1574

попаданий, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Решение. Очевидно, мы находимся в рамках схемы Бернулли:

n 100, к 75, р 0,8, q 0,2. n - достаточно велико, воспользуемся формулой (1.13):

npq 100 0.8 0.2 4, x к np 75 100 0.8 1,25. npq 4

По таблице (см. прил. 1) находим: (1,25) 0,1826. Тогда

Р100(75) 1 0,1826 0,0456. 4

Задача 3. Вероятность появления события при одном опыте равна 0,3. С какой вероятностью можно утверждать, что частота этого события при 100 опытах будет лежать в пределах от 0,2 до 0,4?

Решение. Для того, чтобы частота лежала в пределах от 0,2 до 0,4 в серии из 100 опытов, число появлений события m должно быть не менее 20 и не более 40

(20 m 40).

Воспользуемся интегральной теоремой Муавра–Лапласа, формулой (1.14).

Следовательно,

P(20 m 40) 0,4854 0,4854 0,97.

Задача 4. Аппаратура содержит 2000 элементов, вероятность отказа каждой из них р = 0,0005. Какова вероятность отказа 3-х элементов, если отказы происходят независимо друг от друга?

Решение. р – мало. Воспользуемся теоремой Пуассона:

Задача 5. Испытанию подвергается партия транзисторов. Вероятность безотказной работы каждого транзистора равна 0,92. Определить, какое число транзисторов следует испытать, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было зафиксировать хотя бы один отказ.

Решение. Обозначим количество испытуемых транзисторов через n. Тогда вероятность их безотказной работы равна 0,92n. События: “все транзисторы работают безотказно” и “хотя бы один транзистор не работает” – образуют полную группу событий. Значит, вероятность события “хотя бы один отказ” равна 1 0,92n. По условию задачи эта величина больше 0,95, т.е.:

1 0,92n 0,95;

0,92n 0,5;

0,92n 0,5. ln0,92n ln0,5; n ln0,92 ln0,5;

n ln0,5 35,9. ln0,92

Следовательно, n 36.

И, в заключение, рассмотрим задачу, иллюстрирующую все три формулы. Задача 6. Работница обслуживает 800 веретен. Вероятность обрыва пряжи на

каждом из них за промежуток времени t равна 0,005. Найти наиболее вероятное число обрывов и его вероятность.

Решение. Наиболее вероятное число обрывов будет λ=пр=4. Точное значение вероятности четырех обрывов равно (см. (1.12))

Р800 4 С8004 0,0054 (0,995)796 0,1945.

Пользуясь формулой Пуассона с λ = пр = 4, получаем (см. (1.15))

Р800(4) 44 е 4 256 0,0183 0,1954. 4! 24

Вычисление по точной формуле дает 0,1945, так что ошибка при пользовании формулой Пуассона составляет 0,0009. Локальная предельная теорема Муавра–Лапласа дает для данного случая (см. (1.13))

0,0055, т. е. в шесть раз больше, чем при использовании формулы Пуассона, т. к.

пр=4<10.

Задачи для самостоятельного решения

5.1. Большая партия изделий содержит 1% брака. Каков должен быть объем

случайной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно бракованное

изделие была 0,95?

б) ровно 60 раз.

5.16. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна

0,002. Проверяется книга, содержащая 500 страниц. Найти вероятность того, что с опечатками окажутся от трёх до пяти страниц.

5.17.Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе руды равна 0,7. Отобрано 400 таких проб руды. Определить вероятность того, что число проб

спромышленным содержанием металла среди них окажется не менее 275.

5.18.Вероятность повреждения аппаратуры при транспортировке равна 0,002.

Какова вероятность того, что при перевозке 3000 изделий будут повреждены не более трёх?

5.19. Вероятность того, что наудачу взятое изделие стандартно, равна 0,9.

Найти вероятность того, что из 100 проверенных изделий окажется стандартных не менее 84.

5.20.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,25. Найти вероятность того, что событие наступит 50 раз в 243 испытаниях.

5.21.В среднем левши составляют 1%. Какова вероятность того, что среди 200

студентов найдётся 4 левши?

5.22. Из таблицы случайных чисел наудачу выписано 200 двузначных чисел

(от 00 до 99). Определить вероятность того, что среди них 33 встретится:

а) три раза;

б) четыре раза.

5.23.Что вероятнее выиграть у равносильного противника (нечётный исход партии исключён): три партии из четырёх или пять из восьми?

5.24.Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у обоих будет равное количество попаданий.

5.25.Испытанию подвергается партия транзисторов. Вероятность безотказной работы каждого транзистора равна 0,92. Определить, какое число транзисторов следует испытать, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было зафиксировать хотя бы один отказ.

§6. Случайные величины. Законы распределения случайных величин. Числовые характеристики

Пример 1. Бросают две правильные однородные монеты. Сколько из них выпадет гербом кверху?

При подбрасывании двух монет пространство элементарных событий имеет

вид

ЦЦ,ЦГ, ГЦ, ГГ ,

где Ц – цифра; Г – герб. Первый символ показывает, как выпала первая монета, а второй – вторая монета. Так как монеты правильные и однородные, то можно считать, что все элементарные события пространства равновероятны, и тогда вероятность р

4) P( x ) F( ) F( ).

