1574

приводнения отклонится на расстояние, превышающее отклонение капсул с космонавтом Гленном.

1.14. В таблице

приведены значения предела прочности образцов из дюралюминиевого прессованного профиля. Требуется вычислить значения выборочного среднего х, дисперсии s2 и среднего квадратического отклонения s.

1.15. По результатам испытаний на разрыв 20 образцов, приведенных в примере 1.14, определить 90%-ные доверительные интервалы для среднего значения и среднего квадратического отклонения предела прочности дюралюминия, если выборочные

характеристики составляют х=45,3 кгс/мм2 и s=1,13 кгс/мм2.

1.16. Проверяется партия небольших внешне одинаковых электрических предохранителей для определения тока, при котором происходит их перегорание. Получены следующие результаты:

Это фактические данные для предохранителей, рассчитанных на ток 1/16 А, которые получены при резком изменении нагрузки. Вычислите выборочное среднее значение тока, вызывающего перегорание предохранителя, и выборочное среднее квадратическое отклонение на основе нормального распределения.

1.17. Произведено 5 независимых равноточных измерений для определения заряда электрона. Опыты дали следующие результаты (в абсолютных электростатических единицах): 4,781·10-10; 4,792·10-10; 4,795·10-10; 4,779·10-10; 4,769·10- 10. Определить выборочную среднюю заряда электронов и найти доверительные границы при доверительной вероятности 99%, считая, что ошибки распределены по нормальному закону и измерения не имеют систематических ошибок.

1.18. Получено следующее гипотетическое распределение ошибок при 50 замерах длины:

Предполагая, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, оцените вероятную ошибку данной выборки, выборочную среднюю результатов измерений, среднее квадратическое отклонение ошибок.

1.19. Распределение ошибок счетчика Гейгера таково, что 25% его показаний

ниже точного значения ровно на одно деление шкалы, т.е. для них х = -1,0; для 50%

показаний х = 0 (точные отсчеты), а 25% показаний имеют х = +1,0 (на одно деление

шкалы выше). Постройте график этого распределения. Найдите среднее квадратическое

отклонение. Какова вероятность получения трех последовательных показаний, которые

либо точны, либо меньше точного отсчета?

1.20.Средняя квадратическая ошибка высотомера σ = 15 м. Сколько надо иметь таких приборов на самолете, чтобы с надежностью 0,99 ошибка средней высоты хбыла больше 30 м, если ошибки высотомеров нормальны, а систематические ошибки отсутствуют?

1.21.Для определения точности измерительного прибора, систематическая ошибка которого практически равна нулю, было произведено пять независимых измерений: 2781 м, 2836 м, 2807 м, 2763 м, 2858 м. Определить выборочную среднюю и среднее квадратическое отклонение ошибок измерительного прибора.

1.22.Определение скорости снаряда было проведено на 5 испытаниях, в

результате которых вычислена оценка 870,3м/с. Найти 95%-ный доверительный интервал, если известно, что рассеивание скорости подчинено нормальному закону со средним квадратическим отклонением συ=2,1 м/с.

1.23.Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки распределены нормально со средним квадратическим отклонением σh=20 м. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину с ошибкой не более 15 м при доверительной вероятности 90%?

1.24.Постоянная величина измерена 25 раз с помощью прибора,

систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки измерения распределены по нормальному закону со средним квадратическим отклонением а =10

м. Определить границы доверительного интервала для значения измеряемой величины

при доверительной вероятности 0,99, если х=100 м.

1.25. По 15 независимым равноточным измерениям были рассчитаны оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения максимальной скорости самолета 424,7м/с и συ = 8,7 м/с. Определить: а) доверительные границы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности 0,9; б) вероятности, с которыми можно утверждать, что

абсолютное значение ошибки в определении и συ не превзойдет 2 м/с. (Считать выборку нормальной.)

§2. Терминология: два вида ошибок статистического вывода, статистический критерий проверки нулевой гипотезы

После накопления достаточного количества данных, их упорядочения и отсеивания ошибочных результатов можно приступить к их анализу. В технике такой анализ может проводиться в форме обработки данных, построения графиков и исследования численными или аналитическими методами. Необходимо статистическое исследование получаемых результатов, которое дополняет необходимый объем данных

ипомогает контролировать эксперимент.

Вданном параграфе будут рассмотрены методы, позволяющие ответить на следующие простые и важные вопросы. Если имеется две или большее число групп данных, то принадлежат ли они одной и той же совокупности? Если наблюдается ряд событий, то являются ли они результатом действия большого числа случайных факторов или же они подчиняются определенной схеме?

