1364
.pdf
|
10,125 |
5 |
6 |
|
13,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8,4375 |
|
1 |
3 |
2,66 |
4 |
|
6,75 |
|
|
|
|
|
|
|
1,33 |
|
|
9 |
7,5 |
|
|
MF |
|
|
|
2 |
2,66 |
|
|
7 |
|
Рис. 11
4. Определение коэффициентов и свободных членов системы
канонических уравнений
Коэффициенты и свободные члены определяются статическим способом, который основан на использовании равновесия узлов рамы или отдельных ее частей.
4.1. Коэффициенты r11,r12,r13,R1F
Эти коэффициенты представляют собой реактивные моменты в первой связи (первый индекс), от поворота первой и второй связи на единичные узлы, линейного смещения третьей связи на единицу и внешней нагрузки (второй индекс).
Для определения коэффициента r11 вырезаем на эпюре M1 узел 3 и рассматриваем его равновесие (рис. 12).
r11
4i35
3i34
3
3i13
4i37
Рис.12
11
M3 0;
r11 3i34 4i37 i13 4i35 0; r11 6EJ (значения iij см. с. 8).
Для определения коэффициента r12 |
вырезаем на эпюре M2 узел 3 и |
рассматриваем равновесие узла 3 в состоянии 2 (рис.13): |
|
M3 0; |
|
r12 2i35 0; |
r12 EJ . |
Коэффициенты R1F и r13 определяем путем вырезания узла 3 из
эпюр Ms и MF (рис. 14 а, б).
r12
2i35
3
Рис. 13
|
R1F |
6i35 |
r13 |
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
2 |
3 |
13,5 |
6i35 |
||
|
|
4 |
|
2,66 |
|
|
|
|
а |
|
б |
|
Рис. 14 |
|
|
|
M3 |
0; |
|
|
r13 3i35 1,5i37 0; r13 0,75EJ ; |
||
R1F 2,66 13,5 0; R1F 10,83 кН.
12
4.2. Коэффициенты r21, r22, r23, R2F
Эти коэффициенты представляют собой реактивные моменты во второй связи от угловых и линейных смещений всех связей и от внешней нагрузки.
Коэффициент r21определяем путем вырезания узла 5 из эпюры M . На основании условия взаимности коэффициентов при неизвестных
rmn rnm можно принять r12 r21 EJ .
Коэффициент r22 - реактивный момент во второй связи от поворота
ее на Z2 1, определяется путем вырезания узла 5 на эпюре M2(рис.
15).
r22
3i56
5
4i35
Рис. 15
M5 0;
r22 3i56 4i35 0; |
r22 4EJ . |
Коэффициент r23 - реактивный момент во второй связи от переме-
щения третьей связи на Z3 1. Он определяется вырезанием узла 5 на эпюре M3 (рис. 16).
r23
5
6i35
2
Рис. 16
M5 0;
r23 6i35 /2 0; |
r23 1,5EJ . |
13
Коэффициент R2F определяем путем вырезания узла 5 из эпюры
MF (рис. 17).
R2F
5
10,125
Рис. 17
M5 0;
R2F 10,125 0; |
R2F 10,125EJ . |
Примечание. Реактивные моменты направляются по часовой стрелке, а моменты, взятые из эпюры моментов, направляются так, чтобы они могли растягивать соответствующие волокна в элементе рамы у вырезанного узла.
4.3. Коэффициенты r31, r32, r33, R3F
Для определения реакций r31, r32, r33, R3F в эпюрах M1, M2, M3 и MF (рис. 5, 7, 9 и 11) вырежем область вокруг узлов 1 и 3 (рис. 18 а, б, в, г) и составим уравнения проекций сил на горизонтальную ось X .
Эти силы определяются как горизонтальные, полученные из эпюр моментов, и приведены в приложении в виде опорных реакций.
Положительными будем считать смещения, при которых узлы рамы сместятся вправо.
а) X 1,5EJ 0,75EJ r31 0; r31 0,75EJ ;
6i35 |
=1,5 EJ |
6i35 |
=1,5 EJ |
2 |
2 |
||
|
r31 |
|
r32 |
|
3 |
|
3 |
|
6i37 |
=0,75 EJ |
|
|
4 |
||
а |
б |
|
Рис. 18 (начало) |
14
б) X 1,5EJ r32 0; r32 1,5EJ ; |
|
|
||
12i35 |
=1,5 EJ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
R3F |
|
|
r33 |
|
|
1 |
3 |
1 |
|
3 |
|
|
3,75 |
4,0 |
|
3i12 |
=0,094 EJ |
12i37 =0,375 EJ |
|
|
42 |
в |
42 |
г |
|
|
Рис. 18 (окончание) |
|
||
|
|
|
|
|
в) X 1,5EJ 0,375EJ 0,094EJ r33 |
0; r33 |
1,969; |
||
г) X 3,75 4 R3F 0; R3F 0,25кН. |
|
|
||
Заметим, что r13 r31, r23 r32. |
|
|
||
5. Проверка коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений
Универсальная проверка коэффициентов канонических уравнений выполняется по формуле
M2s dx/EJ r ,
l
где r - сумма коэффициентов от единичного воздействия. Эпюра Ms умножается сама на себя способом перемножения эпюр (способ Верещагина).
Эпюры моментов элементов рамы 1-2, 1-3, 3-4, 5-6 перемножаются способом треугольника, а эпюры моментов элементов 3-5 и 3-7 – способом трапеции.
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 3 |
|
2 3 1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
MS dx/EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
1 |
|
2 3 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
2 8 |
|
|
3 8 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
1 3 |
2 |
1 |
2 |
4 4,52 2 4,52 |
4 |
|
2 1,252 2 0,252 |
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 1,25 0,25 |
|
|
|
|
|
|
18,369 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r r |
r |
r |
|
|
|
2 r |
r |
r |
|
|
1 |
6 4 1,969 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
22 |
|
33 |
|
|
|
12 |
13 |
23 |
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
21 0,75 1,5 18,469.
