3. ИГРЫ С ПРИРОДОЙ

Предполож м, что некий экономический субъект (игрок)

С

из некоторого множества 1,2,...,m. Он знает,

выбирает свои стратег

что внешн й

р (природа) независимо от его действий может

наход ться

в одном

з состояний: 1,2,...,n. Эти состояния можно

условно сч тать стратегиями природы, каждая из которых в

сочетан

со стратег

игрока приводит к определённым исходам.

ями

Каждый

сход оцен вается игроком в зависимости от полезности для

него этого

схода. Так м о разом, множество исходов и заданная на

них функция полезности экономического субъекта задают платёжную

матрицу

a

ij

.

m n

Следовательно, игру против природы можно считать частным

случаем матричной игры. Её особенность заключается в том, что

второй игрок (природа) не преследует собственные цели, а является

бА

безразличным игроком. Модели выбора решения в игре против

природы можно поделить на два типа: с использованием критериев

оптимальности и с использованием смешанных стратегий.

Критерии оптимальности

Д

Рассмотрим

случай, когда

лицо, принимающее

решение

(экономический субъект), не располагает информацией о том, как

распределены вероятности состояний среды, и даже не знает, какие из

этих состояний более вероятны. В таких случаяхИприменяют критерий

оптимальности.

Критерий оптимальности – это правило выбора наилучшего

решения в условиях неопределённости, основанное на конкретных

предположениях

относительно

поведения окружающей

среды

нижняя

цена

гры

с природой.

Правило

выбора

решения в

соответств

с

кр терием

Вальда

можно

интерпретировать

следующ м образом: матрица решений дополняется еще одним

С

каждой

строки. Выбрать

столбцом

з на меньших результатов

надлеж

т тот вар

ант, в строке которого стоит наибольшее значение

этого столбца.

Вы ранное

таким

образом

решение

полностью

р ск. Это означает, что принимающий решение не может

столкнуться с худш м результатом, чем тот, на который он

исключает

соответствующий

ориент руется.

Как е

ы условия не встретились,

результат не может оказаться ниже W . Это свойство заставляет

считать критерий Вальда одним из фундаментальных. Поэтому в

технических задачах он применяется чаще всего как сознательно, так

и неосознанно. Однако в практических ситуациях излишний

пессимизм этого критерия может оказаться очень невыгодным.

Применение этого критерия может быть оправдано, если

ситуация,

в которой принимается решение, характеризуется

бА

следующими обстоятельствами:

Д

- с появлением состояния Vj

необходимо считаться;

И

максимума.

На число

влияет

степень

ответственности лица,

принимающего решение по выбору стратегии: чем больше желание

С

застраховаться, тем ближе к 1.

Недостатком

критерия

Гурвица

является субъективная

каждого состоян я пр роды он не

наилучшей стратегии.

Затем по матр це вы ирается решение по пессимистическому

выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает

наименьшее значение в самой не лагополучной ситуации.

Элементы

Д

матрицы рисков находятся по формуле

r

maxa

ij

a

ij

,

гдеАmaxa – максимальный элемент в столбце

ij

ij

3050 усл.ед. продукц

первой и 1100 усл.ед. продукции второй

С

группы; а в услов ях холодной погоды – 1525 усл. ед. продукции

первой группы 3690 усл.ед. продукции второй группы.

В связи

возможными изменениями погоды ставится задача –

определ ть

стратег ю

фирмы

в

выпуске

продукции,

обеспеч вающую

доход от

реализации

при цене

максимальный

продажи 40 у.д.е. за 1 усл.ед. продукции первой группы и 30 у.е. –

второй группы.

Решение. О означим стратегии фирмы:

A1 – в этом году удет теплая погода;

A2 – холодная, а стратегии природы: B1

и B2 соответственно.

Пусть фирма примет стратегию A1

и в действительности погода

будет тёплая (стратегия природы B1), тогда доход фирмы составит

бА

С 3050(40 20) 1100(30 15) 77500 у.д.е.

Если фирма примет стратегию A1,

а погода будет холодная (т.е.

стратегия природы B2), тоДчасть препаратов останется

нереализованной и доход будет равен

С 1525(40 20) 1100(30 15) 20(3050 1525) 16500 у.д.е.,

И

C 1525(40 20) 1100 (30 15) (3690 1100) 15 8150 у.д.е.

Запишем платежную матрицу игроков, рассматривая в качестве

С

таковых фирму и природу.

B

B

min

A1

2

2

7750

16500 16500

и

P

8150

85850 8150

A

2

max

7750 85850

бА

Найдём н жнюю

верхнюю цены игры:

Обозначим

вероятности

применения

фирмой стратегий

соответственно x1

и x2, причем x1 x2

1.

Решим игру алгебраически:

77500x1 8150x2

1387x1

777;

16500x1 85850x2

И

из равенства x1 x2 1 x2 1 x1;

x1 0,56;

Д

xопт (056;044)

;

maxminaij max(16500;8150) 16500

у.д.е.,

следовательно,

фирме следует использовать стратегию A1.

2. Кр тер й макс мума.

maxmaxaij max(77500;85850) 85850 у.д.е.

Целесообразно

использовать стратег ю A2 .

С

: для определенности возьмем

=0,4,

3. Кр тер й

тогда для стратег

ф рмы A1

minaij (1 )maxaij 0,4 16500 (1 0,4) 77500 53100 у.д.е.

