим уровнем к значениям функции будет уровень 3, поэтому здесь ставится точка а. В момент t1 ближайшим уровнем является уровень 2 (точка b). В момент t2 ближайший уровень – это снова уровень 2 (точка c). Далее следуют точки d, e, f и т. д. Так м образом, следует придерживаться правила: в данный момент времени заменяют функцию ее ближайшим дискретным зна-

Сибпо времени. АДИ В большинстве случаев узловые точки (а, b, c…) ломаной кри-

чением (на пересечен ях вертикальных и горизонтальных линий).

При восстановлен и из вы ранных точек (а, b, c и т. д.) следует сначала провести гор зонтальные линии вправо на шаг квантования, т.е. до пересечен я х с вертикальными линиями (при этом запоминается предыдущее значение функции). Далее горизонтальные отрезки соединяются верт кальными отрезками. Иными словами, функция

восстанавл вается при помощи ступенчатой интерполяции.

Погрешности, возникающие от одновременного квантования по

вой могут располагаться не на непрерывной кривой, как при квантовании по времени, что увеличивает погрешность квантования.

Квантование по уровню. Квантование по уровню – это процесс замены непрерывной функции ее отдельными значениями, отстоящими друг от друга на конечный интервал (уровень), т.е. значение функции в произвольный момент времени заменяется ее ближайшим значением, называемым уровнем квантования. Интервал между двумя дискретными значениями уровней называется шагом квантования q.

По оси ординат (рис. 2.2.3,б) откладывается величина заранее выбранного шага квантования q и проводятся линии, параллельные оси времени, обозначающие уровни квантования. Переход с одного

21

уровня на другой происходит, когда значение функции находится в середине интервала квантования, так как в этот момент абсолютная погрешность квантования ∆ку оказывается наибольшей (рис. 2.2.3,а). Действительно, если значение функции находится в середине между двумя уровнями (точки а, b, c…), то возникает неопределенность, так как функция равноудалена от обоих уровней. Так, например, если значение функции в точке b возрастает на бесконечно малую величину, то это новое значен е целесообразно отнести к уровню 3. Наоборот, значен е функц , несколько меньше значения в точке с, будет заменено уровнем 2. Исходя из сказанного, процесс квантования осуществляется следующ м образом: интервал квантования делится пополам проводятся пунктирные горизонтальные линии до их пересечения с квантуемой функцией [6].

СибАДИа в

б

Рис. 2.2.3. Квантование сигнала по уровню: а – с постоянным шагом квантования;

– погрешности квантования; в – квантование с переменным шагом

Точки пересечения обозначаются буквами (а, b, c, d и т. д.), в них значение функции передается наименее точно, возникает ошибка квантования ∆ку, равная разности между значением функции λ(t) и ближайшим уровнем. Так как наименее точно функция передается в точке, находящейся между двумя уровнями квантования и отстоящей от них на половину интервала квантования q/2, то максимальная ошибка квантования по уровню определится как

22

где +q/2 – максимальная положительная ошибка квантования, например, от точки b до уровня 2, а –q/2 – максимальная отрицательная ошибка квантования, например, от точки с до уровня 3. Погрешности

Сиквантования представленыбАна рис. 2.2.3,ДИб, на котором на оси времени отложены отрезки уровней квантования, пересекаемые функцией.

Так, функц я между точками k и a пересекает уровень 2. Этот уровень отложен на оси t (см. рис. 2.2.3,б), и проведен отрезок функции k–a. На участке а–b функция хотя и не пересекает ни один из уровней, но так как она проходит ближе к уровню 1, то отрезок этого уровня откладывается на оси времени. В этом диапазоне от точки а до точки b погрешность отсчитывается от уровня 1 и будет только положительная. На друг х участках имеет место погрешность и положительная, отр цательная.

Так м образом, в результате квантования функции λ(t), произведенного по определенному правилу, был отобран ряд дискретных значений этой функции в точках а, b, c, d и т. д. Отбором точек и заканчивается собственно процесс квантования. Если же необходимо представить себе полностью форму той функции, которая заменила функцию λ(t), поступают следующим образом. Через точки а, b, c, d и т. д. проводят вертикальные отрезки (до их пересечения с уровнями), которые затем соединяются горизонтальными отрезками, образуя ступенчатую квантованную функцию λ’(t). Из рис. 2.2.3,а следует, что квантованная ступенчатая функция λ’(t) как бы обходит с двух сторон (выше ниже) непрерывную функцию λ(t). Это позволяет рассматривать квантование как результат наложения на функцию λ(t) помехи ∆(t), которую называют шумом или помехой квантования.