В§1 были рассмотрены такие важные понятия и термины, как генеральная совокупность и выборка, нормальный закон, среднее квадратическое отклонение, среднее значение и т. д. Большинство этих терминов является статистическими понятиями. Теперь используем понятия математической статистики не для обнаружения и описания случайных ошибок в измерительных приборах, а как средство анализа всего эксперимента. Введем некоторые дополнительные термины. Наиболее важным является такое понятие, как значимость эксперимента или результатов

эксперимента. Можно утверждать, что эксперимент, в котором 20 образцов стали марки А разрушились при давлении 4200 ± 350 кг/см2, а 20 образцов стали марки В разрушились при давлении 5600 ± 350 кг/см2, является высокозначимым, поскольку он доказывает, что сталь марки В имеет более высокую прочность. Хотя в данном случае необходимо провести проверку значимости, которая позволила бы представить этот

высокозначимый результат в виде некоторого числа. Если бы у 20 образцов стали марки В прочность оказалась равной 4430 ± 350 кг/см2, то появилось бы сомнение в том, является ли сталь марки В более прочной, и статистический метод проверки был бы более необходим.

Для этого рассмотрим понятия нулевой (основной) гипотезы, под которой понимают выдвинутую гипотезу Н0, и конкурирующей (альтернативной) гипотезы Н1. Гипотеза Н0 является основной в том смысле, что нам было бы желательно убедиться в ее справедливости.

При выполнении статистических проверок рассматривается возможность появления двух типов ошибок статистического вывода. Ошибка первого рода имеет место, когда мы придаем наблюдаемым различиям определенное значение, а в действительности различие незначительно.

Так, можно утверждать, что сталь марки В (с прочностью 4430 ±350 кг/см2) прочнее стали марки А (принята альтернативная гипотеза Н1), и приступить к

закупкам и использованию только стали марки В. Последующие исследования (на более крупных выборках) могут показать, что между этими марками стали, по существу, нет различия (гипотеза Н0), так что, выбрав на основе первоначальной выборки из 20 образцов сталь марки В, т. е. отвергнув правильную гипотезу Н0, мы допустили ошибку первого рода.

Таким образом, ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза, т. е. принята гипотеза Н1. Вероятность ошибки первого

рода называют уровнем значимости и обозначают через α. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень значимости, равный 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста имеется риск допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу). Величина 1 – α равна вероятности принять верную гипотезу и называется уровнем доверия γ.

Ошибки второго рода имеют место, когда игнорируется реальное различие, которое в действительности существует. Таким образом, ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают через β. Например, можно решить, что различие между марками стали А и В (гипотеза Н0) не является значимым, и применять обе марки, не проводя между ними различий. Последующие испытания могут показать, что сталь марки В прочнее, чем сталь марки А, и что нами допущена ошибка второго рода.

Эти ошибки играют особенно важную роль при решении инженерных задач,

т.к. большинство экспериментов приводят, в конечном счете, к тому или иному

действию и нет какого-либо определенного правила, устанавливающего

нежелательность ошибок первого рода по сравнению с ошибками второго рода. Если

испытывается устройство раскрытия парашюта, то естественно избегать возможности

появления ошибки второго рода (которая состоит в том, что не будет выбрано

действительно наилучшее устройство), в то время как ошибка первого рода (выбор

наиболее дорогого устройства, которое кажется надежнее других) не является столь

серьезной. И, наоборот, при выборе реле для установки на детскую игрушку ошибка

второго рода, состоящая в том, что не будет выбрано самое лучшее реле, не столь

серьезна, как ошибка первого рода (выбор реле определенной конструкции, которое в

действительности не лучше других, но дороже).

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную

случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Эту величину обозначают через t, если она распределена по закону Стьюдента, или через χ2

– по закону «хи квадрат» и т. д. Поскольку в этом параграфе вид распределения во

внимание приниматься не будет, обозначим эту величину в целях общности через К.

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Для проверки гипотезы по имеющимся данным, получаемым в результате опыта или эксперимента, вычисляют частные значения входящих в критерий величин и, таким образом, получают частное (наблюдаемое) значение критерия.

Наблюдаемым значением Кнабл называют значение критерия, вычисленное по выборкам или в результате эксперимента. После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другое – при которых она принимается.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то гипотезу

отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.

Поскольку критерий К – одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами, и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют.

Критическими точками (границами) kкp называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством

К > kкp, где kкp – положительное.

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К

< kкp, где kкp – отрицательное число.

Односторонней называют правостороннюю или левостороннюю критическую область.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами К

<k1, К > k2, где k2 > k1.

Вчастности, если критические точки симметричны, то K kкр.

Для отыскания критической области задаются уровнем значимости α и ищут критические точки, исходя из следующих соотношений:

а) для правосторонней критической области

Р(К > kкр) = α (kкр > 0);

б) для левосторонней критической области

Р(К < kкр) = α (kкр <0);

в) для двусторонней симметричной области

Р(К > kкр) = (α/2) (kкр > 0), Р(К < – kкр) = (α/2).

§3. Проверка значимости с помощью χ2-критерия

Во многих случаях данные, получаемые в эксперименте, представляют собой число объектов. Например, определенное число деталей может быть принято или забраковано при приемке, пройти испытания на долговечность или выйти из строя до их завершения, продано или возвращено обратно. Может рассматриваться число деталей, изготовленных за данную смену или определенным рабочим, либо на данном станке или сборочной линии, либо с помощью некоторого производственного метода и т. д. Многие испытания такого рода можно проверять на значимость с помощью χ2– критерия.

