7. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1337.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Условие устойчивости системы заключается в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров.

								Критерий устойчивости САР четвертого порядка
		Характеристическое уравнение четвертого порядка:
С											a			4 a 3 a												2	a a								4	0 .						(32)
												0						1							2					3					4
		Определитель Гурвица:
и0																					a1				a3		0				0
																					a1				a3		0				0
																						2			a2		a4				0		;									(33)
															4						a0				a2		a4				0		;									(33)
																					0				a1		a3				0
																					0				a0		a2				a4
																					1			a1			0			;												(34)
								б
													2			a1					a3			a			a		2		a	0		a		3	0	;				(35)
																a					a
			a1				a3		0				a2				a4							a0			0											2 a	a2 a		0 ; (36)
			a				a		a	a			a2				a4			a				a0			0				a a a						a	2 a	a2 a		0 ; (36)
	3				0			2	4		1								А																				3 0
	3				0			2	4		1		a a										3		0 a						1 2 3 1 4								3 0
			0				a1		a3						1			3										3
							a1		a3		0				0
							a0		a2		a4				0		a									a a a a								a2a2				a a2a			0	. (37)
				4			0 a1				a3				0						4			Д
				4			0 a1				a3				0						4				3		1 2 3 4										1 4		0 3 4
							0		a0		a2				a4
						7. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА
		Для					исследования										системы									на					устойчивость								по	критерию

Михайлова необходимо составить передаточную функцию разомкнутой системы и подставить в нее численные значения коэффициентов:

		c pn c pn 1		... c		p c
	0		1		Иn 1 n
WРАЗ( p)		b	pn b pn 1	... b		p b	.	(38)
	0		1		n 1	n
Характеристическое уравнение замкнутой системы:
a n a n 1 .... a				1	a 0 0 ,			(39)
0	1		n 1		n

где a0 b0 c0;a1 b1 c1;...;an 1 bn 1 cn 1;an bn cn .

Для перехода к частотной форме записи характеристического уравнения делается следующая подстановка: i .

D(i ) U D ( ) i VD ( ) ,

(40)

где U D ( )	– действительная часть комплексного числа, полученная
из слагаемых уравнения (40), содержащих четные степени λ; i VD ( )
– мнимая	часть комплексного числа, получаенная из слагаемых

уравнения (40), содержащих нечетные степени λ; i

– мнимая

единица.

Правило построения годографа

Задавая значен

частот

0 , вычисляются

значения

U D ( )

i VD ( ) .

На

комплексной

плоскости строится

годограф

Михайлова (р с. 9).

СФормулировка критерия Михайлова

истема устойч ва,

если годограф начинается на положительной

действ тельной полуоси

оги ает против часовой стрелки начало

коорд нат, проходя последовательно n квадрантов, где n – порядок

характер

ст ческого

уравнения

Рис. 9. Годограф Михайлова

Пример.

WРАЗ( p)

;

0,1 p4 2 p3

11 p2 23p 1

0,1 4 2 3

11 2 23 1 21 0 0.

Производим замену i

0,1

23 i 21 0

;

U D ( ) 0,1 4 11 2 21; i VD ( ) 2 3 23 .

Составляем таблицу:

(ω)

i VD(ω)

10,1

–21,4

–69,9

…

По табл це стро м годограф (рис. 10):

АФЧХ

Р с. 10. Пр мер построения годографа Михайлова

8. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА

Критерий

Найквиста

позволяет

судить об

устойчивости

замкнутой системы по виду

разомкнутой системы.

Чтобы построить

, необходимо перейти к частотной форме

записи передаточной функции разомкнутой системы. Передаточная

функция разомкнутой системы:

WРАЗ ( p) WКЗ ( p) WЭУ ( p) WГ ( p) W

( p) WТГ

( p)

;

(41)

WРАЗ ( p)

k0 (T02 p 1)

kЭУ

p 1 kТГ ;

(42)

p 1

T p 1

p2 T

kРС

РАЗ

( p) (T

p 1)

;

(43)

(T01 p 1)

(T1 p 1)

(T2 p 1)

(T3 p 1)

T .

(44)

2,3

Амплитуда частотной передаточной функции находится как отношение модулей числителя и знаменателя, а фаза – как разность аргументов числителя и знаменателя (табл. 1).

Амплитуда передаточной функции разомкнутой системы равна произведению амплитуд отдельных звеньев, а фаза – сумме фаз звеньев.

A( ) A1( ) A2 ( ) A3 ( ) A4 ( ) ;

(45)

( ) 1( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ).

(46)

0 ,

вычисляются значения A( )

Задавая значения частот

и ( ) . В полярной системе координат строится АФЧХ (рис. 11).