Как следует из рис. 2.2.3,а, число уровней квантования Nк на единицу больше числа интервалов Nк–1.

Если сообщение λ(t) ограничено диапазоном от λmin до λmax, то

23

Что касается точности преобразования (квантования), то обычно она задается в виде значения приведенной относительной погрешно-

сти δк.у (в %), которая, по определению, равна к.у ку 100 . При

max min

описанном выше методе квантования погрешность (см. рис. 2.2.3,б)

Пр мер. Предположим, нео ходимо провести квантование непрерывной функции от нуля до 100 В с точностью δк.у=1%.

Согласно формуле (2.2.11) q=2В. Из выражения (2.2.9) определяем, что необходим 51 уровень квантования.

Замена действительного значения функции ее ближайшим значением создает погрешность квантования, которая может принять любые величины от –q/2 до +q/2 (см. рис. 2.2.3, ). При достаточно большом числе уровней квантования Nк распределение погрешности квантования в пределах от –q/2 до +q/2 будет равномерное независимо от закона распределения самой функции (t). Поэтому средне-

т. е. в 3 раз меньше максимальной ошибки.

Неравномерное квантование по уровню. Некоторые функции,

подлежащие квантованию, изменяются так, что их целесообразно квантовать с переменным шагом квантования q1, q2,…, qn. Так, на рис. 2.2.3,в показана нелинейная зависимость тока I от напряжения U. Если необходимо при измерении получить равномерную шкалу напряжений, то отсчет по току надо вести с переменным шагом q, уменьшая его с ростом амплитуды. Могут быть и другие варианты изменения шага квантования. Так, например, если необходимо полу-

24

чить более точные значения в какой-либо части квантуемой функции, то в этом диапазоне шаг квантования следует уменьшить [2].

Восстановление функции, квантованной по уровню. Кванто-

вание по уровню осуществляется для последующего кодирования, т.е. каждый уровень квантованной функции передается кодом.

На приемной стороне кодовая комбинация, поступая на дешиф- СибАДИратор, преобразуется в ток или напряжение, которые используются по назначен ю (отклоняют стрелку прибора, изменяют показания цифровых нд каторов т.д.). Принятая квантованная функция в своем первоначальном (непрерывном) виде на приеме обычно не восстанавливается, хотя это можно сделать путем линейной или более сложной интерполяц . Простейшая ступенчатая интерполяция функции λ(t)

была осуществлена, когда горизонтальными отрезками соединялись вертикальные отрезки, о разуя функцию λ’(t) (рис. 2.2.4,а).

а

б

Рис. 2.2.4. Дифференциальное квантование: а – квантование восстановление функции; б – импульсы ∆-модуляции

Дифференциальное квантование. Этот вид квантования при-

меняется при осуществлении дельта-модуляции. Также расчерчивается сетка из вертикальных и горизонтальных линий с точками ∆t и q соответственно [6].

25

Переход с уровня на уровень осуществляется через интервал ∆t по следующему правилу: если значение λ(t) больше, чем дискретное значение λ’(t) в предыдущем интервале, то происходит переход на следующий, более высокий, дискретный уровень. Если текущее значение λ(t) меньше, чем дискретное значение в предыдущем интервале,

происходит переход на более низкий дискретный уровень.

СибАк.д.ск ДИ

Из рис. 2.2.4,а следует:

- в точке b λ(t)<λ’(t) в точке а', λ’(t) переходит на уровень ниже в

точку b';

- в точке c λ(t)<λ’(t) в точке b', λ’(t) переходит на уровень ниже в

точку c';

- в точке d λ(t)>λ’(t) в точке c', λ’(t) переходит на уровень выше в

точку d';

- в точке e λ(t)<λ`(t) в точке d’, λ’(t) переходит на уровень ниже в

точку e’;

- в точке f λ(t)>λ’(t) в точке е’, λ’(t) переходит на уровень выше в

точку f’.

На р с. 2.2.4, показано, что отрицательные импульсы появляются при отрицательной оши ке, а положительные – при положительной ошибке. Этот ряд импульсов соответствует производной dλ(t)/dt и представляет со ой результат дифференциального квантования функции λ(t) с приращениями ∆.

Характерно, что при быстрых изменениях функции λ(t) возможно отставание ступенчатой функции от непрерывной из-за того, что по условиям квантования не разрешается переход больше чем на один уровень в отличие от квантования по уровню и времени, где возможен переход через несколько уровней. Чем круче кривая, тем больше отставание функции λ’(t) от λ(t). Для уменьшения отставания необхо-

3

Достоинством дифференциального квантования является то, что квантованная функция передается только полярными признаками импульсов, т.е. значительно проще, чем при других видах квантования.

26