Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1574

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

n m

При этом Pij 1.

i 1 j 1

Законы распределения случайных величин, входящих в систему, определяются следующим образом:

Pi P(X xi) Pij;

j 1

qj P(Y yj) Pij .

i 1

Дискретные случайные величины называются независимыми, если

Pij P(X xi ) P(Y yi ).

Многие важные характеристики пары случайных величин (x, y)достаточно просто выражаются через начальные ks и центральные ks моменты системы случайных величин, которые находятся по формулам:

ks M Х kYk , ks M X М(Х) k Y М(Y) s .

Для дискретных случайных величин:

n m

ks (xi mx)k (yj mj )s рij, i 1 j 1

n m

ks xik ysj рij . i 1 j 1

Для непрерывных случайных величин:


ks			xk ys f (x, y)dxdy;

ks	(x mx )k (y my )s f (x, y)dxdy.

10 M Х1Y0 M X mx;

01 M X0Y1 M Y my;

20 M (X mx )2(Y my )0 D X ;

02 M (X mx)0(Y my )2 D Y .

Точка (mx,my ) называется центром рассеивания системы случайных величин (x, y).

Так, например, степень линейной зависимости случайных величин характеризует корреляционный момент:

M11 Kxy M (x mx)(y my )

Так как kxy имеет размерность xy, то при изменении единицы масштаба его

значение будет подвергаться изменению.

Чтобы избежать этого, введем коэффициент корреляции

Kxy

xy x y ( 1 xy 1)

Если случайные величины, входящие в систему, независимы, то xy 0. В общем случае из равенства xy 0 не следует независимость случайных величин X, Y.

1, a 0;

Если Y a X b, то xy

1, a 0 .

Задача 1. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике 1 с №1, 2 шара с №2, 3 шара с №3; во втором ящике 2 шара с №1, 3 шара с №2 и 1 шар с №3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.

Решение.

	Y	X	1	2		3					qj

		1	1	1		1				1
			18	9		6				3
		2	1	1		1				1
			12	6		4				2
		3	1	1		1				1
			30	18		12				6
		рi	1	1		1					–
		рi	6	3		2					–
Вероятности Рij			вычисляются следующим образом:
			р P(X 1,Y 1)		1		1		1		,
			р P(X 1,Y 1)								,
			11	6		3		18
				6		3		18

т. к. шаров в первом ящике всего 6, а с номером 1 ровно один шар. Во втором ящике 2 шара с номером один, а всего 6 шаров. Эти события происходят одновременно, следовательно, их вероятности перемножают.

Аналогично

р22 Р(Х 2,Y 2) 1 1 1. 3 2 6

По таблице распределения вероятностей системы случайных величин (X,Y)

можно составить законы распределения случайных величин, входящих в систему. Распределение случайной величины для Х получаем, складывая числа в вертикальных столбцах, а для Y – в горизонтальных строках.

M Х 1		1		2				1		3					1		2			1				;
M Х 1				2						3							2							;
6						3							2				3
M Y 1	1		2				1		3					1		1			5			;
M Y 1			2						3							1						;
3						2							6				6
D X M (X mx )2 M X 2 mx2 ;
D X 1			1		4						1	9						1			(2							1	)2				5	;
D X 1					4							9									(2								)2				9	;
			6			3											2										3						9
1						1							1				5								2		17
D(Y) 1			4						9							(1							)							;
D(Y) 1			4			2			9				6			(1							)							;
3						2							6				6										36
	n				m																1										1				1
M XY xi yj pij													1 1								1					2 1					1	3 1			1
M XY xi yj pij													1 1													2 1						3 1
i 1 j 1																	18										9						6

1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 3 1 2 3 1 3 3 1 77;

12	6	4		36						18			12	18
Kxy M(XY) mxmy		4	5	2	1	1	5		77		77	0;
							6
		18		3				18		18

Kxy

xy x y 0.

Такой результат имеет место, так как Х и Y независимы по условию.

Задача 2. Система случайных величин (X,Y) подчинена закону

распределения с плотностью

a(x y) в области D; f (x,y)

0 вне этой области .

Область D – квадрат, ограниченный прямыми x 0, x 3, y 0, y 3.

Требуется:

1)определить коэффициент а;

2)вычислить вероятность попадания случайной точки (X,Y) в квадрат Q,

ограниченный прямыми x 1, x 2, y 1, y 2;

3)найти математические ожидания mx и my ;

4)найти средние квадратические отклонения x , y .

Решение.