Случайная величина X называется непрерывной, если её функция распределения F(x) непрерывно дифференцируема, за исключением, может быть, конечного числа точек.

Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется

функция

Математическим ожиданием, или средним значением случайной величины X, называется число

если X – непрерывная величина. Предполагается, что ряд (1.18) и несобственный интеграл (1.19)

абсолютно сходятся; если это не так, то говорят, что математическое ожидание не существует.

Математическое ожидание является числом, характеризующим определённое свойство случайной величины, а именно - устойчивость среднего арифметического полученных в результате испытаний значений. Другими словами, математическое ожидание – это самое наивероятнейшее значение, которое может принять случайная величина.

Нам остается только рассмотреть некоторые свойства математического ожидания.

Теорема 1. Математическое ожидание постоянной величины есть сама эта величина:

М(С)=С.

Доказательство. Постоянную величину С можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую лишь одно значение с вероятностью единица. Поэтому

М(С) =С–1=С.

Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

Доказательство. Рассмотрим доказательство отдельно для дискретных и непрерывных случайных величин. Для дискретной случайной величины, пользуясь

(1.18), имеем

M(СХ) СxiPi С xiPi СM(Х).

l 1 l 1

Для непрерывных случайных величин нужно воспользоваться формулой (1.19), которая дает

M(СХ) Сxf (x)dx С xf (x)dx СM(Х).

Не будем приводить здесь доказательств теорем 3 и 4. Итак, мы познакомились с одной из основных числовых характеристик случайной величины – математическим ожиданием, которое характеризует среднее значение случайной величины.

Однако знания только среднего значения случайной величины недостаточно для того, чтобы представить себе расположение значений случайной величины относительно ее среднего значения. Например, для случайной величины, принимающей значения + 1 и – 1 с вероятностью 0,5 каждое, как и для другой случайной величины, принимающей значения +100 и – 100 с теми же вероятностями, математическое ожидание одинаково и равно нулю. Между тем разброс этих величин относительно их общего математического ожидания совершенно различен.

Чтобы охарактеризовать отклонение случайной величины от ее среднего значения, т. е. охарактеризовать разброс значений этой величины, вводят другую ее числовую характеристику – дисперсию, или рассеяние.

Для характеристики разброса не удается использовать разность между случайной величиной и ее средним значением, хотя на первый взгляд это и кажется наиболее естественным. Дело в том, что сама эта разность есть также случайная величина. Если же взять ее математическое ожидание, то в силу свойств математического ожидания для любой случайной величины Х имеем

М [X — М (X)] = М (X) – М [М (X)] = 0,

так что такая характеристика оказывается бесполезной.

образом, у второго стрелка большая кучность, т. е. результаты его стрельбы более устойчивы.

Вообще, можно заметить, что чем меньше дисперсия, тем лучше значения случайной величины характеризуются ее математическим ожиданием.

Пользуясь свойствами математического ожидания, можно получить другое выражение для вычисления дисперсии, более удобное, чем (1.22). Для этого преобразуем выражение (1.22) следующим образом:

D(X) = М [X — М (Х)]2 = М [Х2 — 2 ХМ (Х) + (М (Х)2].

Всилу теоремы 3 последнее выражение можно представить в виде суммы математических ожиданий. Заметим еще, что М(Х) есть постоянная величина и ее

математическое ожидание, по теореме 1, равно ей самой. Поэтому мы получаем

D (X) = М (Х2) – 2 М (X) М (X) + (М (Х))2,

математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

Рассмотрим теперь некоторые свойства дисперсии. Теорема 5. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

D(C)= 0.

Действительно,

D(C)=M(C—M(C))= M(C—C)= 0.

Этого следовало ожидать, ибо математическое ожидание постоянной равно ей самой и никакого рассеяния значений в этом случае не может быть.

Теорема 6. Постоянный множитель можно выносить из-под знака дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX)=C2D(X). (1.26)

Доказательство. Из формулы (1.25) следует:

D (СХ) = М (С2Х2) – (М (СХ))2 = С2 [М (X2) — (М (X))2].

Таким образом,

D(CX)=C2D(X),

что и утверждалось.

Теорема 7. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

D(X+Y)=D(X)+D(Y). (1.27)

Доказательство. Пользуясь формулой (1.25), напишем

D(X+ Y) = M(X+ Y)2 – (М(Х+Y))2.

Раскрыв скобки в правой части и пользуясь теоремами 3 и 4 о математическом

ожидании, получаем

D(Y+Y) = М (X2 + 2XY+ Y2) – [М(X) + М(Y)]2 =

=M(X2)+2M(X)M(Y)+M(Y2)–(M(X))2–2M(X)M(Y)–(.M(Y))2

откуда

D(X+Y)=M(X2)–(M(X))2+M(Y)2–(M(Y))2 = D(X)+D(Y).

Заметим, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий, как для независимых, так и для зависимых случайных величин. Для дисперсии суммы необходимо предположить независимость слагаемых,