Для стратег

А2:

Гурвица

minaij (1 )maxaij 0,4 8150 (1 0,4) 85850 54770 у.д.е.

Выбираем max(53100;54770) 54770 у.д. .

Следовательно, фирме

применить стратегиюA2.

4. КритерийцелесообразноСэвиджа: максимальный

элемент в 1-м столбце –

77500, во 2-м – 85850.

Элементы

матрицы

рисков

найдем

из

выраженияrij (maxaij) aij , откуда

А

r11 77500 77500 0; r12

85850 16500 69350;

r21 77500 8150 69350; r22 85850 85850 0.

Матрица рисков имеет вид

0

69350

.

69350

0

Д

В соответствии с критерием Сзвиджа

min max(maxaij aij) min 69350;69350 69350 у.д.е.

Фирме

целесообразно применить стратегию A1

или A2.

47000 у.д.е.,

С

т.е. фирма может применить любую стратегию: A1или A2.

Пр мер 2. Определить

наилучшую стратегию по критериям

Лапласа, Вальда, Сэв джа и Гурвица для игры, заданной платежной

матрицей

:

1

3

3

6

1

3

8

0

бА

P 10

6

0

4

.

6

1

5

12

4

2

2

6

Значение степени оптимизма принять 0,5.

Найдём нижнюю и верхнюю цены игры: 1;

3.

1. Применим критерий Лапласа, согласно которому все

состояния природы полагаются равновероятными.

Д

Пусть

вероятности

p

j

1

0,25

,

тогда

математические

4

ожидания величины прибыли для каждого из рассматриваемых

вариантов равны

a

И

a

p .

j

ij

j

ij

j

(aij)

1

3

3

6

0,25

0,75

0,75

1,5

2,75

0

1

3

8

0

0,25

0,75

2

2,5

6

0

2,5

1,5

0

1

5

10

4

12

6

1

5

3

1,5

0,25

1,25

5,5

4

2

1,5

1

0,5

0,5

2,5

6

2

С

1

3

3

6

1

1

3

8

1

0

10

6

0

4

min(a )

4.

ij

туации

1

5

1

12

6

6

4

2

2

2

рассматр ваемой с

можно выбрать любую из стратегий A1,

A2, A4.

3. Кр тер й Сев джа.

Для

оптимальной стратегии по этому критерию

составим матрицу рисков.

Риск – мера

несоответствия между разными возможными

выбора

результатами принятия определенных стратегий. Максимальный

выигрыш в

j-м стол це bj max(aij ) характеризует благоприятность

состояния природы. Элементы матрицы рисков находим по формуле

rij maxaij

aij .

А

j

1. Расчет 1-го столбца:

r11 12 1 13;r21 12 0 12;r31 12 10 2;r41 12 12 0;

r51 12 6 6.

Д

И

13

3

0

2

7

0

0

12

оставим матрицу рисков R 2

0

3

12

.

С

0

4

3

0

2

1

10

6

13

Гурвица

12

12.

В каждой строке выбираем наибольший элемент: max(aij)

4

будет

10

Из эт х ч сел определяем наименьшее: min =4.

Вывод: на лучшая стратегия

A4.

применять

стратегию,

4. Кр тер й

рекомендует

определяемую формулой

max min aij

1 max aij ,

где –

А

степень оптимизма, 0;1 .

Для заданного значения 0,5 вычисляем

Д

max(0,5 ( 1) (1 0,5) 6;0,5 ( 1) (1 0,5) 8;0,5 ( 4)

+(1 0,5) 10;0,5 ( 1) (1 0,5) 12;0,5 ( 2) (1 0,5) 6)

max(2,5;3,5;3;5,5;2) 5,5.

И

Вывод: выбираем стратегию

A4 .

1 3 3

6

0 1

3

9

P

9

6

0

3

.

6 1

5

10

6

4

2

2

Лапласа –

A4, по кр терию Вальда – A1, пр критерию Сэвиджа –

A4,

фирмы

по критер ю Гурв ца –

A4.

СПр мер 2

Ф рма про звод т пользующиеся спросом детские платья и

костюмы,

реал зац я которых зависит от состояния погоды. Затраты

бА

в течен е августа-сентя ря на единицу продукции составили:

платья – 7 ден. ед., костюмы – 28 ден. ед. Цена реализации составляет

15 и 50 ден. ед. соответственно. По данным наблюдений за несколько

предыдущ х лет, ф рма может реализовать в условиях тёплой погоды

1950 платьев и 610 костюмов, а при прохладной погоде – 630 платьев

и 1050 костюмов.

В связи с возможными изменениями погоды определить

стратегию

фирмы в

выпуске продукции, обеспечивающую

ей

Д

максимальный доход от реализации продукции. Задачу решить

графическим методом и с использованием критериев оптимизма,

приняв степень оптимизма 0,5.

Ответ. Оптимальная стратегия фирмы

X (0,53;0,47), а

максимальный доход 18266,4 ден. ед.

И

Пример 3

Пользуясь различными критериями оптимальности, определить,

какая стратегия в результате решения игры рекомендовалась чаще

всего. Платёжная матрица игры

5

3

6

8

7

4

5

5

4

8

1

7

1

3

1

10

0

2

.

9

9

7

1

3

6