2.5. Решение игры в доминирующих стратегиях

Дадим общее определение доминирования стратегий. Говорят,

что стратегия l

доминирует стратегию k для 1-го участника, если для

всех

значений

j 1,2,...,n справедливы неравенства alj akj и хотя

бы для одного значения j неравенство является строгим.

Аналогично говорят, что стратегия l

доминирует стратегию k

для 2-го участн ка, если для всех значений i 1,2,...,m справедливы

неравенства

ail

alk

хотя бы для одного значения i неравенство

является строг

м.

СТеорема. Пусть в платёжной матрице P строки i1,i2,...,ik

руются. Тогда

грок A имеет такую оптимальную стратегию

X ,

образом

Кроме того, все

в которой вероятности

x ... x 0.

i

i

k

1

оптимальные

стратег

, найденные для

игры,

полученной после

доминудален я дом н руемых стратегий, являются также оптимальными

стратег ями

для первоначальной игры.

Теорема справедл ва и для доминируемых столбцов.

Таким

,

при

решении

игры, в которой есть

доминируемые стратегии, надо просто уменьшить платёжную

матрицу, вычеркнув из неё строки и столбцы, соответствующие

доминируемым стратегиям.

При этом цена игры с сокращённой

Д

матрицей равна цене исходной игры.

Кроме того, в решении

исходной игры вероятностиАдоминируемых стратегий равны нулю, а

все остальные совпадают с соответствующими вероятностями

сокращённой игры.

Вычёркивание доминируемых стратегий называется редукцией

И

3 1 4

2

2 3

2

P 2

.

7 2

8

ли

1

и

верхнюю цены

игры

СРешен е. Наход м нижнюю

max( 1,2,1) 2; min(3,7,4,8) 3; ; 2 3.

Игра не

меет

седловой

точки

и

не решается в

чистых

стратег ях.

Провер м,

можно

уменьшит размерность матрицы.

Второй

соперника 2-я стратегия для него оказывается лучше или не хуже, чем

4-я. В таких случаях говорят, что 2-я стратегия доминирует над 4-й.

Следовательно, 4-ю стратегию 2-й участник может вычеркнуть.

Продолжая рассуждения и сравнивая 1-ю и 3-ю стратегии второго

игрока, можнобАувидеть, что элементы 3-го столбца

соответствующих элементов 1-го столбца. Следовательно, 3-ю

стратегию 2-й участник может тоже исключить. В результате

преобразований платёжная матрица примет следующий вид:

3 14 2

И

Д3 1 4 3 1

P 2 2 3 2 2 2 3 2

2 .

1 7 2 8

1 7 2

1 7 3 2

С

7

6

5

4

2

4 3

2

3

5

.

P

5

6

6

3 5

2

3

3

2

4

имеет

и

верхнюю

цены

игры

Решен е.

Наход м

нижнюю

max(2,2,3,2) 3;

min(7,6,6,4,5) 4; ;

3 4.

Игра

не

седловой точки и не решается в чистых стратегиях. Все

элементы второй строки соответствующих элементов третьей

бА.

строки, т.е. стратег я

A2

заведомо невыгодна для первого игрока и её

можно

сключ ть. Аналогично все элементы четвёртой строки

соответствующ х элементов четвёртой строки, исключаем стратегию

A4.

Для второго игрока: сравнивая стратегии B1

и B4, исключаем

B1; сравнивая B2

и B4, исключаем B2; сравнивая B3

и B4, исключаем

B3 . После всех прео разований получим матрицу меньшей

размерности

4

2

3

5 2 2

Применим аналитический метод решения игры размера 2 2.

Пусть оптимальные

смешанные

стратегии игроков

A

и

B

соответственно

равны

S

Для

A (Дp 1, p 2) и S B (q 1,q 2).

нахождения этих стратегий и цены игры составим и решим системы

уравнений (10), (11) любым способом:

4p

3p

;

4q

2q ;

1

2

1

2

;

И

2p1

5p2

3q1

5q2 ;

p

1;

q

1.

p

2

q

1

1

2

В результате получаем оптимальные стратегии игроков и цена

игры равны S (1

;

1

),

S

(3

; 1

4

), 7

.