где О обозначает наблюдаемое число событий (например, отказов, реализованных товаров, забракованных изделий, изготовленных предметов, зарегистрированных частиц, правильных ответов и т. д.), а М – математическое ожидание числа этих событий. Когда мы говорим о математическом ожидании, то вводим нулевую гипотезу Н0, которая может быть истинной или ложной. Допустим, например, что необходимо

узнать, на каком токарном станке – новом или старом – мы получим больше хороших деталей. Для этого на каждом станке изготавливается одинаковое число деталей, и проверяемая нулевая гипотеза гласит: «Оба станка выпускают одинаковое число хороших деталей» при конкурирующей гипотезе Н1: «Новый станок выпускает больше хороших деталей». Каждую из этих гипотез можно проверить, вычислив соответствующее значение χ2. Однако, прежде чем показать, как это делается, необходимо рассмотреть еще один новый термин. При любом – табличном или графическом – представлении распределения χ2 необходимо знать число степеней свободы, связанных с экспериментом. Число степеней свободы – это число независимых групп наблюдений, охватываемых гипотезой.

Допустим, что отдел закупок приобрел маломощные двигатели – половину в фирме А и половину в фирме В. Через некоторый промежуток времени вышли из строя

а двигателей фирмы А и b двигателей фирмы В. Общее число неисправных двигателей постоянно и равно (a + b). Допустим теперь, что требуется проверить нулевую гипотезу, согласно которой число отказавших двигателей обеих фирм одинаково при конкурирующей гипотезе – двигатели фирмы А лучше. Тогда ожидаемое число отказавших двигателей обеих фирм можно принять равным a b / 2. Таким образом,

H0: М = a b / 2; H1: М > a b / 2.

Поскольку мы можем выбрать только одно число, то имеем только одну

Обычно в случае одной степени свободы перед возведением в квадрат из каждого члена (О – М) вычитают 0,5. В противном случае получается несколько большее значение χ2набл, но для большинства инженерных вычислений получаемая ошибка невелика.

После того как мы рассмотрели две важные величины – число степеней свободы и значение χ2набл, мы должны с помощью соответствующей таблицы найти

вероятность того, что значение χ2 не меньше найденного.

Ограничимся случаем конкурирующей гипотезы Н1: выбранный признак для разных исследуемых объектов имеет существенное различие. В этом случае строят двухстороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости 2:

Р 2 лев2 .кр 2;k 1 2. Таким образом, левая критическая точка находится по таблице «правых» критических точек, исходя из требования равенства вероятности попадания критерия в интервал 1 2.

более ранних испытаний, для решения вопроса о принятии или исключении сомнительных результатов эксперимента целесообразно использование критерия Ирвина. Для этого вычисляют значение

если резко выделяющимся результатом является последний член вариационного ряда,

или

если сомнение вызывает первый член вариационного ряда.

Вычисленное значение λсопоставляют с критическим значением λр, найденным теоретически для заданного уровня доверительной вероятности Р = 1– α и объема

выборки п (наиболее употребительные значения λр приведены в табл.1).

Таблица 1

Критические значения λр

Значение уровня значимости α обычно принимается равным 0,05 или 0,01, реже принимается α = 0,1 и α = 0,001.

Если р , то выброс измеряемой величины или результата эксперимента следует считать случайным. В этом случае нулевая гипотеза подтверждается.

Если р , то отмеченный выброс х1 или хn не случаен, не характерен для рассматриваемой совокупности данных, а определяется грубыми ошибками в эксперименте или в измерениях. Так как нулевая гипотеза в этом случае отклоняется,

сомнительные значения х1 или хп исключают из рассмотрения, а найденные ранее числовые характеристики распределения (§1) подвергают корректировке с учетом отброшенных результатов.

Пример 1. В табл. 2 приведен вариационный ряд значений логарифма долговечности образцов диаметром 8 мм из алюминиевого сплава АВ, испытанных на консольный изгиб с вращением при напряжении σmax=15 кгс/мм2.

Требуется с помощью критерия Ирвина проверить нулевую гипотезу, заключающуюся в том, что значения долговечности первого и последнего образцов вариационного ряда принадлежат той же генеральной совокупности, как и все остальные.

Решение. По данным табл. 2 найдено s = 0,315. Просматривая табл.2, находим, что максимальное значение определяется результатами испытаний двух последних образцов вариационного ряда. В этом случае на основании (2.25)

7,4586 7,2775 0,58, 0,315

что значительно ниже критического значения для п = 100 и Р = 1–α=0,95 (см. табл. 1). Проведенные расчеты подтверждают нулевую гипотезу, и результат испытания последнего образца не следует считать ошибочным.

Нулевая гипотеза еще в большей степени проходит для первых двух образцов. Здесь λ ≈ 2.

Втех случаях, когда при проверке гипотезы располагают n измерениями (для n

<25), целесообразно использование критерия Груббса. Для этого в зависимости от того, какое из всех измерений является более сомнительным, определяют значение

сопоставляют с критическим значением, найденным для заданного уровня значимости α и объема выборки по табл. 3. Нулевую гипотезу принимают, если макс ;n , и отвергают, если макс ;n .