Выделяя

в

«дополнительном» столбце

(строке)

наибольшее

(наименьшее) число, находим нижнюю цену 1 и верхнюю цену

игры 1.

В

данном случае получаем

равенство

1.

С

0,5

0,6 0,8

0,7

0,8

P 0,9

.

0,6

0,6

0,7

Имеет

гра седловую точку?

Решен е. Для удо ства проведём все расчёты в табл. 2, в

ли

которой введём платёжную матрицу, столбец i , состоящий из

минимальных элементов строк, и строку

j,

составленную из

максимальных элементов стол цов.

Таблица 2

Из табл. 2

найдём,

что нижняя и

B1

B2

B3

αi

верхняя цены

игры

соответственно

A1

0,5

0,6

0,8

0,5

равны

A2

0,9

0,7

0,8

0,7

max i max(0,5;0,7;0,6) 0,7;

A3

0,7

0,6

0,6

0,6

бА

βj

0,9

0,7

0,8

0,7

min j min(0,9;0,7;0/8) 0,7.

Значения 0,7 достигаются

на одной и той же паре стратегий (A2,B2). Следовательно, игра имеет

седловую точку (A2,B2)и цена игры

0,7.

Д

2.2. Решение игр в смешанных стратегиях

A ...A...A

SA

1

i m

p ...p ....p

1

i

m

или в в де строки SA (p1, p2,..., pm).

Аналог чно смешанные стратегии SB игрока B записываются в

виде матр цы

С

B ...B

...B

S

1

j

n

B

q ...q ....q

n

1

i

в в де строки SB (q1,q2,...,qn), где

n

qj

1.

или

j 1

Из определен я смешанной стратегии следует, что любая чистая

стратег я грока является смешанной, в которой все стратегии, кроме

бА

одной, имеют нулевые вероятности.

На основании принципа минимакса оптимальное решение игры

и – нижняя и верхняя цены игры.

И

Теорема Неймана. Каждая конечная игра имеет одно

оптимальное решение, возможно,Дсреди смешанных стратегий.

Пусть S A (p 1, p

2,..., p m) и S B (q 1,q

2,...,q n) – пара

вероятность

pi qj .

Таким образом,

процесс

игры можно

рассматривать как некоторое случайное испытание, исходами

которого будут ситуации игры.

Пусть

случайная

величина X –

ситуация

в смешанных

стратегиях.

Она принимает значения P (aij),i 1,2,...,m; j 1,2,...,n,

с соответствующ ми вероятностями (pi

qj),

i 1,2,...,m; j 1,2,...,n.

Найдём математ ческое ожидание случайной величины X :

m

n

СMX aij piqj .

(5)

i 1 j 1

Математ ческое ожидание

MX

называется

математическим

ем

вы грыша

игрока

A

или

математическим

ожиданием

ожидан

проигрыша

грокаB.

10

30

. Найти

Пр мер 4. Дана платёжная матрица игры P

20

математическое ожидание выигрыша игрока A.

40

Решение. Находим нижнюю и верхнюю цены игры:

max i max(10;20) 20,

min j min(40;30) 30.

Так

как ,

то

матрица

не

имеет

седловой

точки.

СледовательнобА, оптимальные стратегии надо искать во множестве

смешанных

стратегий.

Обозначим

SA (p1, p2)

–

смешанная

стратегия

игрока

A, где

p1 p2 1;

SB (q1,q2)

–

смешанная

стратегия игрокаB, где q1 q2

1. Найдём математическое ожидание

m

n

Д

выигрыша игрока A по формуле MX aij piqj

или распишем

i 1 j 1

MX a11 p1 q1 a12 p1 q2 a21 p2 q1 a22 p2 q2.

Определим

значения

вероятностей

p1 , p

,

при

которых

2

математическое ожидание выигрыша игрокаИA максимально, а также

MX 10p1q1

30p1q2 40p2q1 20p2q2

10p1q1 30(1 p1)q1

40(1 p1)q1

20(1 p1) (1 q1).

После группировки членов двумя способами можно записать

выражения

С

1

MX 40p

(q

) 20(q 1), с другой стороны,

1

1

4

1

MX 40q (p

1

) 10(p 2).