A

2

2

B

4

2

числа,

то надо пр бав ть ко всем элементам матрицы одно и то же

полож тельное ч сло так, чтобы все элементы новой матрицы стали

неотрицательными. Только после этого можно решать матричную

С

игру как задачу ЛП. Что ы вернуться в ответе к исходной матрице,

матричнуюРассмотр

игру

с

платёжной

матрицей

надо от найденной цены игры

отнять добавленное число.

бА

Покажем сначала, как сводится к ЗЛП игра, в которой все

элементы aij платежной матрицы P положительны.

P (aij),i 1,2,...,m; j 1,2,...,n.

Пусть матрица не имеет седловой

точки. Поэтому оптимальные стратегии следует искать во множестве

смешанных стратегий.

Обозначим

S A (p 1, p

2,..., p m)

–

оптимальная

стратегия

игрока

A;

S B (q 1,q

2,...,q n)

– оптимальная стратегия игрока

B,

m

n

Д

причём pi 1;

qj 1.

i 1

j 1

Пусть каждый игрок применил свою оптимальную стратегию,

тогда должны выполняться соответствующие условия

m

p*i ;1 j n

n

*j ;1 i m , где – цена игры.

aij

и aij q

i 1

j 1

Если обе части двух последних систем неравенств разделить на

*

x*j qj ;1 j n;

0

и

положить

yi pi ;1 i m,

то

n

1

m

1 .

И

x

и y

j 1 j

i 1

i

и

x

... a

x

1;

a

m1

x

a

m2

2

mn

n

1

x 0, x

2

0, ,

x

n

0

С1

и двойственную к ней задачу

бА

G y1 y2

... ym

min

,

a11y1 a21y2

... am1ym 1;

a

y

a

22

y

2

... a

m2

y

m

1;

12

1

a

y

a

2n

y

2

... a

mn

y

m

1;

1n

1

y 0, y

Д

1

2

m

По первой теореме двойственности обе задачи разрешимы, т.е.

имеют оптимальные

планы X (x ,x ,...,x )

и

Y (y

, y ,...,y )

1 2

n

1

2

m

И

соответственно, причем экстремальные значения целевых функций

F

Fmax и G

Gminсовпадают. Следовательно,

решив одну более

простую ЗЛП симплексным методом, найдём

F G x x

... x y

y

... y

1

.

1

2

n

1

2

m

Заменив обратно p y ;

q

x ,

найдём

оптимальные

i

i

j

j

, , q* .

смешанные стратегии игроков S

p*, p*, , p* ; S q*

, q*

С

A

1

2

m

B

1

2

n

Вывод. Чтобы найти оптимальное решение и цену игры с

положительной платёжной

матрицей

P (aij),

надо

по

матрице

Найти

трудоёмкую ( сходную или двойственную), а решение второй задачи

найти на основе опт мального плана первой задачи.

При решен

пользуются следующей теоремой.

Теорема. Если пара двойственных симметричных задач

бА

линейного программ рования имеет оптимальное решение, то имеет

решен е соответствующая матричная игра.

Пр мер 10.

решение и цену игры с матрицей

5

2

4

6

8

4

2

4

6

8

P 6

6

3

2

4

.

4

4

2

2

4

2

2

2

2

1

сначала стратегии

A5 и

B

И

, так как все элементы пятой строки и

первого столбца

1

удовлетворяютДнеравенствам A A и B B .

5

4

1

2

5

2

4

6

8

2

4 6 8 A1

2

4 6

A1

8 4

2 4 6

P

6 6

3 2 4

4

2 4 6 A2

P

4

2 4 A2

6

3 2 4 A3

6

3 2

A3

4 4

4 2 2

С

4

4 2 2 A4

4

4 2 A4

2

2

2

2

1

B2 B3 B4 B5

B2 B3 B4

Уменьшенная

матрица P

не имеет седловой

точки:

2;

ческим

4

. Так как размерность полученной матрицы равна (3 4), то её

нельзя реш ть

граф

или аналитическим методом. По

уменьшенной

матр це P(в которой

все элементы положительны)

бА

состав м задачу л нейного программирования.

F x2 x3 x4 max;

2x2 4x3 4x4 1;

4x2 2x3 4x4 1;

6x2 3x3 4x4 1;

4x

2

4x

3

2x

4

1;

x3

0,

x4 0.

x2 0,

Применим для её решения симплекс-метод.