EJ
15
Сравнивая результаты, убеждаемся в том, что коэффициенты вычислены правильно. Незначительная погрешность в 0,5% - результат округления тысячных или десятитысячных знаков после запятой.
Для проверки свободных членов канонических уравнений используем формулу
M1F Ms dx /EJ RnF ,
l
где M1F - эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки в статически определимой системе, полученной из заданной удалением лишних связей, в том числе и тех, реакции которых принимались за основные неизвестные в методе перемещений. Рама пять раз статически неопределима.
Построим эпюру M1F в основной системе (рис. 19). Перемножение эпюр M1F и Ms необходимо выполнить по способу Верещагина, беря площади криволинейных эпюр моментов, а ординаты линейных эпюр под центрами тяжести криволинейных.
Участок 1-2. |
|
1 |
|
4 12 |
1 |
|
|
3 |
2,25. |
|
|
|
|
16 |
|
|
|||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q=3кН м |
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
F =18 |
кН |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
2,66 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F =12 |
кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
M1F |
|
7 |
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 19
16
Участок 1-3. Эпюру следует разбить на две: треугольник и квадрат-
1 |
1 |
|
2 |
|
3 63 |
1 |
|
1 |
35 13,5 21,5. |
|||
ную параболу: |
|
6 35 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
12 |
2 |
2 |
|||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
Участок 3-5. Коэффициент равен нулю, т.к. на эпюре Ms имеются кососимметричные треугольники.
Участок 3-7. Эта эпюра разбивается на треугольник и квадратную параболу:
1 |
8 4 |
1 |
0,0833 |
1 |
8 4 |
1 |
0,833 10,666 |
1 |
0,625 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|||||
|
|
2 |
2 |
|
|||||
10,666 1 0,125 3,331. 2
Участок 5-6. Эпюры перемножаются по правилу трапеций:
|
1,5 |
2 2 27 1 27 16,875. |
|
||
|
6 2EJ |
|
Сумма всех значений от перемножения эпюр:
2,25 21,5 3,331 16,875 0,956.
Сумма свободных членов RnF 10,83 10,125 0,25 0,955. Сравнение результатов показывает, что коэффициенты определены
верно.
6. Решение системы канонических уравнений
Подставив в систему канонических уравнений значения коэффициентов и свободных членов при делении каждого уравнения на EJ , получим:
6Z1 Z2 0,75Z3 10,83/EJ ;
Z1 4Z2 1,5Z3 10,125/EJ ;
0,75Z1 1,5Z2 1,969 0,25/EJ .
Решение этой системы дает Z1 2,174/EJ ; Z2 3,936/EJ ;
Z3 2,296/EJ .
Знаки у первой и третьей единичных эпюр изменятся на обратные, т.к. Z1 и Z2 имеют отрицательные значения.
17
7. Построение суммарной эпюры изгибающих моментов
Ординаты суммарной эпюры изгибающих моментов вычисляют по формуле:
M M1F M1 Z1 M2 Z2 M3 Z3.
Для наглядности вычислений изобразим эпюры, полученные умножением единичных эпюр на значения соответствующих неизвестных
(рис. 20).
1
2
1
2
4,348
M Z
1 1
4,348
а
7,872
M Z
2 2
2,174 
6
5
2,174 
4 
4,348 
7
5
|
6 |
|
7,872 |
3 |
4 |
|
3,936 |
7
б
Рис. 20 (начало)
18
5 |
|
3,444 |
|
|
6 |
3,444 |
|
|
1 |
3 |
4 |
1,722 |
|
|
0,861 |
M Z |
3 |
1,722 |
3 |
|||
2 |
|
|
7 |
в
Рис. 20 (окончание)
Просуммировав ординаты эпюр |
M1 Z1; M2 Z2 ; |
M3 Z3 с соот- |
ветствующими ординатами эпюры |
MF (см. рис. 11), |
получим резуль- |
тирующую эпюру моментов M (рис. 21).
|
2,253 |
|
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
12,359 |
|
|
|
11,320 |
|
1 |
3 |
2,171 |
4 |
7,837 |
3,856 |
5,286 |
|
7,931 |
0,243 |
|
|
M |
|
2,208 |
|
8,139 |
|
|
|
2 |
7 |
|
|
Рис. 21
19
8.Проверка эпюры изгибающих моментов
8.1. Статическая проверка
Статическая проверка в методе перемещений, в отличие от аналогичной проверки в методе сил, дает вполне надежную гарантию правильности решения задачи, но при условии, что исходные единичные и грузовая эпюры построены правильно.
Проверим равновесие узлов рамы (рис. 22).
|
|
3,856 |
5 |
11,326 |
3 |
|
2,174 |
|
2,253 |
2,253 |
|
5,286 |
|
|
|
|
|
а |
Рис. 22 |
б |
|
|
Узел 5 (рис. 22, а): M5 2,253 2,253 0.
Узел 3 (рис. 22, б): M3 2,174 5,286 11,326 3,856 0.
Погрешности нет, поэтому можно считать, что узлы рамы находятся в равновесии. Если нет уверенности в правильности построения исходных эпюр, то помимо статической проверки необходимо выполнить деформационную проверку.
8.2. Деформационная проверка
Отбросив в заданной системе лишние связи, получим основную систему (метод сил) и убедимся в отсутствии перемещений в направлении отброшенных связей, т.е. проверим, выполняется ли равенство
Mi M dx 0, l EJ
где Mi – эпюра от единичного воздействия в методе сил. Основная система показана на рис. 23.
20