1574

Е. Ю. РУППЕЛЬ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

УДК 519.2 ББК 22.171 Р 86

Рецензенты: Г.И.Сечкин, канд. физ.-мат. наук, доц.,

зав.каф. "Математический анализ" ОмГПУ; кафедра «Высшая математика» ОмГУПС

Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия для студентов 2-го курса инженернотехнических специальностей.

Руппель Е. Ю.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ: Учебное пособие. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2003. –141с.

ISBN 5-93204-127-7

Учебное пособие предназначено для студентов инженернотехнических специальностей по дисциплине «Математика», охватывает такие разделы курса высшей математики, как теория вероятностей и математическая статистика.

Содержание пособия соответствует государственному образовательному стандарту для студентов машиностроительных и приборостроительных специальностей. Пособие составлено таким образом, что наряду с теоретической частью содержит подробный разбор типовых задач, решение которых позволит читателю глубже понять и закрепить изученный материал. Каждый раздел книги содержит индивидуальные задания для самостоятельного решения.

Данное учебное пособие будет полезно также аспирантам при проведении конкретных экспериментов и обработке данных в своей научной и экспериментальной деятельности.

Ил. 13. Библиогр.: 5 назв.

Учебное издание

РУППЕЛЬ ЕЛЕНА ЮРЬЕВНА

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Учебное пособие

Главный редактор М.А. Тихонова Компьютерная верстка и графика А.А. Руппель

** *

Подписано в печать 01.08.03 Формат 60х90 1/16.Бумага писчая Оперативный способ печати Усл.п.л. 8,75, уч.-изд.л. 8,5

Тираж 200 экз. Заказ 83 Цена договорная

** *

Издательство СибАДИ 644099, г. Омск, ул. П. Некрасова, 10

____________________________________________________

Отпечатано в ПЦ издательства СибАДИ 644099, г. Омск, ул.П. Некрасова,10

2.Правило умножения………………………………………………………. 6

3.Размещения……………………………………………………………....... 6

2.Нормальный закон распределения……………………………………….. 52

3.Распределение Пуассона………………………………………………….. 57

4.Равномерное распределение вероятностей…………………………........ 58

5.Геометрическое распределение…………………………………………... 60 Задачи для самостоятельного решения……………………………………... 62

Приложения……………………………………………………………………………… 131 Библиографический список…………………………………………………......... 140

В современной физике в отличие от ньютоновского подхода при использовании неточных данных ученые стремятся с самого начала учитывать истинную точность наблюдений, не стараясь ни на одном этапе вычислений получить большую точность, чем та, которая на самом деле является реальной.

Норберт Винер. «Я математик»

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время всевозрастающее значение приобретает использование математических методов анализа закономерностей в разнообразных исследованиях, связанных с управлением производством и технологическими процессами. А это выдвигает серьезные требования к совершенствованию математической подготовки инженеров.

Среди математических дисциплин, которые изучают студенты, инженерных специальностей (высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика, математическое программирование и др.), теория вероятностей и математическая статистика занимает особое положение. Во - первых, она является теоретической базой статистических дисциплин, во - вторых, методы теории вероятностей и математической статистики непосредственно используются при изучении массовых совокупностей наблюдаемых явлений, обработке результатов наблюдений и выявлении так называемых «статистических закономерностей». Наконец, теория вероятностей имеет важное методологическое значение в познавательном процессе, в построении умозаключений на основании результатов опыта или наблюдения над частью объектов и их воссоединением (синтезом) для получения целостного представления об общей закономерности, т. е. служит логикой индуктивно-дедуктивного умозаключения.

Современное производство является сложным и многообразным объектом, между элементами которого существуют многосторонние связи и взаимосвязи. На их изменения оказывает влияние множество факторов, по разному действующих в различные моменты времени, а в результате эти изменения носят случайный характер. При этом, как правило, отсутствует возможность постановки «чистого» эксперимента, позволяющего выделить главные, решающие факторы и исключить действия многих второстепенных. Поэтому особенно важным становится определение общих закономерностей на базе наблюдения за частью случайных явлений, отделением основных связей от случайных воздействий.

Анализ традиционных методик экспериментальных исследований показал, что с применением математических методов на всех этапах экспериментального исследования - при осмысливании информации до опыта, при планировании

эксперимента и обработке его результатов - можно существенно повысить достоверность и эффективность эксперимента. Поэтому основной задачей данного учебного пособия является первое знакомство студентов инженерных специальностей с некоторыми идеями и методами теории эксперимента с целью их использования при выполнении любых исследований. В свою очередь, изучение методов обработки наблюдений и проведение эксперимента требуют знакомства с теорией вероятности. Чему и посвящена первая глава настоящего пособия.

