1574

Проведем анализ полученных статистических данных с целью проверки соответствия показаний осциллографа и остальных четырех приборов. В этом случае применим критерий Стьюдента t. Для первой группы данных результаты вычислений сведем в табл. 34.

С помощью этих данных вычислим критерий χ2 для каждого из приборов и сравним полученные данные с показаниями осциллографа. Рассматривая вначале показания тахометра, проверим следующую нулевую гипотезу: «Показания тахометра

и осциллографа имеют одно и то же выборочное среднее» при конкурирующей гипотезе: «Показания тахометра и осциллографа имеют различные выборочные средние». Используя таблицу результатов, по формуле (2.32) вычислим сводную дисперсию для обеих выборок:

Число степеней свободы равно (n1 + n2 - 2) = (5 + 5 -2) = 8. Теперь с помощью таблицы прил. 3 находим, что если гипотеза справедлива, то вероятность появления этого или большего значения t составляет около 0,001 (tдвуст. кр(0,001;8) = 5,4). Для уровня значимости α = 0,05 – tдвуст. кр(0,05;8) = 2,31. Так как |tнабл| > tдвуст. кр, нулевую гипотезу о равенстве двух средних отвергаем. Таким образом, следует отклонить данную гипотезу и считать средние значения показаний тахометра и осциллографа различными, хотя разница между ними составляет всего 11 об/мин. Другими словами, если каждое показание будет сниматься 100 или даже 1000 раз, все равно следует ожидать различия в средних.

Такие же вычисления можно выполнить для каждого из остальных приборов и для остальных трех групп данных. Полученные вероятности сведены в табл. 35. Каждое значение Р связано с проверкой гипотезы, согласно которой данный прибор при данной скорости вращения дает показания, имеющие то же самое среднее, что и показания осциллографа (для тахометра Р = 0,001).

Из этой таблицы следует, что если не предполагается провести калибровку или ремонт приборов, то лучше всего использовать счетчик оборотов (можно предположить, что при этом случайная ошибка будет максимальной, так как для получения каждого отсчета необходимо измерять две величины). В трех из четырех случаев данный прибор удовлетворяет принятой «гипотезе соответствия» при уровне значимости, превышающем 5%. В то же время наименьшую случайную ошибку имеют данные, снимаемые со стробоскопического тахометра, но вследствие наличия систематической ошибки наблюдается несоответствие эталонным данным. Если же систематическую ошибку удастся исключить путем ремонта или калибровки прибора,

то, возможно, для измерения скорости вращения предпочтительнее использовать стробоскопический тахометр.

Этот простой эксперимент служит лишь для иллюстрации применения методов статистических проверок при проведении инженерных экспериментов.

§7. Критерий равенства двух дисперсий

Критерий t позволяет сравнивать два средних значения. В некоторых случаях бывает более важно сравнить изменчивость, или «размах», двух или большего числа выборок данных. Например, можно вычислить дисперсию (т. е. квадрат среднего квадратического отклонения) для двух выборок проб бетона, рассмотренных в примере 1 §4, не обращаясь к формуле (2.20). Для майского замеса получаем 6275,79/7 = 896,54, а для июньского 5218,52/16 =326,16. Существует ли между этими дисперсиями значимое различие? Ответ на этот вопрос может дать применение так называемого критерия F (обозначенного так по первой букве фамилии английского математика Фишера). Критерий F – это отношение двух дисперсий, вычисленных или полученных различными способами.

Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н0: 12 22 о равенстве генеральных дисперсий нормально распределенных совокупностей при конкурирующей гипотезе Н1: 12 22, надо вычислить

отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т. е. Fнабл s12 s22 , и по

табл. 5 критических точек распределения Фишера – Снедекора по уровню значимости α/2 (вдвое меньшему заданного) и числам степеней свободы k1=n1-1и k2=n2-1 (k1 – число степеней свободы большей дисперсии) найти критическую точку Fкр ( 2;k1;k2 ).

Если Fнабл < Fкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Fнабл > Fкр

–нулевую гипотезу отвергают.

Врассматриваемом выше примере отношение дисперсии для первой партии к дисперсии для второй партии составляет Fнабл =896,54/326,16 =2,75. Для майской выборки число степеней свободы k1=8 – 1 = 7, а для июньской k2 = 17 – 1 = 16. Заметим, что табл. 5 составлена при допущении, что k1 относится к выборке данных, имеющей большую дисперсию.

Из табл. 5 для k1 = 7 и k2 =16 находим, что Fкр(0,1/2;7;16) = 2,6. Так как Fнабл = 2,75 > 2,6 = Fкр, отвергаем гипотезу о том, что эти две дисперсии соответствуют одной

и той же совокупности. Отсюда делаем вывод, что прочность бетона не только колеблется в течение суток, но и средние суточные значения также изменяются.

Пример. В результате испытаний 30 образцов из утяженного конца прессованного профиля и 20 образцов из выходного конца найдены средние значения и дисперсии предела прочности алюминиевого сплава, которые составили:

утяженного и выходного концов. Требуется оценить на уровне значимости α = 0,1 расхождения в выборочных дисперсиях.

Решение. В условиях рассматриваемого примера Fнабл = 0,82/0,71 = 1,15. По табл. 5 для k1 = n1–1=29 и k2 = n2 – 1=19 находим Fкр(0,1/2;29;19) = 2,07. Так как Fнабл = 1,15 < 2,07 = Fкр, то отсутствует значимое различие в дисперсиях предела прочности указанных групп образцов, т. е. можно принять, что зоны профиля равноценны в

смысле однородности материала 12 22 .