1

1

2

1

и

1

1

Анал з руя полученные формулы, делаем вывод, что при q

1

4

и

любых

значен ях

p1, p2 0

математическое

ожидание

MX

1

б

p

1

20(

1) 25.

Аналогично,

если

и

вероятности

4

1

2

q1,q2 0 пр

н мают лю ые значения, MX 10(

1) 25.

2

А

1

3

Таким

о разом,

если

SA

(

1

,

1

)

и

SB

(

,

),

то

2

2

4

4

математическое ожидание выигрыша игрока

A или математическое

ожидание проигрыша игрокаB

удет равно MX 25.

Вывод. Стратегия SA

(

1

,

1

) с выигрышем MX 25 для игрока

2

2

A является предпочтительнее получения достоверного выигрыша,

равного 20, хотя нельзя исключать получение самого малого

выигрыша, равного 10.

И

Платёжная функция u(p,q) игры в смешанных стратегиях

определяется как математическоеДожидание (среднее значение) этой

случайной величины и, следовательно, выражается формулой

m n

u(p,q) aij pi qj .

(6)

i 1j 1

Чистой стратегии

Ai

поставим в соответствие смешанную

стратегию p(i) (0,...,1,...,0),

где число 1 стоит на i-м месте, т.е. во

всех

партиях

применение

p(i) заключается в выборе

Ai

с

вероятностью 1. Аналогично связаны чистая стратегия

Bj

и

смешанная стратегия

q(i) =(0, …,1, …,0), где число 1 стоит на

j-м

m n

месте.

Из

формулы

u(p,q) aij pi qj

следует,

что

i 1j 1

u(p(i) ,q( j))=aij =u(Ai,Bj )

в

конечной игре и паре ( p(i) ,q( j)) в

её

смешанном расш рен

соответствует один и тот же результат. Это

С

означает, что ч стые стратегии можно считать частными случаями

гры,

но

соответствующие им смешанные стратегии, а

(i) (i)

исходной

вместо p

q

п

сать просто Ai и Bj. В этих обозначениях замена

p на p(i) = (0, …,1, …,0) в формуле (6) запишется в виде

n

u(Ai,q) aij

qj,1 i m.

(7)

j 1

Аналогично получаем

бА

m

(8)

u(p,Bj) aij pi,1 j n.

i 1

Величины

u(Ai,q) и u(p,Bj)

представляют собой средние

Д

И

m

n

u(p,q) pi

u(Ai,q) qj u(p,Bj).

(9)

i 1

j 1

Величины

(p) minu(p,q) и (q)

maxu(p,q)

называются

гарантированным выигрышем стратегии

p и гарантированным

проигрышем стратегии q.

Числа

max(min u( p,q)) max ( p)

и

С

называются

нижней ценой и верхней

min (q) min(maxu(p,q))

ценой игры

в

смешанных стратегиях.

Стратегия p (стратегия q)

называется макс м нной (минимаксной), если (p) ; (q)

;

максим нные

минимаксные

стратегии

называются

ми

гарант рующ

.

В любой матр чной игре выполнены неравенства

.

бА

2.3. Анал т ческ й метод решения игры размера 2×2

Если

гра размера 2 2 имеет седловую точку, то оптимальное

смешанных стратегий S A (p 1, p

2)

и S B (q 1,q

2).

Пусть игра задана платёжной матрицей

a

a

11

12

P

,

a21

a22

а игроки

используют

свои

смешанные

стратегии

A

A

и

SA 1

2

Дp p

2

B

B

1

SB

1

q

2

q

2

.

1

Значение цены игры согласно формуле (6) можно записать так:

И

a

p q a

p

q

a

21

p

q a

22

p

q или

11

1

1

12

1

2

2

1

2

2

p (a q a

q ) p (a

21

q

a

22

q ).

