1574

Пример 2. Проверить с помощью критерия Груббса принадлежность результатов ряда измерений некоторой длины, помещенных в табл. 4, одной и той же генеральной совокупности.

Решение. По данным табл. 4 находим выборочное среднее х 257,11 и выборочное среднее квадратическое отклонение s = 2,6. Проверим принадлежность результата 10 –го измерения той же генеральной совокупности, как и все остальные. На основании (2.27)

Наибольшее значение макс для n =15, приведенное в табл. 3, равно 2,80, чему соответствует α = 0,01. Так как макс 3,42 2,8 0,01;15 , то результат данного измерения не считаем принадлежащим той же генеральной совокупности, как и все

остальные. В оставшемся ряду представляется также подозрительным результат 258,5.

Для него

что заметно меньше табличных (критических) значений для n =15 и всех рассматриваемых уровней значимости. Т. е. результат данного измерения считаем принадлежащим той же генеральной совокупности, как и все остальные.

§5. Проверка нормальности выборочного распределения

Для больших выборок гипотезу о нормальном распределении характеристик целесообразно проверять с помощью критерия соответствия χ2 (критерий Пирсона). В этом случае размах варьирования

разбивают на интервалы и для каждого интервала определяют число наблюдений nj. Интервалы, содержащие число наблюдений менее 5, объединяются с соседними. С помощью функции Лапласа (2.9), пользуясь выборочными значениями математического ожидания и дисперсии, определяют оценку вероятности попадания величины характеристики в интервале pj по формуле

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы (генеральная совокупность распределена нормально) примем случайную величину

где nj npj – теоретические частоты. Эту величину сопоставляют с критическим

значением кр2 , найденным для уровня значимости α и числа степеней свободы k=e –

2– 1 по таблице прил. 4 (здесь е является числом интервалов после их объединения; число 2 соответствует числу параметров нормального распределения, которые оценены по данным выборки).

Поскольку односторонний критерий более «жестко» отвергает нулевую гипотезу, чем двусторонний, построим правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости α:

Р 2 2кр ;k .

Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством 2 кр2 , область принятия нулевой гипотезы – неравенством

2 кр2 .

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через

набл2 и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу

Н0: генеральная совокупность распределена нормально, надо сначала вычислить

теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия:

ипо таблице критических точек распределения χ2, по заданному уровню значимости α

ичислу степеней свободы k=е-3 найти критическую точку 2кр ;k (см. прил. 4).

Пример 1. Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении логарифма числа циклов до разрушения при усталостных испытаниях по данным табл. 2.

Решение. Для этого предварительно по табл. 2 определяют размах

варьирования логарифма долговечности образцов:

R=7,4586 – 5,8669 = 1,5917.

Размах разбивают на равные интервалы. Ориентировочную длину интервала

определяют как

x R 1,5917 0,133. 12 12

За длину интервала принимают х = 0,15. Границы интервалов, а также число наблюдений приведены в табл. 5, составленной на основании табл. 2.

В этой же таблице даны вычисления, необходимые для определения выборочного среднего и выборочного среднего квадратического отклонения.

Последовательность вычислений ясна из табл. 5.

Пользуясь итогами 3 и 4 столбцов, по формуле (2.17) вычисляют выборочное среднее значение логарифма числа циклов до разрушения образцов:

х 651,5 6,515. 100

Выборочную дисперсию находят на основании итогов 4, 5 и 6 столбцов по формуле (2.22).

Далее находят выборочное среднее квадратическое отклонение

s 0,09922 0,315.

После того, как найдены выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение, приступаем к проверке нормальности выборочного распределения.

Все результаты вычислений приведены в табл. 6, первые три столбца которой заимствованы из табл. 5. В связи с малым числом наблюдений объединяются интервалы 1-й со 2-м и 9-й с 10-м и 11-м.

В четвертом столбце границы интервалов выражаются через нормированную случайную величину

zi xi x , s

где х и s–выборочное среднее значение и среднее квадратическое отклонение логарифма числа циклов до разрушения образцов. Значения этих статистик были найдены выше. С помощью таблицы прил. 2 находят значения функции Лапласа (2.9) для границ интервалов и заносят их в пятый столбец.

В шестой столбец заносят оценку вероятностей попадания значений механической характеристики в интервалы, которая представляет собой разность

значений функции Лапласа на правой и левой границах интервала. Если интервалы

объединяются, то вычисляют разность значений функции на границах объединенного

интервала. Например,

p1 P x 6,125 Ф 1,24 Ф 0,3925 0,5 0,1075.

Сумма чисел рi в столбце 6 всегда будет равна единице. В столбец 7 заносят оценки математических ожиданий числа наблюдений по интервалам, которые

определяют умножением оценки вероятности pi на общее число образцов в выборке n

=100. Итог столбца 7 должен равняться итогу столбца 3.

Сумма столбца 8 дает значение критерия χ2. В данном случае χ2набл = = 2,547.

По таблице прил. 4 для k=6 – 3=3 находим, что вычисленное по данным выборки

χ2набл=2,547 меньше критического значения χ2, соответствующего уровню значимости α

=0,7. Отсюда следует, что гипотеза o нормальном распределении логарифма долговечности при усталостных испытаниях не противоречит опытным данным.

Задачи для самостоятельного решения

2.1. Произведен выбор 200 деталей из текущей продукции прецизионного токарного автомата. Проверяемый размер деталей измерен с точностью до 1 мк. В табл. 7 приведены отклонения хi от номинального размера, разбитые на разряды,

численности разрядов ni.

Таблица 7

Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении отклонений хi от номинального размера.

2.2. Имеется 60 деталей, обработанных на одном станке. Данные об измерениях характерного размера х приведены в табл. 8.

Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении размера х детали.

Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении полученных отклонений.

2.4. Образовано 250 чисел х, каждое из которых представляет собой сумму

цифр пяти случайных однозначных чисел. Полученные суммы разбиты на 15

интервалов в соответствии с табл. 10.

Таблица 10

Суммы, кратные трем, условно отнесены к обоим граничащим интервалам, к

каждому из которых отнесена половина числа этих сумм. Установить, используя критерий χ2, согласуется ли приведенное статистическое распределение с законом нормального распределения, за параметры которого приняты оценки математического ожидания и дисперсии, определенные по наблюденным данным, при уровне значимости α =0,05.

2.5. Результаты наблюдения за среднесуточной температурой воздуха в течение

320 суток приведены в табл. 11.

Таблица 11

Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении данных наблюдений при уровне значимости

α =0,05.

2.6. Имеется 60 деталей, обработанных на одном станке. Данные об измерениях характерного размера х приведены в табл. 12. Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении размера х детали.

2.7. Проверяется партия небольших внешне одинаковых электрических предохранителей для определения тока, при котором происходит их перегорание. Полученные результаты представлены в табл. 13.

Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном распределении тока, вызывающего перегорание предохранителей.

Таблица 13

килопарсеках) до туманности, a ni – число случаев (численность разряда). Таблица 14

Проверить с помощью критерия соответствия Пирсона гипотезу о нормальном

распределении данных наблюдений при уровне значимости

α= 0,05.

2.9.В табл. 15 приведены результаты измерения некоторой величины X.

Таблица 15

Проверить, используя критерий χ2, согласие опытных данных с законом нормального распределения, параметры которого следует определить на основании результатов измерений. Принять уровень значимости

α=0,05.

2.10.Прибор для сортировки электронно-лучевых трубок проверяется путем многократного пропускания через нero одной и той же трубки, полученные результаты

приведены в табл. 16.