1) Коэффициент а находим из уравнения

3 3

a (x y)dxdy 1,

откуда

	3 3		3		y2	3	3		9
a		(x, y)dxdy a		xy		0dx a		(3x		)dx
a		(x, y)dxdy a		xy	2	0dx a		(3x	2	)dx
					2				2
	0 0		0				0

a		3				x	2		9	x		3		a(				27					27			) 27a,27a 1,a														1		.
		3					2		9			3						27					27																	1


		2							2			0						2							2														27		2
		2							2			0						2							2														27
2) P (x,y) Q													1 2 2																				1 2						y2
																				(x y)dxdy															xy									dx
																				(x y)dxdy															xy									dx
														27 00																		27 0							2		1
	1			2												1							1 2							3								1 x2			1			3			2



						(2x 2 x											)dx										(x					dx)													x
	27 1					(2x 2 x										2	)dx						27 1				(x			2		dx)							2						x
	27 1															2							27 1							2						27			2					2			1
	1		(2 3							1			3		)				1		.																										1
	1									1			3						1
													2
	27								2				2					9															и my :
3) найдём математические ожидания mx																																	и my :
						1 33																		1 3				2						xy2			3
						1 33																		1 3				2						xy2			3
m									x(x y)dxdy																		x		y									dx
m	x				27 0 0				x(x y)dxdy														27 0				x		y				2					dx
	x				27 0 0																		27 0										2				0
	1 3							2	9											1					2		9		2			3			1					81 7
	1 3							2	9											1					2		9		2			3			1					81 7
				(3x							x)dx											x						x										(27					)			.
				(3x							x)dx											x						x										(27					)			.
	27			0					2											27							4				0				27					4					4
	27			0					2											27							4				0				27					4					4

Следовательно, и my 7 .

4) Находим средние квадратические отклонения x и y :

2											2													1					3 3						7				2
x				(x mx)									f (x,y)dxdy																		(x						)			(x y)dxdy
x				(x mx)									f (x,y)dxdy														27				(x				4		)			(x y)dxdy
			D																										00
		1 33					7		2								7						7									1 33									7		3
				(x				)			(x									y				)dxdy														(x				)		dydx
				(x			4	)			(x						4			y				)dxdy								27						(x				)		dydx
27			0 0				4										4						4									27		0 0							4
			0 0																															0 0
		1	33				7		2								7							1					3				7		2						3
																																									3

				(x				)			(y									)dydx									(x					)			y				dx
				(x				)			(y									)dydx									(x					)			y				dx
27			0 0				4										4							27					0				4								0
27			0 0				4										4							27					0				4								0
		1 3						7 2											7 2									1 (x					7			4			3
		1 3						7 2											7 2			3						1 (x					4)						3
					(x					) (y											)		dx																0
					(x					) (y											)		dx																0
	27 2							4											4					9								4
	27 2			0				4											4			0		9								4
		1		0	1	(x			7				3					361				0	49			3				11
												)			(																	.

																									)
					3				4									16					16		)	0				16
	27 2															.
	27 2
Итак,			x		y									11
Итак,			x		y								4
													4

Задача 3. Дана плотность распределения вероятностей системы случайных величин (X,Y):

f (x,y) 0,5sin(x y),(0 x ,0 y ). 2 2

Определить функцию совместного распределения системы (X,Y).

Решение. Определим функцию F(x, y), рассматривая области

D1,D2,D3,D4,D5,D6,D7.

D1,D2,D3 :F(x,y) 0.

x y x y

D4 :F(x,y)		f (x,y)dxdy 0,5sin(x y)dxdy
		00
0,5 (sin x sin y sin(x y)).
	y		y
x
		2
D5 :F(x,y)		f (x,y)dxdy dx 0,5sin(x y)dy
		0	0
0,5 (1 sin y cosy).
	y
x			x
		2
D6 :F(x,y)		f (x,y)dxdy dy 0,5sin(x y)dx
		0	0
0,5 (1 sinx cosx).

D7 :F(x,y) 1,

т. к. какую бы точку (х, у) этой области ни взяли, возможные значения случайных величин (Х, Y) будут меньше F(x,y) P(X x,Y y) 1.

Таким образом:	(x,y) D1,D2,D3;
0,	(x,y) D1,D2,D3;
	(x,y) D4;
0,5 (sin x sin y sin(x y)),	(x,y) D4;
	(x,y) D5;
F(x,y) 0,5 (1 sin y cos y),	(x,y) D5;
0,5 (1 sin x cosx),	(x,y) D ;
	6
	(x,y) D7.
1,	(x,y) D7.

Задачи для самостоятельного решения

8. 1. Совместное распределение случайных величин Х, Y задано таблицей

Y	-1	0	1
Х	-1	0	1
Х
-1	1	1	7
-1	8	12	24
	8	12	24

1	5	1	1
1	24	6	8
	24	6	8

Найти ряды распределения для Х и Y. Будут ли независимы Х и Y?

