1476

1. 1/8 моля. 2. 1/4 моля. 3. 4 моля. 4. 8 молей. 5. 2 моля.

2. Молекула кислорода летит со скоростью перпендикулярно к стенке сосуда. Чему равен вектор изменения импульса молекулы?

1. 0. 2. m . 3. 2m . 4. 2m . 5. m .

3. Молекулы каких газов (кислорода, водорода или азота), находящиеся в воздухе комнаты, движутся быстрее?

1. Водород. 2. Кислород. 3. Азот. 4. Скорости всех газов одинаковы. 5. Соотношение между скоростями газов определяется их концентрацией в комнате.

4. На рис. 12 показаны графики функции распределения молекул газа по скоростям f( ) при различных температурах Т1, Т2, Т3. Каково соотношение между температурами?

1. Т1 Т2 Т3. 2. Т2 Т3 Т1. 3. Т3 Т1 Т2. 4. Т3 Т2 Т1. 5. Т1 = Т2 = Т3.

Рис. 12

5. Как изменится температура идеального газа, если уменьшить его объем в 2 раза при осуществлении процесса, описываемого формулой pV2 = const? (p – давление газа; V – его объем).

1. Уменьшится в 2 раза. 2. Уменьшится в 4 раза. 3. Не изменится. 4. Увеличится в 2 раза. 5. Увеличится в 4 раза.

Примеры решения задач

Задача 5.1

Для дальней космической связи используется спутник объемом V = 1000 м3 , наполненный воздухом, находящимся при нормальных условиях. Метеорит пробил в корпусе отверстие площадью s = 1 см2 .

30

Оцените время t , через которое давление внутри спутника изменится на 1 %. Температуру газа считать неизменной.

Решение.

Определим первоначальное число молекул воздуха в спутнике N:

N = nV, (25)

где n – концентрация молекул в спутнике.

Давление газа p определяется его концентрацией n и температурой T:

По условию задачи давление внутри спутника упало на 1 % (0,01), следовательно, через пробоину в космос вылетело число молекул ∆N, равное

Теперь для ответа на вопрос задачи необходимо определить, сколько молекул ударяет об участок стенки площадью s за единицу времени. (Действительно, ведь все «ударившиеся» молекулы вылетят через отверстие. В этом рассуждении мы считаем толщину стенки спутника малой по сравнению с длиной свободного пробега молекул. Мы не учитываем, что часть молекул в процессе вылета через отверстие может столкнуться с другими молекулами, изменить направление своего движения и вернуться в спутник.)

Выделим вблизи отверстия элемент объема ∆V – параллелепипед площадью s и высотой ∆h.

За время ∆t половина всех молекул, находящихся в этом объеме, покинут спутник. Почему половина? Не забывайте, что молекулы движутся хаотически и, следовательно, в среднем половина всех мо-

31

лекул движется к отверстию, а половина – от отверстия. Таким образом, число молекул Ζ, вылетевших за время ∆t, равно

Среднеквадратичная скорость теплового движения молекул связана с температурой:

где m0 – масса молекулы;

k – постоянная Больцмана.

где М – молярная масса воздуха;

32

NA – число Авогадро.

Из соотношений (33) – (35) имеем

RT

x M ,

где R = kNA – универсальная газовая постоянная. Подставим полученный результат в соотношение (32). Тогда

Ответ: t = 70 c .

Задача 5.2

Основываясь на представлениях молекулярно-кинетической теории, оцените давление и температуру внутри Солнца. Масса Солнца mc = 2·10 30 кг, его радиус Rc = 7·108 м. В расчетах можно принять, что Солнце в основном состоит из атомарного водорода.

Решение.

Согласно молекулярно-кинетической теории давление газа p связано с его температурой Т и концентрацией молекул n соотношением

p = nkΤ,

где k – постоянная Больцмана. Тогда

делить температуру на расстоянии Rc от центра Солнца (рис. 14).

2

Концентрацию атомов приближенно примем равной среднему значению для Солнца:

n = N ,

V

где N – число атомов водорода; V – объем Солнца.

N = mc , m0

массы атомарного водорода М = 0,001 кг/моль к числу Авогадро NА.

V4 Rc3 .

3

Таким образом, концентрация равна

где – средняя плотность вещества;

g – среднее значение ускорения свободного падения.

Среднюю плотность определим как отношение массы Солнца к

Среднее значение ускорения вычислим следующим образом. Известно, что на поверхности шара радиусом r и массой m ускорение свободного падения g равно

g Gm , r2

где G – гравитационная постоянная.

Если в нашем расчете в качестве среднего значения ускорения свободного падения принять значение ускорения свободного падения на расстоянии 3/4 Rc от центра Солнца, то

r = 3/4Rc.

34

Объем шара такого радиуса составляет (3/4)3 от объема всего Солнца, а масса шара m равна (при условии, что плотность вещества

постоянна)

m = (3/4)3 mc.

Таким образом,

Атмосферное давление, как известно, 105 Па; следовательно, дав-

ление в недрах Солнца составляет миллиарды атмосферных давлений!

Теперь оценим температуру.

То есть температура составляет десятки миллионов кельвин!

При всем оценочном характере расчетов нами получены значения, которые по порядку величины соответствуют тем, что получены

путем более строгих вычислений.

