1476

При движении тела по криволинейной траектории полное ускорение тела а равно сумме центростремительного (нормального) ац и касательного (тангенциального) акас ускорений.

а = ац + акас .

При движении камня горизонтальная составляющая скорости υx не изменяется.

x 0 cos .

Вертикальная составляющая скорости изменяется, в верхней точке траектории она равна нулю.

υy = 0.

Центростремительное ускорение ац перпендикулярно скорости υ. Значит, в верхней точке траектории вектор ац направлен вертикаль-

но вниз. Касательное ускорение акас в этом случае равно нулю. Таким образом,

ац g .

С другой стороны,

aц х2 .

R

Ответ: R = 20 м.

Лекция 2

ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

К данной лекции студент должен

–знать, что изучает механика;

–уметь применять элементарные формулы дифференциального и интегрального исчислений.

10

План лекции

1.Развитие представлений о пространстве-времени: Аристотель, Евклид, Галилей, Ньютон, Эйнштейн.

2.Законы Ньютона.

2.1.Первый закон Ньютона.

2.2.Второй закон Ньютона. Сила и импульс.

2.3.Третий закон Ньютона.

2.4.Алгоритм применения законов Ньютона для решения задач.

3.Силы в механике.

3.1. Сила тяготения. 3.2.Сила упругости. 3.3.Сила трения.

4.Законы сохранения.

4.1.Закон сохранения импульса.

4.2.Энергия. Закон сохранения энергии.

5.Механическая работа и мощность.

6.Примеры решения задач.

Литература

-С.14 – 15. §5. Первый закон Ньютона. Масса. Сила.

-С.15 – 17. §6. Второй закон Ньютона.

-С.17. §7. Третий закон Ньютона.

-С. 46 – 48. §22. Законы Кеплера. Закон всемирного тяготения.

-С. 48 – 49. §23. Сила тяжести и вес. Невесомость.

-С. 42 – 45. §21. Деформация твердого тела.

-С. 17 – 19. §8. Сила трения.

-С. 19 – 21. §9. Закон сохранения импульса. Центр масс.

-С. 23 – 24. §11. Энергия, работа, мощность.

-С. 24 – 27. §12. Кинетическая и потенциальная энергии.

-С. 27 – 29. §13. Законы сохранения механической энергии.

Вопросы для самоконтроля

1. Сравните взгляды Ньютона и Эйнштейна на пространствовремя.

2. Пусть равнодействующая сила, действующая на тело, равна нулю (F = 0). Тогда, в соответствии со вторым законом Ньютона (F ma ), ускорение тела равно нулю (a= 0). Следовательно, скорость

ждать, что из рассматриваемого примера вытекает первый закон Ньютона?

3. При прямолинейном движении тела массой m = 2 кг его импульс р изменяется с течением времени t по закону p t 20 2t 4t2(кг·м/с). Вычислите:

-силу, действующую на тело в момент времени t = 2 с;

-ускорение тела в момент времени t = 1 с;

-кинетическую энергию тела в момент времени t = 3 с;

-работу, совершенную внешними силами над телом, в интервале времени от t1 = 2 с до t2 = 3 с;

-среднюю мощность внешних сил, действующих на тело, за указанный интервал времени.

4.При абсолютно упругом ударе шар отражается так, как показано на рис. 4. Изменяется ли при ударе импульс шара и если да, то чему равно изменение импульса тела? Начальный импульс

она поднимается на высоту, равную радиусу Земли. Во сколько раз изменяется потенциальная энергия ракеты? При достижении указанной высоты масса ракеты меньше первоначальной в 2 раза (за счет расхода ракетного топлива).

Тест

1. Скорость тела, движущегося прямолинейно, изменяется с течением времени t так, как это показано на рис. 5. В какой интервал времени на тело действует наиболь-

шая по модулю сила?

1. От t1 до t2. 2. От t2 до t3. 3. От t3 до t4. 4. От t4 до t5. 5. От t5 до t6 .

2. На материальную точку массой m действуют две силы – F1 и F2, угол между которыми равен 90 . Чему равен модуль ускорения a тела?

Рис. 5 12

4. a F1 F2 . 5. a F12 F22 . m m

3. При сжатии пружины амортизатора возникает сила упругости F x , зависящая от сжатия х пружины и направленная противоположно деформации. Как вычислить работу силы упругости при сжатии пружины от х1 до х2?

4. Кинетическая энергия Е поступательно движущегося тела за-

5. Скорость частицы увеличивается от 3с до 4 с, где с – скорость

5 5

света. Во сколько раз увеличивается при этом кинетическая энергия частицы?

Примеры решения задач

Задача 2.1

Искусственный спутник движется по окружности в плоскости земного экватора, оставаясь все время над одним и тем же пунктом земной поверхности. Определите угловую скорость и высоту спутника h . Радиус Земли R3 = 6370 км.

Решение.

Спутник, описанный в задаче, называют геостационарным. Такого типа спутники весьма удобны для осуществления радио- и телевизионной связи (так как спутник «висит» над одной точкой земной

13

h 3 9,81 6,37 106 2 6,37 106;

7,3 10 5 2

h 36 106 м ; h 36000 км .

Ответ: h = 36000 км.

