1574

случайной величины: x 0 и x 1. Если x 2, то P X x 1, т. к. если x 2, то

xбольше всех возможных значений случайной величины:

x0, x 1, x 2.

Таким образом, функция распределения случайной величины Х имеет вид

0, если x 0;

1, если 0 x 1;

4

F(x)

3, если 1 x 2;

4

1, если x 2.

График этой функции приведён на рис. 1.8.

Задача 3. Производятся последовательные испытания пяти приборов на надёжность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надёжным. Построить ряд распределения случайного числа испытанных приборов, найти математическое ожидание и дисперсию, если вероятность выдержать испытания для каждого из них равна 0,9.

Решение. X – случайное число испытанных приборов, оно может принимать

следующие значения:

x1 1, x2 2, x3 3, x4 4, x5 5.

5

Нетрудно убедиться, что рi 1. l 1

Для нахождения математического ожидания М(Х) и дисперсии D(X)

воспользуемся формулами (1.18) и (1.25). Таким образом,

n

M(Х) pixi 1 0,1 2 0,09 3 0,081 4 0,0729 5 0,6521 4,0951;

l 1

D(Х) М(Х 2) (М(Х))2 1 0,1 22 0,09 32 0,081 42 0,0729

Решение. а) Так как все значения случайной величины Х принадлежат отрезку

первообразная будет чётной функцией, и на симметричном интервале интеграл будет равен нулю.

Задачи для самостоятельного решения

6.1.В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Найти систематическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа стандартных деталей.

6.2.Точка брошена наудачу внутрь круга радиусом R. Вероятность попадания точки в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади области. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию расстояния точки до центра круга.

6.3.Случайная величина X имеет следующее распределение:

Найти выражение и построить график функции распределения случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение, не превосходящее по абсолютной величине 1. Найти математическое ожидание и дисперсию.

6.4. Непрерывная случайная величина X имеет плотность распределения:

г) найти функцию распределения F(x);

д) найти математическое ожидание и дисперсию.

6.5. Производится три выстрела с вероятностями попадания в цель, равными:

р1 0,4; р2 0,3; р3 0,6.

Найти автоматическое ожидание общего числа попаданий. 6.6. Случайная величина Х подчинена закону Лапласа

f (x) a x ( 0).

Требуется:

а) найти коэффициент a;

б) построить графики плотности распределения и функции распределения; в) найти M(Х) и D(Х).

6.7.Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания в неё первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4. Составить закон распределения числа попаданий при двух выстрелах, найти математическое ожидание

идисперсию числа попаданий в мишень. Построить график функции распределения.

6.8.Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:

0, при x 1;

Определить постоянные а и в. Найти M(Х) и D(Х). 6.9. Случайная величина X задана функцией распределения:

0, при x 0;

2

F(x) x , при 0 x 1;

1, при x 1.

Построить график функции распределения. Найти вероятность того, что в результате четырёх независимых испытаний случайная величина Х ровно три раза примет значения, принадлежащие интервалу 0,25;0,75 .

6.10. Случайная величина Х имеет распределение:

Найти вероятность того, что в результате пяти независимых испытаний случайная величина Х ровно два раза примет значения, принадлежащие интервалу0; . Построить график функции распределения. Найти M(Х) и D(Х).

6.13. Случайная величина X имеет плотность распределения:

0,если x 1;

f (x) C,если 1 x 3;

0,если x 3.

Требуется:

а) найти коэффициент С; б) найти M(Х) и D(Х);

в) построить график плотности распределения; г) найти P(1,5 х 2).

6.14. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид

0, если x 0;

х2

F(x) , если 0 х 2;

4

1, если x 2.

Найти M(Х) и D(Х) P(1 х 1,5).

Построить график плотности распределения.

