1819

2.1.2. Устойчивость линейных систем 2-го порядка

Пусть в системе дифференциальных уравнений (ДУ) (2.1) функции F(N1, N2) и G(N1, N2) – линейные функции относительно N1 и N2, т.е.

Тогда в векторной форме система (1.1) запишется следующим обра-

зом:

_

Собственными числами матрицы А называются корни характеристического многочлена det(А- I)=0, где det(А- I) – определитель матрицы

Характеристический многочлен для системы 2-го порядка имеет тоже второй порядок:

По теореме Виета

Отсюда следует, что для следа матрицы А (след Tr А – сумма диагональных элементов матрицы А) и определителя det A имеем равенства

Тогда уравнение (2.3) перепишется в виде

где D – дискриминант уравнения (2.4).

D Tr A 2 4det A .

21

ТЕОРЕМА (критерий устойчивости линейной системы)

Если собственные числа матрицы А линейной системы (2.2) принадлежат левой полуплоскости, то положение равновесия (0,0) асимптотически устойчиво.

Если хотя бы одно собственное число принадлежат правой полуплоскости, то система неустойчива.

Из (2.5) следует, что для систем 2-го порядка условие асимптотической устойчивости выполняется тогда и только тогда, когда Tr A < 0 и det А > 0. При нарушении хотя бы одного из этих условий положение равновесия неустойчиво. У линейных систем точка (0,0) является положением равновесия. Если det A 0, то других положений равновесия нет. От знака дискриминанта D зависит вид собственных значений матрицы А.

1. Если D > 0, то оба собственных числа действительны. В этом случае возможны следующие ситуации:

a) 1 2, 1 > 0, 2 > 0.

Положение равновесия неустойчиво.

Фазовый портрет в окрестности (N1, N2) для случая a) представлен на рис. 2.1.

Такое положение равновесия называется

неустойчивым узлом.

б) 1 , 2 < 0, 1 2 .

Рис. 2.1.Неустойчивый узел

В этом случае положение равновесия устойчиво, так как оба собственных числа лежат в левой полуплоскости.

Фазовый портрет в окрестности неподвижной точки для случая б) показан на рис. 2.2.

Такое положение равновесия называ-

ется устойчивым узлом.

Рис. 2.2.Устойчивый узел

22

в) 1 > 0, 2 < 0.

Действительные собственные числа противоположных знаков порождают неустойчивое положение равновесия, называемое седлом (рис. 2.3).

В этом случае det А < 0.

2. D = 0. Равные собственные числа. а) 1 = 2 = 0 0 и матрица

А – скалярная (А= I).

Рис. 2.4.Устойчивый звёздный узел Рис. 2.5. Неустойчивый звёздный узел

б) 1 = 2 = 0 0 и матрица А не диагональна. Положение равновесия называется вырожденным узлом . Оно устойчиво , если 0 < 0 (рис.2.6), и неустойчиво при 0>0 (рис. 2.7).

Прямая, на которой траектории меняют свои направления, – геомет-

рическое место точек экстремума для N1 . Оно задается уравнением dN1 =0. dt

23

2.1.3. Устойчивость в случае нелинейных систем

Пусть теперь функции F(N1, N2) и G(N1, N2) в системе (2.1) нелинейные. Исследование на устойчивость положения равновесия нелинейных систем на практике сводится к исследованию на устойчивость линейной системы, являющейся линеаризацией (системой первого приближения) для (2.1). Пусть (N10, N20) – неподвижная точка системы (2.1). Линеаризованная в окрестности (N10, N20) система для (2.1) имеет вид

ТЕОРЕМА. Если линеаризация асимптотически устойчива, то (N1, N2)

– асимптотически устойчивое положение равновесия для исходной нелинейной системы (2.1). Если у матрицы W есть хотя бы одно собственное число в правой полуплоскости, то положение равновесия (N1, N2) неустойчиво.

2.2.Экологические модели

Вэтом параграфе исследуются некоторые нелинейные модели динамики популяций методом качественного исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В п. 2.2.1 рассмотрено исследование модели о двух конкурирующих видах, в п. 2.2.2 – различные модификации модели «хищник – жертва», а в п. 2.2.3 изучаются две модели распространения эпидемии.

2.2.1. Модель конкуренции двух видов (модель 1)

Пусть два вида животных конкурируют друг с другом на некоторой территории с ограниченными запасами пищи. Возможны различные исходы их конкурентной борьбы:

а) вид 1 выживает, а вид 2 умирает; б) вид 2 выживает, а вид 1 умирает; в) оба вида сосуществуют; г) оба вида вымирают.

26

Каждый из этих исходов соответствует некоторому положению равновесия для популяции N1 и N2 двух рассматриваемых видов. Поэтому дифференциальные уравнения, моделирующие динамику популяций N1 и N2 , должны иметь 4 положения равновесия.