1

11

1

12

2

2

1

2

a q

a q

;

11

1

12 2

;

(10)

a21q1

a22q2

q

1.

q

1

2

По

аналог

для

нахождения

оптимальной

стратегии

игрока

B надо реш ть с стему

оптимальныерешен я значение цены игры:

С

a11p1 a21p2 ;

;

(11)

a12 p1

a22 p2

p

1.

p

2

1

Пр меняя,

напр мер,

формулы

Крамера, получим искомые

a22

a21

a22 a12

p1

a

a

a

a

;

q1

;

22

a

a

22

a

a

21

11

12

21

11

12

a11

a12

a11 a21

p2

; q2

a

a

a

a

;

(12)

a

a

22

a

a

21

22

11

12

11

12

21

a22 a11 a12 a21

.

aбa a a А

11

22

12

21

Пример 5. Платёжная матрица имеет вид

P

1,5

3

И

Д

2

.

1

Найти оптимальное решение и цену игры.

Решение. Находим нижнюю и верхнюю цену игры:

max i max(1,5;1) 1,5; min j min(2;3) 2.

Следовательно, и игра не имеет седловой точки,

значит,

С

;

1.5q

3q

;

1.5p 2p

1

2

1

2

;

3p1 1 p2 ;

2q1

1 q2

p

1;

q

1.

p

2

q

1

1

2

В результате получаем оптимальные стратегии и цену игры:

S

S

(0,8;0,2); 1,8.

A (0,6;0,4);

B

бы

2.4. Граф ческое решение игр вида (2×n) и (m×2)

иГраф ческ й метод применяется для решения матричных игр, в

которых хотя

од н

грок имеет только две стратегии.

А

Решение игры размера

2 n

Пусть

. Рассмотрим частный случай – игру (2 3), которая

a

a

a

задается матрицей

11

12

13

a

a

a

.

21

22

23

Введём обозначения:

X x1,x2

•для

игрока

A:

–

смешанная

стратегия,

X* x1*,x2* – оптимальная смешанная стратегия игрока, где

x1,x2 0; x1 x2 1;

*

*

*

*

x 1,x 2Д0; x 1 x 2 1;

•для

игрока

B:

Y

* y

*,y

*,y

*

–

оптимальная

смешанная

3

1

2

3

стратегия,

1;

y

*

0;

j 1,2,3;

y

–

первая чистая стратегия,

y*

j

j

1

j 1

– третья чистаяИстратегия.

y2 – вторая чистая стратегия,

y3

Пусть игрок

A

применил свою смешанную стратегию X , а

M x a12x1

a22x2 a12x1 a22 1 x1 a12 a22 x1 a22.

С

A применил свою смешанную стратегию X , а

Пусть игрок

игрок B – свою третью чистую стратегию.

Математ ческое ожидание выигрыша игрока A находится по

длины

формуле

M x a13x1 a23x2 a13x1 a23 1 x1 a13 a23 x1 a23.

бА

В декартовой с стеме координат откладываем по оси абсцисс

отрезок ед н чной

. Левый конец отрезка соответствует

стратег

A1, правый – стратегии A2 .

Построим прямые:

y a11 a21 x1 a21;

a12 a22 x1 a22;

y

Д

y

a

a

23

x a

23

.

13

1

Рис. 1

Ломаная,

полученная

при

И

построении прямых

1 ,

2 , 3

(рис. 1), определяет нижнюю границу математического ожидания

выигрыша игрока A.

x*; .

Точка M с наибольшей ординатой имеет координаты M

1

1

На рис. 1

точка

M находится на пересечении прямых

и 2 ,

поэтому её координаты находим, решив систему уравнений 1

и 2 .

Выявим активные стратегии игрока B.

Это будут первая и вторая,

соответствующие

прямым

1 и

2 ,

а третья чистая

стратегия

С

a

a

a

a

a

11

12

13

11

12

.

a21

a22

a23

a21

a22

В

тоге получ ли

игру размера (2 2), которую можно решить

аналит ческ м методом, рассмотренным выше.

матрицей

игры,

Пр мер 6. Найти оптимальное решение и значение цены

заданной платёжной

2

3

1

5

.

4

1

6

0

бА

Решен е.

1. Дана матр ца

гры

(2 4), т.е. игрок

I имеет

две чистые

стратег

,

а грок