мо использовать функцию int несколько раз.

Пр мер 1

Выч сл ть двойной интеграл 2x3ydxdy.

С

Порядок ввода:

>> syms x y

>> f=2*x^3*y;

и>> int(int(f,x),y)

В результате получим выражение 1/4*x^4*y^2.

Пример 2

23

Вычислить двойной интеграл

2x3ydxdy.

11

бА

Порядок ввода:

Д

>> syms x y

>> f=2*x^3*y;

>> int(int(f,x,1,3),y, –1,2)

В результате получим 60.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 7

И

I. Вычислить неопределенные интегралы:

1) cosxdx;

4) (3x lnx)dx;

dx;

7)

x2 1

2) x2dx;

5) (x3 3x2 1)dx;

1

x

1

8)

dx.

3) (e

x

x)dx;

6)

dx;

x2 2x

x

3

5

1) sin xdx;

4) (0,5x cosx)dx;

1

0

3

4

2) (x2

cos2x)dx;

5) (sin(2x 3) 2cos5x)dx;

1

0

2

x

2

0

3) (sin x

)dx;

6) (ex sin(x 3))dx.

1

2

5

2

2 1

Сy

1)

(2x

2

)dxdy;

3)

(4x3 3y2)dxdy;

1 2

бА

2)

(18x2y2 32x3y)dxdy;

4)

(18x2y2 32x3y)dxdy.

иIV. Выч сл ть тройные интегралы:

33 1

1 23

1)

((x2

2)y 3z)dxdydz;

2)

(sinx 2y ez )dxdydz.

110

12 1

Пример 1

Вычислить lim

sin x

.

x 0

x

Порядок ввода:

С

>> syms x

>> y=sin(x)/x;

>> limit(y)

получим

В результате

1.

Пр мер 2

2x3

3x2

1

бА

Выч сл ть lim

x2

.

x 2

2x 3

Пример 3

x

Д

1

Вычислить lim 1

.

x

x

И

Порядок ввода:

>> y=(1+1/x)^x;

>> limit(y,inf)

В результате получим exp(1), т.е. число е.

Пример 4

Вычислить lim

1

.

x 0

x

Вычислить lim

1

.

С

x

x 0

Порядок ввода:

>> y=1/x;

>> limit(y,x,0,'right')

получим

В результате

inf, т.е. бесконечность.

Пр мер 6

бА

sin(x h) sin x

Выч сл ть lim

h

.

h 0

Порядок ввода:

>> syms x h

>> y=(sin(x+h)–sin(x))/h;

>> limit(y,h,0)

% Вычисление предела по переменной h

В результате получим cosx.

Д

10. ДИФФЕРЕНЦИРОВ НИЕ ФУНКЦИИ

Дифференцирование функций в MATLAB осуществляется с по-

мощью функции diff.

И

Для функций одной переменной:

С

В результате получим 6х2 – 6х.

Пр мер 2

Найти

y=sin(x+h) по переменной х.

про зводную функции

Порядок ввода:

>> syms x h

бА

x

Порядок ввода:

Д

>> syms x h

>> y=sin(x+h)/x;

И

>> diff(y,h)

В результате получим cos(x+h)/x.

Пример 5

Найти вторую производную функции y=3x3h–2h2x2+3

по пере-

менной х.

Порядок ввода:

>> syms x h

>> y=3*x^3*h–2*h^2*x^2+3

>> diff(y,x,2)

В результате получим 18xh–4h2.

С

Пр мер 6

третью производную функции y=3h2 ln(x) 3eh

по пере-

меннойНайтиh.

Порядок ввода:

>> syms x h

>> diff(3*h^2*log(x)+3*exp(h),h,3)

В результате получим 3eh.

бСАМОСТОЯТЕЛЬНАЯ Р БОТА № 8

I.Вычислить пределы функций:

1) lim

x 3

;

6) lim

2

x

;

2

x 3

x

4x

3

x 4

5x 1 5

Д

7 x

7 x

;

2) lim

;

7) lim

x2 3

1

x 0

5x

x 3

x2 5 2

3) lim(

1

1

);

8) lim

sin5x

;

x 0

sin x

tgx

x 2

x π sin6x

И

4) lim

;

9) lim

3y

x 9

;

x x2 x 6

x y

5) lim(sin x)tgx ;

x 3

3x 2y

x

π

10) lim

.

2

y 1 5x 3y

1) y(x) x2

3x 1;

5)

y(x) x cosx;

2) y(x)

2x2 1

;

6)

y(x) sinx2 x2;

x 2

7)

y(x) 0,5x cosx;

3) y(x) arcsin2x;

8)

y(x,z) 5(sinx cos5z);

tg2x

4) y(x)

;

9)

y(x,z) sin(z 3) 2x.

x 3

4

III.Выч сл ть производные старших порядков:

и

1) y(x) x2

cosx, второго порядка;

С2x

x

3

, третьего порядка;

2) y(x) e

3) y(x) ex x4

/3, шестого порядка.