6.15. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из неё пять раз подряд извлекают шар,

причём каждый раз вынутый шар возвращают в урну и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х – число извлечённых белых шаров, составить закон

распределения этой величины, определить M(Х) и D(Х). 6.16. Пусть дана функция:

вероятности случайной величины Х? Определить M Х и D Х соответствующей случайной величины Х.

6.17. В урне имеются четыре шара с номерами от 1 до 4. Вынули два шара.

Случайная величина X – сумма номеров шаров. Построить ряд распределения случайной величины Х. Найти M(Х) и D(Х).

6.18.Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределений случайной величины. Найти M(Х) и D(Х).

6.19.Дан ряд распределения случайной величины X:

Найти функцию распределения вероятности этой случайной величины. 6.20. Случайная величина X задана функцией распределения:

Вычислить вероятность попадания случайной величины Х в интервалы

2,5;3,5 , 1;2,5 .

Найти плотность распределения случайной величины. Найти M(Х) и D X .

6.21. Даны вероятности значений случайной величины Х; значение 10 имеет вероятность 0,3; значение 2 – вероятность 0,4; значение 8 – вероятность 0,1; значение 4

– вероятность 0,2. Построить ряд распределения случайной величины X. Найти M(Х)

иD(Х).

6.22.В урне 30 шаров, из них 5 белых. Вынули один шар. Случайная величина X – число вынутых белых шаров. Построить ряд распределения случайной величины Х.

Построить функцию распределения F(x).

6.23. Вероятность того, что станок, работавший в момент t0 , не остановится до

момента t0 t , дается формулой P(t) t . Найти математическое ожидание и дисперсию рабочего периода станка (между двумя последовательными остановками).

6.24.Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Производится три выстрела. Построить ряд распределений случайной величины Х – числа попаданий при трёх выстрелах. Найти математическое ожидание и дисперсию.

6.25.Дана функция плотности распределения случайной величины X:

0, при x 0;

f (x) asin x, при 0 x ;

0, приx .

Определить a, F(x), M(Х) и D(Х).

§7. Важнейшие примеры распределений

В настоящем параграфе приводятся наиболее часто встречающиеся типы распределений непрерывных и дискретных случайных величин и примеры их применения.

1. Биноминальное распределение

Рассмотрим серию из п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А равна р. Случайная величина Х означает число наступлений событий. Она дискретна, и ее возможными значениями являются неотрицательные целые числа 0, 1, 2, ... , п.

Закон распределения случайной величины Х задается уже известной нам формулой (см. § 5 )

определяющей вероятность равенства Х= к. Как было указано в § 5, это выражение представляет собой член разложения бинома (р +q)n. Поэтому говорят, что случайная величина Х подчиняется биноминальному закону распределения. Примеры приложений биноминального распределения уже встречались нам в предыдущих параграфах.

Чтобы вычислить дисперсию случайной величины, распределенной по биноминальному закону, воспользуемся теоремой о дисперсии суммы случайных величин. Пусть случайная величина Х означает количество наступлений события А в серии из п испытаний, причем в каждом испытании вероятность наступления события равна р. Положим

Графики функции нормального распределения для различных значений дисперсий и математического ожидания показаны на рис. 1.9.

Нормальная плотность вероятности

2

На рис. 1.10 приведены графики нормальной плотности вероятностей для различных значений дисперсии и математического ожидания.

График нормальной плотности вероятности имеет максимальную ординату при х=а. Через эту же ординату проходит ось симметрии кривой.

F(x)

1,0

0,75

0,5

0,25

0

Рис. 1.9 Графики функции нормального распределения: 1, 2, 3–а1=а2=а3=а; σ1< σ2< σ3; 2, 4, 5, 6 – а2< а4< а5< а6; σ2= σ4= σ5= σ6

f(х) 1

3

Рис. 1.10 Графики нормальной плотности вероятности: 1, 2, 3–а1=а2=а3=а; σ1< σ2< σ3; 2, 4, 5, 6 – а2< а4< а5< а6; σ2= σ4= σ5= σ6