Таблица 1

Пр меры вычисления АЧХ и ФЧХ

Передаточная функц я

Амплитуда

Фаза

W ( p) (T02 p 1)

A( )

T 2 2

( ) arctg(T02

)

W ( p)

A( )

( ) arctg(T01 )

(T p 1)

T01

и01

W ( p)

РС

A( )

kРС

( ) arctg(T1 )

T 2

(T1 p 1)

Рис. 11. Амплитудно–фазовая частотная характеристика

Условие устойчивости по критерию Найквиста

Для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы W(iω) при изменении частоты0 не охватывала точку с координатами ( –1;0) (см. рис. 12).

б) неустойчивая система

а) устойч

вая с

стема

Р с. 12. Пр меры АФЧХ устойчивых и неустойчивых систем

Пр мер.

Исследуем на устойчивость систему с передаточной функцией:

WРАЗ ( p) (0,1 p 1)

(10

p 1)

Найдем амплитуду и фазу каждого звена:

Передаточная

мплитуда

Фаза

функция

W ( p) (0,1 p 1)

( ) arctg(0,1 )

A1( )

0,01

W 2

( p)

A2 ( )

2 ( ) arctg(10 )

(10

p 1)

100

2 1

( p)

A ( )

(1 p 1)

Д3

1 2

Составим таблицу значений:

	ω	A1(ω)		A2(ω)		A3(ω)		φ1(ω)			φ2(ω)		φ3(ω)			A(ω)		φ(ω)
	0	1		1		10				0	0		0		10				0
	0,01	1		0,99		9,99			0,06		–5,71			–0,57	9,94				–6,226
	0,02	1		0,98		9,99			0,11		–11,31			–1,15	9,80			–12,341
С				0,95		9,99			0,17		–16,70			–1,72	9,57			–18,246
0,03		1		0,95		9,99			0,17		–16,70			–1,72	9,57			–18,246
0,04		1		0,92		9,99			0,23		–21,80			–2,29	9,27			–23,863
0,05		1		0,89		9,98			0,29		–26,57			–2,86	8,93			–29,141
0,06		1		0,85		9,98			0,34		–30,96			–3,43	8,55			–34,054
0,07		1		0,81		9,97			0,40		–34,99			–4,00	8,17			–38,595
	и								0,46		–38,66			–4,57	7,78			–42,775
0,08		1		0,78		9,96			0,46		–38,66			–4,57	7,78			–42,775
0,09		1		0,74		9,95			0,52		–41,99			–5,14	7,40			–46,614
0,1		1		0,70		9,95			0,57		–45,00			–5,71	7,03			–50,138
0,11		1,0001		0,67		9,94			0,63		–47,73			–6,28	6,68			–53,373
0,12			б								–50,19			–6,84	6,35			–56,350
0,12		1,0001		0,64		9,92			0,69		–50,19			–6,84	6,35			–56,350
0,13		1,0001		0,60		9,91			0,74		–52,43			–7,41	6,04			–59,094
0,14		1,0001		0,58		9,90			0,80		–54,46			–7,97	5,75			–61,630
0,15		1,0001		0,55		9,88			0,86		–56,31			–8,53	5,48			–63,981
	0,16	1,0001		0,53		9,87			0,92		–57,99			–9,09	5,23			–66,168
	0,17	1,0001		0,50		9,85			0,97		–59,53			–9,65	4,99			–68,209
	0,18	1,0002		0,48		9,84			1,03		–60,95		–10,20		4,78			–70,118
	0,19	1,0002		0,46		9,82			1,09		–62,24		–10,76		4,57			–71,911
	0,2	1,0002		0,44		9,80			1,15		–63,43		–11,31		4,38			–73,599
0,3		1,0004		0,31		9,57			1,72		–71,57		–16,70		3,03			–86,546
	…		…		…		…			…	Д								…
	…		…		…		…			…		…		…		…			…
						АФЧХ
	Построим график (рис. 13):
				0
		-2		0		2			4		6		8		10		12
				-1									И
				-1
				-2
				-2
				-3
				-3
				-4
				-4
				-5
				-5
				-6
				-6

Рис. 13. Пример построения АФЧХ

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.07 Mб11331.pdf
#
07.01.20211.07 Mб01333.pdf
#
07.01.20211.07 Mб11334.pdf
#
07.01.20211.07 Mб231335.pdf
#
07.01.20211.07 Mб711336.pdf
#
07.01.20211.07 Mб21337.pdf
#
07.01.20211.07 Mб371338.pdf
#
07.01.20211.07 Mб61339.pdf
#
07.01.2021306.55 Кб1134.pdf
#
07.01.20211.07 Mб61340.pdf
#
07.01.20211.07 Mб21341.pdf