T0

x2

x3

x4

T1

Д

S3 x3 x4

S1

2

4

6

1

S1

1/3

3

И

16/3 2/3

S2

4

2

4

1

S2

2/3

0

8/3 1/3

S3

6

3

2

1

x2

1/6

1/2

1/3 1/6

S4

4

4

2

1

S4

2/3

2

2/3 1/3

F

1

1

1

0

F

1/6

1/2

2/3 1/6

T2

S3

x3

S1

x4

1/16

9/16

3/16

1/8

S2

1/2

3/2

1/2

0

x2

9/48

5/16

1/3

С

1/8

S4

5/8

13/8

1/8

1/4

F

1/8

1/8

1/8

1/4

y3

y4

y1

T3

S3

S4

S1

y2

x4

1/26

S2

3/13

x2

1/13

и

2/13

x3

F

1/13

1/13

3/26

7/16

Здесь S1, S2 , S3, S4 –

алансовые переменные; в начальной

симплексной

та лице

T0 эти переменные

являются

базисными.

Д

Отметим, что ‹‹внутренняя›› часть

T0

совпадает с матрицей P. По

заключительнойбАтаблице T находим оптимальные значения

3

переменных и целевых функций взаимно двойственных задач,

соответствующих

матрице

P:

x

113;

x 2 13;

x 1 26;

y*

3 26; y*

2

3

4

0 (в таблице T

эта переменная двойственной задачи

1

2

3

1

свободная); y*

113; y* 113;

F* G*

7 26.

3

4

В

решении

исходной

игры с матрицей P вероятности

доминируемых чистых стратегий равны нулю: p*

q* q* 0, цена

5

1

5

игры

и

остальные вероятности

вычисляютсяИпо формулам:

1 F 26 7;

p1* y1 3 7;

p*2 y2 0;

p*3 y3 2 7;

p*

y 2 7; q*

x

2 7; q*

x 4 7; q*

x 1 7.

4

4

2

2

3

3

4

4

С

Пример 11. Найти решение и цену игры с матрицей

1

1

2

1

3

P 1

.

имеет

3

1

1

Решен е.

Игра

не

P

решений

в

чистых стратегиях, т.к.

1 1 .

Матр ца

размера 3 3

в данном примере не

бА

сокращается, т.к. в

гре

нет доминируемых

чистых стратегий

(сравн те

все

пары

строк

и все

пары столбцов матрицы). При

m n 3 2

граф ческий

метод

не применим, решение (в

смешанных стратег ях)

удем искать с помощью приведения игры к

задаче линейного программирования.

В отличие от примера 10, в котором все элементы платёжной

матрицы положительны, здесь 1 0. Поэтому ко всем элементам

матрицы

P надо при авить число

a, такое, чтобы все элементы

Д

матрицы стали неотрицательны, например,

a

2. В результате

получим матрицу

3

1

0

1

P1 1

5 .

1

5

3

И

При переходе от P к P1 решение игры не меняется, цены двух игр

связаны равенством 1 2. По матрице P1

составим ЗЛП и решим

эту задачу симплекс-методом:

T0

x1

x2

x3

T1

S1

x2

x3

S1

3

1

0

1

x1

1/3

1/3

0

1/3

S2

1

1

5

1 S2

1/3

2/3

5

2/3

S3

1

5

3

1

S3

1/3 14/3

3

2/3

F

1

1

1

0

F

1/3

2/3

1

1/3

T2

S1

x2

S2

(y1) (y3) (y2)

T3

S1

S3

S2

x1

1/3

1/3

0

1/3

x1

5/16

x3

1/15

2/15

1/5

2/15

1/8

S3

2/15

64/15

3/5

4/15

x3

x2

1/16

F

4/15

8/15

1/5

7/15

1

С

F

1/4

1/8

1/8

1/2

По заключ тельной таблице

T

находим:

x 5 16;

x

116;

3

1

1

2

x 1 8;

y

1 4;

y 1 8;

y 1 8;

F

*

G

*

1 2. Цена игры

3

1

2

3

1

2 2 2 0.

Вероятности

равны

p*

y

1

1 2;

бА

1

1

p* y

q*

x

1 8;

1

1 4;

p*

y

1

1 4;

q*

x

1

5 8;

1

2

2

3

3

1

1

2

2

*