8.2. Система случайных величин (Х, Y) подчинена закону распределения с плотностью:

asin(x y) в области D;
f (x,y)	вне этойобласти.
0


Область D определяется неравенствами: 0 x		, 0 y	.
Область D определяется неравенствами: 0 x		, 0 y	.
	2	2
Найти:
1)	коэффициент а;
2)	математические ожидания mx и my ;
3)	средние квадратические отклонения x , y .

8.3. Дана таблица, определяющая закон распределения двух случайных величин (Х, Y):

х	20	40	60
у
10	3		0
20	2	4	2
30		2	5

Найти:

1)коэффициент ;

2)математические ожидания mx и my ;

3)дисперсии D(X),D(Y).

8.4. Дана плотность распределения вероятностей системы случайных величин, задаваемая функцией

f (x,y) 0,5sin(x y),	(0 x	;0 y		).
			2
	2

Определить функцию совместного распределения системы (Х, Y), математические ожидания, дисперсии и коэффициент корреляции.

8.5. Независимые случайные величины Х, Y подчинены следующим законам распределения:

f (x)	1	e x2 ;
f (x)		e x2 ;
1

0 при y 0;

f2(y) 1 при 0 y 1;

0 при y 1.

Написать выражение для функции распределения системы двух случайных величин (Х, Y).

8.6. Дана функция распределения случайных величин (Х, Y):

0 при x 0,y 0;

F(x,y)
1 e x e y e x yпри x 0,y 0.

Определить, зависимы ли случайные величины Х и Y. Вычислить числовые
характеристики M(Х),M(Y),D(X),D(Y).
8.7. Совместное распределение случайных величин Х, Y задано таблицей
	Y	-1	0	1
	X	-1	0	1
	X
	-1	1	1	7
	-1	8	12	24
		8	12	24
	1	5	1	1
	1	24	6	8
		24	6	8

Найти ряды распределения для Х и Y.

8.8.По цели производится два независимых выстрела. Вероятность попадания

вцель при первом выстреле равна р1, при втором – р2. Построить таблицу

распределения системы двух случайных величин (Х,Y), где Х – число попаданий при первом выстреле, Y – число попаданий при втором выстреле.

8.9.Найти функцию распределения системы (Х, Y) из условия задачи 8.8.

8.10.Независимые случайные величины Х и Y подчинены законам

распределения:

f (x)	1	e x2 ;
f (x)		e x2 ;
1

0 при y 0;

f2(y) 1 при 0 y 1;

0 при y 1.

Написать выражение для функции распределения системы двух случайных величин.

8.11. Дана функция распределения системы двух случайных величин (Х, Y):

0 при x 0, y 0;

F(x,y) 1 e x e y e x yпри x 0, y 0.

Найти плотность распределения вероятностей системы (Х, Y). Вычислить числовые характеристики M(Х),M(Y).

8.12.Определить, зависимы ли случайные величины, из условия задачи 8.11. Найти для них числовые характеристики D(X),D(Y).

8.13.Система случайных величин (Х, Y) имеет плотность

f (x,y) x2(16 x2)(25 y2) .

Определить величину А. Найти функцию распределения F(X,Y), M(X), M(Y). Определить вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в

область, заданную неравенствами 0 x 4, 0 y 5.

8.14. Система двух случайных величин (Х, Y) подчинена закону равномерной плотности внутри прямоугольника:

a x a, в y в, (в a).

Найти плотность распределения вероятности и вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в квадрат со стороной a2, если центр этого квадрата совпадает

сначалом координат.

8.15.Плотность распределения вероятностей системы двух независимых случайных величин (Х, Y) задана выражением

(x 4)2	(y 6)2


50
f (x,y) Ce		.

Найти неизвестный параметр С и определить корреляционный момент.

8.16. Случайные величины Х и Y независимы, и их плотности распределения вероятностей соответственно равны:

	0			при	x	2;		0		при y 0;
f						f

	(x)	1					2	(y)	y	при y 0.
1		1		при x 2.			2	e	y	при y 0.
			4
			4

Определить функцию распределения системы случайных величин Х, Y. Найти числовые характеристики системы случайных величин (Х, Y).

8.17. Закон распределения системы двух случайных величин (Х,Y) задан таблицей распределения.

х	у	0	1

	-1	0,10	0,15
	0	0,15	0,25
	1	0,20	0,15

Найти следующие характеристики системы (Х, Y):

M(Х),M(Y),D(X),D(Y),Rxy.

8.18.Функция совместного распределения случайных величин Х и Y задана

выражением

0	при x 0, или y 0;
F(x,y)	при x 0, y 0.
(1 e x)(1 e 2y)	при x 0, y 0.