Задача 2.2

Пуля, летящая горизонтально, попадает в маятник, подвешенный на нити, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы маятника. Расстояние от точки подвеса до центра маятника L = 1,0 м. Определите скорость пули, если известно, что нить подвеса с маятником отклонилась от удара на угол 100.

Решение.

Рассмотрим систему «пуля–маятник». Изменение импульса системы рсист,происходящее за время t , связано с внешними силами F , действующими на систему, соотношением

рсист=F t .

Какие внешние силы действуют на систему? Это сила тяжести mg (m – масса пули), сила тяжести Mg (M – масса маятника) и сила реакции N , действующая на маятник со стороны нити. За малое время удара t маятник не успевает сместиться, значит, сила N будет на-

где u – скорость, с которой маятник движется после удара пули;– скорость пули.

15

Из соотношения (7) имеем

m M u; m

Для определения скорости u воспользуемся законом сохранения механической энергии. Примем первоначальное положение по вертикали за начало отсчета, т.е. будем считать начальную потенциальную энергию системы равной нулю. При отклонении маятника на угол α маятник поднимется до высоты h, и в этот момент кинетическая энергия маятника будет равна нулю.

Таким образом,

Легко видеть, что

h = L – Lcosα; h = L(1 – cosα);

h = 2L sin2 .

2

Подставим полученный результат в соотношение (9):

u 2 gLsin . 2

С учетом соотношения (8) окончательно имеем

Ответ: = 550 м/с.

После решения задачи возникает вопрос: «Нельзя ли было для нахождения скорости пули приравнять ее кинетическую энергию к потенциальной энергии маятника, поднятого на высоту h?» Нет, такой подход не верен. При попадании пули маятник нагревается, часть кинетической энергии пули переходит во внутреннюю энергию маятника. Таким образом, только некоторая часть кинетической энергии пули идет на увеличение потенциальной энергии маятника.

16

Задача 2.3

Тело массой m = 3 кг движется со скоростью = 4 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар абсолютно неупругим, найдите количество теплоты Q, выделившееся при ударе.

Решение.

Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Обозначим скорость движения шаров после столкновения через u и запишем закон сохранения импульса (скорости шаров после удара одинаковы).

m = 2mu .

Отсюда

u = . 2

Кинетическая энергия шаров Ек после столкновения равна

Начальная кинетическая энергия системы Ек0 равна

m 2

Ек0 2 .

В соответствии с законом сохранения энергии количество теплоты Q, выделившееся при ударе:

Q = Еко – Ек ;

Q m 2 m 2 ; 2 4

Q m 2 ; 4

Q = 12 Дж.

Ответ: Q = 12 Дж.

Лекция 3

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

К данной лекции студент должен

– знать основные понятия динамики поступательного движения;

17

– уметь применять законы Ньютона и законы сохранения импульса и механической энергии для анализа простейших случаев поступательного движения тела (системы тел).

План лекции

1.Момент силы.

2.Вращение твердого тела относительно неподвижной оси. Момент инерции. Теорема Штейнера.

3.Основной закон динамики вращательного движения.

4.Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

5.Кинетическая энергия тела при вращательном движении.

6.Сравнение величин, характеризующих поступательное и вращательное движения.

7.Примеры решения задач.

Литература

-С. 37 – 38. §18 (часть). Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

-С. 34 – 36. §16. Момент инерции.

-С. 37 – 38. §18 (часть). Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

-С. 38 – 40. §19. Момент импульса и закон его сохранения.

-С. 36 – 37. §16. Кинетическая энергия вращения.

3.Обоснуйте второй закон Кеплера: «Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени «заметает» равные площади».

4.Сформулируйте теорему Штейнера. Используя данную теорему, определите момент инерции диска массой m и диаметром d относительно оси, проходящей через край диска и перпендикулярной плоскости диска.

18

5.Стальной шарик радиусом 5 см вращается относительно неподвижной оси, проходящей через центр шарика, делая 10 оборотов в секунду. Вычислите кинетическую энергию шарика.

Тест

1. На рис. 8 изображено тело, к которому приложены три силы F1, F2 , F3, равные по модулю. Каково соотношение между моментами данных сил М1, М2, М3 соответственно относительно точки О?

1.М3 М2 М1.

2.М2 М1 М3.

3.М1 М2 М3.

4.М1 = М2 = М3.

5.М2 М3 М1.

Рис. 8

2. Как изменится момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр шара, при увеличении диаметра шара в 2 раза?

1. Увеличится в 2 раза. 2. Увеличится в 22 раза. 3. Увеличится в 23 раза. 4. Увеличится в 24 раза. 5. Увеличится в 25 раза.

3. К телу, закрепленному на неподвижной оси, приложены силы, момент которых относительно данной оси равен М. Момент инерции тела относительно данной оси составляет I. Чему равно угловое ускорение тела ?

4. Фигуристка, вращаясь на льду, выбрасывает руки в стороны и после этого частота ее вращения уменьшается. Какой физический закон объясняет наблюдаемое явление?

1. Закон сохранения механической энергии. 2. Закон сохранения импульса. 3. Закон сохранения момента импульса. 4. Закон сохранения массы. 5. Наблюдаемое явление не имеет научного объяснения.

5. Период вращения маховика уменьшился в 3 раза. Как изменилась кинетическая энергия маховика?

19