1574

соответственно одно, два и четыре бракованных изделия. Из каждой партии наудачу извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что все три изделия окажутся бракованными.

3.10.Вероятности попадания в цель при стрельбе из трёх орудий соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

3.11.Предприятие изготовляет 98% изделий стандартных, причём 90% из них – первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется первого сорта.

3.12.Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,9, а вторым стрелком – 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним выстрелом.

3.13.Мастерская получает изделия от заводов А, В, С. Вероятность поступления изделий от завода А равна 0,35, от завода В – 0,4. Найти вероятность того, что очередная партия изделий поступит от завода С.

3.14.В урне находятся 3 чёрных и 2 белых шара. Из урны извлекают последовательно (без возвращения!) два шара. Событие А состоит в том, что первым будет взят белый шар, а событие В – в том, что вторым окажется чёрный. Найти вероятность произведения (т.е. совместного наступления) событий А и В.

3.15.Какова вероятность выпадения двух гербов при двухкратном бросании монеты?

3.16.Пусть при бросании игральной кости событие А означает, что выпадет чётное число очков, а событие В – что количество очков не превзойдёт четырёх. Что означают события А, В, А В, А В?

3.17.Некто написал 3 письма, запечатал их в конверты, а затем

наудачу на каждом из них написал различные адреса. Определить вероятность того, что хотя бы на одном из конвертов написан правильный адрес.

3.18.Какова вероятность извлечения из колоды в 52 карты фигуры любой масти или карты пиковой пасти?

3.19.Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырёх независимых выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность четырёх попаданий при четырёх выстрелах.

3.20.Испытуемому предлагаются два теста. Вероятности решения тестов соответственно равны 0,75 и 0,8. Определить вероятность того, что хотя бы один тест будет решён.

3.21.В ящике 6 белых и 8 чёрных шаров, из которого вынули два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.

Н2 - “старец пошёл по дороге 2”;

Н3 - “старец пошёл по дороге 3”.

Так как в пункте А дорога выбирается наудачу, то

Р(Н1) Р(Н2 ) Р(Н3).

Далее, Р(АН1) - вероятность того, что старец дойдёт до В, если он пошёл по

1

дороге 1, равна , так как из пункта С в пункт В ведут три дороги. Аналогично

3

рассуждая, получим Р(АН2 ) 1, Р(АН3) 12.

По формуле (1.10) имеем

Р(А) Р(Н1) Р(АН1) Р(Н2) Р(АН2) Р(Н3) Р(АН3)

1 1 1 1 1 1 0,611. 3 3 2 3 2

Задача 2. По цели произведено три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле p1 0,5, при втором – p2 0,6, при третьем – p3 0,8. При одном попадании вероятность поражения цели равна 0,4, при двух – 0,7,

при трёх – 1,0. Найти вероятность поражения цели при трёх выстрелах. Решение. Обозначим события:

А– “поражение цели при трёх выстрелах”;

Н1 – “одно попадание”;

Н2 – “два попадания”;

Н3 – “три попадания”;

Н4 – “ни одного попадания”.

Из условия задачи имеем

Р(АН1) 0,4, Р(АН2 ) 0,7, Р(АН3) 1, Р(АН4 ) 0.

Если р1, р2, р3 соответственно вероятности попадания при первом, втором,

третьем выстрелах, то 1– p1, 1– p2 , 1– p3 соответственно вероятности при тех же

выстрелах. Следовательно,

Р(Н1) p1(1 p2)(1 p3) p2(1 p1)(1 p3) p3(1 p1)(1 p2)0,5 0,4 0,2 0,5 0,6 0,2 0,5 0,6 0,8 0,26,

так как попадание могло произойти либо при первом выстреле, либо при втором, либо при третьем.

Аналогично:

Р(Н2) p1p2(1 p3) p1 p3(1 p2) p2 p3(1 p1)

0,5 0,6 0,2 0,5 0,4 0,8 0,5 0,6 0,8 0,46;

Р(Н3) p1 p2 p3 0,5 0,6 0,8 0,24,

т.к. имели место три выстрела и все три попадания.

4.1.В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором – 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем – 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлечённая деталь из наудачу взятого ящика стандартная.

4.2.Имеется три одинаковые по виду урны. В первой урне 15 белых шаров, во второй – 10 белых и 5 чёрных, а в третьей –15 чёрных шаров. Из выбранной наугад урны вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первой урны.

4.3.В цехе на станках а, в, с изготовляют соответственно 25, 35 и 40% всех деталей. В их продукции брак составляет соответственно 15, 18 и 6%. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь дефектна.

4.4.Имеются две одинаковые урны. В первой урне находится 3 белых и 5 чёрных шаров, во второй – 3 белых и 7 чёрных шаров. Из одной наугад выбранной урны извлекают один шар. Определить вероятность того, что шар чёрный.

4.5.Станок одну треть своего времени обрабатывает деталь А и две трети – деталь В. При обработке детали А он простаивает 10% времени, а детали В – 15%. Какова вероятность застать станок простаивающим?

4.6.После предварительного контроля деталь проходит одну из трёх операций обработки с вероятностью 0,25; 0,35; 0,4. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02, на второй – 0,04 и на третьей – 0,05. Найти вероятность получения необработанной детали после обработки.