Задачи для самостоятельного решения

3.1. Измерения скорости света с, произведенные Майкельсоном, Пизом и Пирсоном, дали результаты, приведенные в табл. 36. Для сокращения записи в таблице приведены значения (ci - 299000), км/с.

Получены следующие оценки математического ожидания с и среднего квадратического отклонения , вычисленные по опытным данным:

с=299733,85 км/с, =14,7 км/с.

Проверить, используя критерий χ2, согласие опытных данных с полученным

законом распределения при уровне значимости α = 0,05.

Таблица 36

3.2. Произведено измерение изделий в двух партиях по 100 деталей в каждой.

Числа nij деталей с нормальными, заниженными и завышенными размерами приведены в табл.37.

Проверить с помощью критерия χ2, являются ли независимыми номер партии изделий и характер размеров проверяемых деталей при уровне значимости α = 0,05.

3.3. Два физика провели подсчет числа δ–электронов на каждом участке длиной 100 мкм одной и той же фотопластинки. Получены следующие результаты

(табл. 38).

Таблица 38

Аналогичные данные (17 результатов) получены для второй пластинки. Абсолютные разности A – В равны: 0, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 0, 3, 1, 1, 0, 1, 6, 2, 0, 2. Используя критерий t, сравните эти две группы отклонений и определите, принадлежат ли они одной и той же бесконечной совокупности.

3.4. Из продукции двух станков извлечены две выборки по 50 изделий; результаты измерения одного из размеров изделия (в мм) приведены в табл. 39.

Таблица 39

При уровне значимости α = 0,20 проверить гипотезу о том, что обе выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, т. е. распределение размера изделия одинаково для обоих станков.

3.5. Скорость вращения вала, полученная абсолютным методом (электронный осциллограф и генератор сигналов прокалиброваны на линейную частоту), составляет

3.10.Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии

контролируемого размера изделий, которая не должна превышать 02 0,1. Взята

проба из 25 случайно отобранных изделий. Результаты измерений представлены в табл. 44

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить, обеспечивает ли станок требуемую точность.

3.11.В результате длительного хронометража времени сборки узла

различными сборщиками установлено, что дисперсия этого времени 02 2мин2.

Результаты 20 наблюдений за работой новичка представлены в табл. 45. Таблица 45

Можно ли при ypовне значимости 0,05 считать, что новичок работает ритмично (в том смысле, что дисперсия затрачиваемого им времени существенно не отличается от дисперсии времени остальных сборщиков)?

3.12. Партия изделий принимается, если дисперсия контролируемого размера значимо не превышает 0,2. Исправленная выборочная дисперсия, найденная по

выборке объема п = 121, оказалась равной s2Х 0,3. Можно ли принять партию при

уровне значимости 0,01?

3.13. Химическая лаборатория произвела в одном и том же порядке анализ 8 проб двумя методами. Полученные результаты приведены в табл. 46 (в первой строке указано содержание некоторого вещества в процентах в

каждой пробе, определенное первым методом; во второй строке – вторым методом). Таблица 46

При уровне значимости α = 0,20 проверить гипотезу о том, что обе выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, т. е. содержание некоторого вещества одинаково для обоих методов.

3.14. Две лаборатории одним и тем же методом, в одном и том же порядке определяли содержание углерода в 13 пробах нелегированной стали. Полученные результаты анализов приведены в табл. 47 (в первой строке указано содержание углерода в процентах в каждой пробе, полученное первой лабораторией; во второй строке–второй лабораторией).

Проверить гипотезу о том, что обе выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, т. е. содержание углерода одинаково для обеих лабораторий, при уровне значимости α = 0,20.

3.15. В табл. 48 приведены данные об объемах работ, выполняемых на стройке за смену двумя бригадами в течение четырех дней.

При уровне значимости α = 0,20 проверить гипотезу о том, что обе выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, т. е. объём выполняемых работ одинаков для обеих бригад.

3.16. Имеются две партии сырья для промышленности. Из каждой партии отобрано по пять образцов, и проведены испытания на определение величины разрывной нагрузки.

Результаты испытаний приведены в табл. 49.

Таблица 49

Выяснить на уровне значимости α = 0,05, существенно ли влияние различных партий сырья на величину разрывной нагрузки.

последнего отклонений диаметра вариационного ряда принадлежат той же генеральной совокупности, что и все остальные.

3.24 Наблюдения за межремонтными интервалами Т (в месяцах) работы зерноуборочного комплекса дали результаты, приведенные в табл. 51.

Таблица 51

Построить вариационный ряд выборки и с помощью критерия Ирвина проверить нулевую гипотезу, заключающуюся в том, что значения первого и последнего межремонтных интервалов вариационного ряда принадлежат той же генеральной совокупности, что и все остальные.

3.25 Для определения надежности металлорежущих станков на заводе фиксировались значения наработки на отказ (время τ непрерывной работы до первого отказа). Полученные данные для τ (в месяцах) приведены в табл. 52.

Таблица 52

Построить вариационный ряд выборки и с помощью критерия Ирвина проверить нулевую гипотезу, заключающуюся в том, что первое и последнее значения наработки на отказ вариационного ряда принадлежат той же генеральной совокупности, что и все остальные.