Рассмотрим следующие нелинейные динамические уравнения:

где a, b, c, d, s, g > 0.

Здесь a и c – интенсивности роста для видов 1 и 2 соответственно (скорости размножения изолированных популяций N1 и N2 ); члены –b N1 и –d N2 соответствуют внутривидовой конкуренции, а члены –s N2 и

–g N1 соответствуют межвидовой конкуренции. Необходимое условие для возможности выживания обоих видов состоит в том, что должна существовать неподвижная точка системы (2.1), обе координаты которой положительны. Т.к. смысл N1 и N2 – численность популяций, нас интересуют только неподвижные точки, лежащие в первом квадранте плоскости N1, N2 . Найдем неподвижные точки системы (2.6):

Неподвижные точки системы (2.6) – это решения системы (2.7).

1.Очевидно, точка (0,0) есть неподвижная точка системы (2.6). Этой точке соответствует случай вымирания обоих видов животных.

2.Вторую неподвижную точку найдем из условий

N1= 0, c – g ·N1 – d·N2 = 0.

Искомая точка лежит на пересечении оси координат 0N2 и прямой N2 = c/d – g/d·N1. Координаты точки равны (0, c/d), ей соответствует случай вымирания первого вида.

3.Аналогично находится третья неподвижная точка системы с координатами (a/b, 0), что соответствует вымиранию второго вида.

4.Для нахождения четвертой неподвижной точки нужно решить систему уравнений:

a bN1 sN2 0;

с gN1 dN2 0,

27

N1 a/b s/b N2 ,

c g a/b s/b N2 dN2 0,

N2 cb ag .

Итак, искомая точка лежит на пересечении двух прямых а – bN1 - sN2 = 0 и c – gN1 – dN2 = 0 и имеет координаты

ad sc cb ag . bd gs bd gs

Так как нас интересуют в этом случае только положительные координаты, то должны выполняться следующие условия:

а) bd – gs > О , ad – sc > 0 , cb – ag > 0 либо б) bd – gs < О , ad – sc < 0 , cb – ag < 0.

Вероятность какого-либо исхода конкурентной борьбы зависит от устойчивости соответствующего положения равновесия.

Рассмотрим случай выполнения условий б). ( Исследование в случае а) предлагается проделать самостоятельно.) После нахождения неподвижных точек системы (2.6) для исследования поведения решения произведем линеаризацию этой системы в окрестностях точек покоя. Каждую из линеаризованных систем запишем в виде

N = W N ,

где W – матрица Якоби.

1. Матрица Якоби для точки (0,0):

detW = ac > о , TrW = a + c > 0 , следовательно , положение равновесия неустойчиво (рис. 2.11). Составим характеристическое уравнение

28

Это уравнение можно было составить, используя (2.4).

1 = a > 0 , 2 = c > 0 .

Так как оба собственных числа положительны, то, согласно п. 2.1.1, положение равновесия (0,0) есть неустойчивый узел. Все траектории сис-

темы удаляются от точки (0,0), отсюда следует, что вымирание видов при наличии достаточного ресурса пищи и в предложении, что нет других воздействий внешней среды, влияющих на численность популяций, кроме учитываемых нами случаев межвидовой и внутривидовой конкуренции, невозможно.

detW c(a sc) c(sc a),

dd

2.Для точки (0, c/d) матрица Якоби имеет вид:

так как рассматривается случай б), когда выполняются условия ad – sc < 0,

det W > 0 означает для систем 2-го порядка асимптотическую устойчивость положения равновесия. Таким образом, вымирание первого вида вполне возможно.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Доказать, что при выполнении условий б) вполне возможно вымирание 2-го вида. (Примечание. Какой из видов будет вымирать, первый или второй, зависит от начальных условий.)

Рассмотрим теперь неподвижную точку

29

Матрица Якоби:

(cs ad)(ag bc) 0, bd sg

так как выполнены условия б).

Итак, в предположении, что выполняется условие б), det W < 0, откуда

Заметим, что в случае выполнения условий а) det W > 0 . Фазовый портрет системы (2.6) для случая выполнения условий bd – gs < 0 , ad – sc < 0 , cb – ag < 0 (т.е. условий б) ) изображен на рис. 2.12 .

Видим, что сосуществование для двух конкурирующих видов является чрезвычайно маловероятным, так как при t в эту точку входят только две траектории, а все остальные удаляются от нее.

Предполагая, что начальные положения (начальные численности исследуемых популяций) равновероятны, видим, что наиболее вероятным исходом является вымирание одного из видов. Полученный результат находится в соответствии с "принципом конкурентного исключения" Гаузе, согласно которому в таких ситуациях конкурентной борьбы один из видов вымирает.

Рис.2.12. Фазовый портрет системы для условия б)

УПРАЖНЕНИЕ 2. Доказать, что при выполнении неравенств а) получаем противоположный экологический вывод:

30