Определить, зависимы ли случайные величины Х и Y. Найти плотность распределения вероятностей системы (Х, Y).

8.19. Определить математические ожидания и дисперсии системы двух случайных величин (Х, Y), если плотность распределения вероятностей системы имеет следующий вид:

f (x, y) (x2 y2 1)3 .

8.20. Случайная точка (Х, Y) имеет равномерное распределение внутри прямоугольника, ограниченного прямыми: x 0,x 4, y 0, y 6.

Найти функцию распределения F(x,y) системы случайных величин (Х,Y).

8.21. Система двух случайных величин (Х,Y) имеет плотность распределения вероятностей f (x,y) 1 e x2 y2 . Найти следующие числовые характеристики системы: M(Х),M(Y),D(X),D(Y), Кxy.

8.22. Система случайных величин (Х,Y) подчинена закону распределения с плотностью

a (x y) в области D;
f (x,y)	вне этойобласти.
0

Область D – квадрат, ограниченный прямыми: x 0,x 5, y 0, y 5. Требуется:

1)определить коэффициент а;

2)вычислить вероятность попадания случайной точки (Х,Y) в квадрат Q, ограниченный прямыми: x 1,x 3, y 1, y 3.

8.23.Используя условия задачи 8.22, найти:

1)математические ожидания mx,my;

2)средние квадратические отклонения x, y.

8.24. Система случайных величин (X,Y) подчинена закону распределения с плотностью

asin(x y) в области D;
f (x,y)	вне этойобласти.
0

Область D определяется неравенствами:

0 x , 0 y .

2 2

Найти:

1)коэффициент а;

2)математические ожидания mx,my.

8.25. Используя условия задачи 8.24, найти:

1)средние квадратические отклонения;

2)коэффициент корреляции Rxy .

f ( ).

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

§1. Случайные ошибки. Законы распределения случайных ошибок

Ошибки измерений делятся на две категории. К систематическим ошибкам относятся ошибки, искажающие результат в определенную сторону и имеющие закономерный характер, то есть среднее значение последовательных отсчетов отклоняется от известного значения и продолжает отклоняться независимо от числа последовательных отсчетов. Сюда относятся инструментальные ошибки, происходящие от несовершенства инструмента, ошибки, вызванные методикой постановки эксперимента, и некоторые другие.

Поскольку влияние таких ошибок на результаты наблюдений может быть более или менее точно заранее установлено, а значит, и устранено, мы будем считать имеющиеся в нашем распоряжении результаты опыта свободными от систематических ошибок.

В дальнейшем остановимся на рассмотрении случайных ошибок, которые имеют место, когда при последовательных измерениях постоянной величины

получаются различные числовые значения. Предполагается, что случайные ошибки ε подчинены следующим условиям:

1)Равные по абсолютной величине ошибки равновероятны.

2)Малые по абсолютной величине ошибки более вероятны, нежели большие.

3)Вероятность появления ошибок, превосходящих по абсолютной величине некоторое определенное число, практически равна нулю. Это число обычно называют

пределом возможных ошибок и обозначают через ε.

Пусть F( )– интегральный закон распределения ошибок, т. е. вероятность того, что ошибка α не превосходит величины ε.

F( ) P( ).

(2.1)

Естественно считать, что ошибки представляют собой непрерывную случайную величину. Тогда вероятность того, что ошибка примет значение,

заключенное между ε и ε+ ε, с точностью до бесконечно малых более высокого

порядка, чем ε, выразится формулой
P( ) f ( ) ,	(2.2)

где f ( ) F ( )–дифференциальный закон (плотность) распределения ошибок.

Исходя из сделанных выше предположений, мы можем установить соответствующие свойства функции

1°. Функция f ( )– четная, т. е. f ( ) f ( ). Четность следует из того, что равные отклонения в обе стороны одинаково вероятны и поэтому плотности распределения вероятности в точках εи -εравны между собой.

2°. Функция f ( ) при возрастании ІεІ убывает, так как малые по абсолютной величине ошибки более вероятны, чем большие.

3°. Функция f ( ) 0 при Е.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021317.56 Кб2157.pdf
#
07.01.20211.33 Mб21570.pdf
#
07.01.20211.33 Mб121571.pdf
#
07.01.20211.33 Mб71572.pdf
#
07.01.20211.33 Mб61573.pdf
#
07.01.20211.33 Mб271574.pdf
#
07.01.20211.33 Mб31575.pdf
#
07.01.20211.34 Mб101576.pdf
#
07.01.20211.34 Mб11577.pdf
#
07.01.20211.34 Mб151578.pdf
#
07.01.20211.34 Mб171579.pdf