В учебном пособии приведен подробный разбор типовых задач, решение которых позволит студенту глубже понять теоретико-вероятностные построения, научиться применять их при проведении конкретных экспериментов и опытов в своей инженерной и экспериментальной деятельности.

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§1. Основные правила комбинаторики

1. Правило сложения

Пример 1. Пусть из пункта А в пункт В можно добраться самолётом, поездом и автобусом, причём между этими пунктами существует два авиамаршрута: 1 железнодорожный и 3 автобусных. Следовательно, общее число маршрутов между пунктами А и В равно: 2 1 3 6. Обобщая этот пример, можно сформулировать правило сложения.

Если выбор каждого из объектов аi (i 1,2,...,к)можно выполнить ni

способами, то выбор “или а1, или а2,…, или ак ” можно произвести

к

n ni способами. l 1

2. Правило умножения

Пример 2. Сколькими различными способами можно распределить 4 шара по двум лункам, в которые помещается ровно 1 шар? Очевидно, первую лунку можно заполнить 4 способами, т. к. при выборе первой лунки имеется 4 шара. Вторую лунку можно заполнить двумя шарами, т. к. после заполнения первой лунки осталось 3 шара.

Заметим, что с каждым из 4-х способов заполнения первой лунки может совпасть любой из трёх способов заполнения второй. Поэтому общее число способов распределения двух лунок равно: 4 3 12.

Запишем теперь правило умножения в общем виде.

Если выбор каждого из к объектов аi(i 1,2, ..., к)можно осуществить ni

отличаются друг от друга или составом элементов, или порядком их распределения. Но число элементов во всех этих подмножествах равно к. Для определения числа Аnк

размещений из n элементов по к учтём, что первый элемент подмножества может быть

0! 1, поэтому А00 0! 1.

0!

Пример 3. В соревнованиях принимают участие 16 команд. Сколькими способами могут распределиться три первых места, т. е. необходимо найти число всех подмножеств, состоящих из трёх элементов, отличающихся составом (номерами команд) или порядком их размещения (подмножества №1, №2, №3 и №2, №1, №3 являются разными). Таким образом, имеем дело с размещением. Тогда искомое число равно:

14 15 16.

4. Перестановки

Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов. Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

Число всех возможных перестановок из n элементов обозначают

Пример 4. Сколькими способами можно расставить 6 различных книг на одной полке?

Действительно, в данном случае мы имеем дело с подмножествами из трёх элементов, которые отличаются лишь составом.

Задача 3. Сколькими способами можно упорядочить множество чисел1,2,..., 9 так, чтобы числа 1, 2, 3 стояли рядом в порядке возрастания?

Решение. Числа 1, 2, 3 можно полагать склеенными в порядке возрастания и рассматривать как один элемент. Тогда число элементов множества равно (9 2), т. е.

7, и они могут быть переставлены друг с другом 7! раз, т. е. число способов равно 7!. Задача 4. Каким числом различных способов могут быть выбраны к деталей

из партии в n деталей при выборочном контроле качества продукции?

Решение. В этой задаче все подмножества, содержащие к элементов,

отличаются лишь составом элементов. Значит, число различных способов равно Сnк.

Задача 5. Карточка ”Спортлото” содержит 49 чисел. Играющий зачёркивает 6 произвольных чисел по своему усмотрению. После тиража объявляется 6 “счастливых” чисел. В случае совпадения, по крайней мере 3, зачёркнутых “счастливых” чисел владелец карточки получает выигрыш тем больший, чем больше чисел угадано. Максимальный выигрыш достигается, если угаданы все 6 чисел. Необходимо определить:

а) Сколькими способами можно зачеркнуть 6 чисел на карточке “Спортлото” так, чтобы угадать 4 “счастливых” числа?

б) Сколькими способами можно зачеркнуть 6 чисел на карточке “Спортлото” так, чтобы был обеспечен выигрыш?

Решение. Различные комбинации зачёркнутых чисел отличаются только составом, т. е. являются сочетаниями:

а) Общее число различных способов выбора 6 чисел из 49 равно:

б) Выигрыш достигается, если угадано или 3, или 4, или 5, или 6 “счастливых” чисел, т. е. выигрыш может быть достигнут четырьмя вариантами. По правилу сложения число способов в каждом из этих вариантов необходимо сложить. Рассмотрим первый вариант. Выигрыш 3 “счастливых” из 6: 3 “счастливых” числа из 6

можно выиграть С63 способами, 3 “несчастливых” числа из (49 – 6) можно зачеркнуть

С433 способами. Последовательный набор 3 из 6 “счастливых” чисел и 3 из 43

получим, что число способов, которыми можно зачеркнуть 6 чисел так, чтобы обеспечить выигрыш, равно:

С63 С433 С64 С432 С65 С143 С66 С430 246820 13545 258 1 260624.