4.7.В ящике содержится 12 деталей завода 1; 20 деталей завода 2; 18 деталей завода 3. Вероятность того, что деталь завода 1 отличного качества равна 0,9; для деталей заводов 2 и 3 эти вероятности равны 0,6 и 0,9 соответственно. Найти вероятность того, что извлечённая наудачу деталь окажется отличного качества.

4.8.Узоры подвески поступают на общий конвейер с двух участков. Вероятность брака с первого участка 0,05, со второго – 0,1. Второй участок имеет производительность в 2,5 раза больше, чем первый. Рабочий взял с конвейера подвеску, и она оказалась годной. Какова вероятность того, что этот узел изготовлен на первом участке?

4.9.Имеются две одинаковые урны. В первой урне находится 3 белых и 5

чёрных шаров, во второй – 3 белых и 7 чёрных шаров. Из одной наугад выбранной урны извлекают один шар. Он оказывается чёрным. Какова вероятность того, что он извлечён из первой урны?

4.10. В ящике имелось 10 деталей первого сорта и 15 деталей второго сорта. Из ящика утеряны две детали, сорт которых неизвестен. Для определения сорта

потерянных деталей из ящика наудачу извлекли две детали, которые оказались второго сорта. Определить вероятность того, что были утеряны детали второго сорта.

4.11. Радиолампа может принадлежать к одной из трёх партий с вероятностями p1, p2, р3, где p1 = р3 = 0,25, p2= 0,5. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.

4.12. Стрельба производится по трем мишеням типа А, трём – типа В и двум – типа С. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,4, типа В – 0,1, типа С – 0,15.

Найти вероятность поражения мишени при одном выстреле, если неизвестно, в мишень какого типа будут стрелять.

4.13.Стрелок А поражает мишень при некоторых условиях стрельбы с вероятностью p1= 0,6, стрелок В – с вероятностью р2 = 0,5, и стрелок С – с

вероятностью р3 = 0,4. Стрелки дали залп по мишени, и две пули попали в цель. Что вероятнее: попал С в мишень или нет.

4.14.В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20

шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

4.15. При разрыве снаряда образуется 10% крупных осколков, 60% – средних и

30% – мелких. Вероятность пробивания брони крупным осколком равна 0,7; средним –

0,2 и мелким – 0,05. Известно, что в броню попал один осколок. Определить вероятность того, что броня пробита.

4.16. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна.

Вероятность выполнить квалифицированную норму равна: для лыжника 0,9;

велосипедиста 0,8 и для бегуна 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, названный наудачу, выполнит норму.

4.17.Два стрелка поочерёдно стреляют в мишень. Вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,4 и 0,5; а вероятности попадания при последующих выстрелах для каждого увеличиваются на 0,05. Какова вероятность, что первым произвёл выстрел первый стрелок, если при пятом выстреле произошло попадание в мишень?

4.18.На трёх автоматических линиях изготовляют одинаковые детали. Первая линия даёт 70%, вторая – 20% и третья –10% всей продукции. Вероятности получения бракованной продукции на каждой линии соответственно равны – 0,02; 0,01; 0,05.

Взятая наудачу деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что деталь была изготовлена на первой линии.

4.19. Две из трёх независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа первой,

второй и третьей ламп соответственно равны 0,1; 0,2; 0,3.

4.20. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров. Во втором ящике 10 белых и 10 черных шаров. В третьем ящике 20 чёрных

шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

4.21. Третья часть одной из трёх партий деталей является второсортной,

остальные детали – первого сорта. Определить вероятность того, что деталь была взята из партии, имеющей второсортные детали, если она оказалась первого сорта.

4.22.У рыбака есть три излюбленных места рыбалки, которые он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность клёва на первом месте равна 1/3, на втором –

1/2, на третьем – 1/4. Рыбак забросил удочку в наугад выбранном месте, и рыба клюнула. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

4.23.На конвейер детали поступают с трёх автоматов. Производительность первого автомата втрое больше производительности второго. Вероятность изготовления годной детали первым автоматом равна 0,9 , вторым – 0,7. С конвейера взята одна деталь. Найти вероятность того, что она годная.

4.24.Детали для сборки изготовляют на двух станках, из которых первый производит деталей в три раза больше второго, при этом брак составляет в выпуске первого станка 2,5%, а в выпуске второго – 1,5%. Взятая наудачу сборщиком деталь оказалась годной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.

4.25.Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров. Во втором ящике 10 белых и 10 чёрных шаров. В третьем ящике 20 чёрных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

§5. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли) Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы

Муавра – Лапласа

1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)

Испытания называются независимыми относительно события А, если вероятность появления события А в каждом из этих испытаний не зависит от результата, полученного в других испытаниях.

Пусть эксперимент состоит в проведении n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (назовем его “успехом”,

тогда А соответственно “неуспех”). Вероятность неуспеха равна q 1 p. В качестве

элементарных событий рассмотрим всевозможные произведения ААА...А (в первом – успех, во втором – неуспех и т.д.).

Например, если производится 3 испытания и в них два успеха, то

элементарные события: ААА, ААА, ААА. Вероятности всех этих событий равны:

р2q3 2 p2q, а их число 3. Тогда вероятность события В (произошло 2 успеха в трёх

испытаниях) равна 3 p2q.

Рассмотрим общий случай в рамках схемы Бернулли – нахождение

число, как нетрудно видеть, равно числу способов, сколькими можно выбрать к