Ответ: p = 1014 Па; Τ = 107 К.

Задача 5.3

На поверхности Венеры температура Т и атмосферное давление p соответственно равны: Т = 750 К и p = 9120 кПа. Определите плот-

35

ность атмосферы у поверхности планеты, считая, что она состоит из углекислого газа.

Решение.

Выделим некоторый элемент атмосферы у поверхности планеты объемом V. Тогда масса газа m в выделенном объеме равна

m = ρV. (41)

В соответствии с уравнением Менделеева – Клайперона

Для сравнения: плотность воздуха при нормальных условиях составляет 1,3 кг/м3 .

Ответ: = 64 кг/м3.

Лекция 6

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ

К данной лекции студент должен

–знать закон сохранения энергии применительно к механическим процессам, уравнение Менделеева – Клапейрона;

–уметь применять формулы интегрального исчисления для расчета работы переменной силы.

План лекции

1.Внутренняя энергия макроскопического тела.

2.Работа газа.

3.Первое начало термодинамики.

4.Теплоемкость идеального газа.

5.Адиабатный процесс. Уравнение Пуассона.

6.Принцип действия тепловых двигателей. КПД.

7.Необратимость тепловых процессов. Энтропия.

8.Примеры решения задач.

36

Литература

-С. 99 – 101. §50. Число степеней свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии по степени свободы молекулы.

-С. 102 – 103. § 52. Работа газа при изменении его объема.

-С. 101 – 102. § 51.Первое начало термодинамики.

-С. 105 – 106. §54. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам.

-С. 106 – 107. §55 (часть). Адиабатный процесс.

-С. 103 – 104. §53. Теплоемкость.

-С. 113 – 115. § 59. Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно и его КПД для идеального газа.

-С. 108 – 109. §56. Обратимые и необратимые процессы. Круговой процесс (цикл).

-С.109 – 110. §57(часть). Энтропия, ее статистическое толкование и связь с термодинамической вероятностью.

Вопросы для самоконтроля

1.Почему внутренняя энергия идеального газа не зависит от объема? от каких физических параметров она зависит?

2.Моль идеального газа, находящийся при температуре 300 К, изотермически увеличивает объем в 2 раза. Чему равна работа газа? Какое количество теплоты было передано газу при этом?

3.Может ли теплоемкость идеального газа быть равной нулю? отрицательной?

4.Каков принцип действия двигателя внутреннего сгорания системы Дизеля?

5.Что такое энтропия? Как связаны между собой энтропия системы и термодинамическая вероятность? В каком направлении может изменяться энтропия замкнутой системы? незамкнутой системы?

Тест

1. Как изменяется внутренняя энергия идеального газа при изотермическом сжатии?

1. Увеличивается. 2. Уменьшается. 3. Не изменяется. 4. Вначале увеличивается, а затем уменьшается. 5. Вначале уменьшается, а затем увеличивается.

37

2. Какое количество теплоты нужно передать двум молям одноатомного идеального газа, чтобы изобарно увеличить его объем в 3 раза? Начальная температура газа Т0.

1. RT0. 2. 3RT0. 3. 5RT0. 4. 6RT0. 5. 10RT0.

3. Какие из перечисленных ниже механизмов являются неотъемлемыми частями любого теплового двигателя?

1. Турбина. 2. Холодильник. 3. Цилиндр. 4. Поршень. 5. Маховик.

4. Температуру нагревателя и холодильника теплового двигателя понизили на одинаковое количество градусов. Как изменится при этом КПД двигателя?

1. Увеличится. 2. Уменьшится. 3. Не изменится.

4.При понижении на четное количество градусов КПД уменьшится.

5.При понижении на нечетное количество градусов КПД уменьшится.

5. Энтропия системы S и термодинамическая вероятность W связаны между собой следующим образом (k – постоянная Больцмана).

Примеры решения задач

Задача 6.1

Один моль идеального газа изотермически расширяется так, что объем увеличивается вдвое. Определите работу, совершаемую газом при его расширении. Температура газа Т = 300 К.

Решение.

Пусть давление газа p. При малом изменении объема dV газа им совершается работа dA, равная

Полную работу газа, совершаемую им при расширении от объема V1 до объема V2, определим, интегрируя формулу (43):

V2

A = pdV.

V1

38

Давление газа выразим через уравнение Менделеева – Клапейро-

на:

pV m RT , M

где m – масса газа;

М – молярная масса газа;

R – универсальная газовая постоянная.

По условию задачи,

m 1моль ;

M

V2 2.

V1

Таким образом,

А= RT ln 2;

А= 8,31.300.0,69 = 1700 (Дж).

Ответ: А = 1700 Дж.

Задача 6.2

Определите, какая связь между объемом и температурой для случая одноатомного идеального газа при адиабатном процессе.

Решение.

Первый закон термодинамики устанавливает связь между количеством теплоты Q, переданной газу, изменением его внутренней энергии ∆U и работой А, совершенной газом:

Q = ∆U + А.

Для элементарного процесса (т.е. при малом изменении параметров термодинамической системы) в случае адиабатного процесса для 1 моля одноатомного газа имеем

где R – универсальная газовая постоянная; dT – изменение температуры газа;

p – давление газа;

dV – изменение объема газа.

39