бА

Первая производная функции обозначается Dу, вторая произ-

водная – D2у и так далее.

Д

Функция dsolve предназначена также для решения системы

дифференциальных уравнений. В этом случае она имеет следующий

формат обращения:

[f,g]=dsolve('Df(x),Dg(x)', 'НУ'),

где Df(x) ,Dg(x) – система уравнений; НУ – начальныеИусловия.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

dx

0,5x с начальным

dt

С

В результате получим функцию х=10e–1/2t и график (рис. 13).

и

бА

Рис. 13. График функции-решения уравнения

Д

Пример 2

Решить систему однородных

дифференциальных уравнений

dx1

0,5x ;

2

dt

dx2

3x1.

dt

с начальными условиями x1(0)=0, x2(0)=1. Построить график решения

в интервале [–0,5; 13].

И

В результате получим

функции x1

/6 sin

t/2 и

6

6

x2 cos

t/2 . Графики функций показаны на рис. 14.

6

С

и

бА

Рис. 14. Графики функций х1 и х2

Пример 3

Д

Решить систему неоднородных дифференциальных уравнений

dx1

3x 12;

1

dt

dx2

2,5x1 1,25x2.

dt

с нулевыми начальными условиями и построить график решения в

интервале [0; 5] для первой x1

координаты и в интервале [0; 9] для

второй x2 координаты.

И

Порядок ввода:

В результате решения

получим функции x 4 4e 3t ,

x2 8 40/7 e 3t 96/7 e 5/ 4t

1

и график (рис. 15).

I.Решить дифференциальные уравнения при заданном началь-

ном условии и построить графики решения любых трех уравнений:

dx

x

5)

dx

x tgt

1

, x(0) 0;

1) бАtcost , x(1) 0;

cost

dt

t

dt

dx

2)

dx

1

, x(1) 1;

6) (x

t)

1,

x( 1) 0;

dt

et x

dt

dx

1 x2

t

dx

t

7)

1 e

x

e

,

х(0) 1;

3)

, x(0) 1;

Д

dt

1 t2

dx

dt

x

1

dx

1

t2x4

4)

x cost, x(0)

;

8)

, x(1)

.

dt

t

3

3

dt

2

И

II. Решить дифференциальные уравнения старшего порядка при

заданных начальных условиях:

1)

d2x

4x 0; x(0) 0;

dx

(0) 2;

dt

2

dt

d2x

dx

2x 0; x(0)

dx

2)

3

1;

(0)

1;

dt

2

dt

dt

d2x

dx

0; x(0)

dx

3)

2

1;

(0) 0;

dt

2

dt

dt

С

dx

4) t

d

2x

dx

; x(0) 0;

(0) 0;

dt2

dt

dt

2

d2x

dx

dx

5) (1 t

)

2t

0; x

(0) 0;

(0) 3;

и

dt

dt2

dt

d2x

1dx

1

dx

6)

dt2

(1 lnt)

t

dt

2 lnt; x(1)

2

;

dt

(1) 1.

бА

III. Реш ть с стемы дифференциальных уравнений при задан-

ных начальных услов ях

построить графики решения:

dx1

2x 1;

dx1

x x

;

1

1

2

1)

2)

dt

dt

dx

dx

2

3x1 2x2 1;

2

2x1 2;

dt

dt

x1(0) 1, x2(0) 1,

x1(1) 0, x2(1) 1.

КОНТРОЛЬН Я Р БОТА № 2

I. Решить уравнение

x 1

2

x 3

7 0.

II. Найти корни полинома x3

2x2 5,5x 1 0.

3

И

III. Решить систему линейных уравнений

6x1

x2 x3 11,33;

Д

6x2 x3

32;

x1

x

x

2

6x

3

42.

1

IV. Решить систему нелинейных уравнений

x

2y 1;

2.

3x 3y2

V. Вычислить интегралы:

3

1) 3x3dx;

2) (e2x 1 1)dx;

1

3) (x2

3 1

2ysin x)dxdy;

4) 2y 3x2 y dxdy.

VI. Вычислить пределы:

2 1

1) lim

2x

2 3x 4

;

3)

lim

2x 1

;

2x2 3

x2

x 1 x3

x

;

sinx 1

.

2) lim

3x2 1

4)

lim

x 0

2x2 5

x 2

tgx

и

VII. Выч сл ть производные функций:

С1) y(x) 2x3 1,первогопорядка;

2) y(x)

2x

,второгопорядка;

бА

3x2 2

3) y(x) e3x x

x

,первогои третьегопорядка;

4) z(x, y) 3sin x2 xcos y,по переменнойx и

по переменной y.

1)

dx

2x 3t2, x(0)

1;

dt

Д

2)

dx

2sin x 2, x(0) 0;

dt

И

d2x

dx

dx

3)

2

2

2t 2

0,

(1) 1, x(0) 0.

dt

dt

dt

dx1

x

2, x (0)

10;

1

1

dt

2

dx2

2x1

0,5x2,

x2(0) 5.

dt