ях, если последние в основном изменяют форму тела. В связи с этим для суждения о прочности представляется необходимым из общего напряжённого состояния тела выделить те компоненты, которые связаны с изменением объёма, и отдельно рассмотреть компоненты напряжений, имеющие отношение к изменению формы. Для этого вводят величину

деление этого напряжённого состояния точки следующим образом – представляют тензор напряжений (1) в виде двух составляющих:

Tн Tн0 Dн. Здесь Tн0 шаровой тензор напряжений, характеризующий напряжённое состояние, связанное только с изменением объёма (либо всестороннее сжатие, либо всестороннее растяжение); Dн тензордевиатор напряжений, обуславливающий изменение формы [4,5,7].

zx

Рис. 4

10

При исследовании напряжённого состояния в точке тела элемента конструкции представляют интерес инварианты девиатора напряжений.

Первый инвариант

Через ту же напряжённую точку можно провести ещё четыре плоскости, которые равнонаклонены к главным площадкам и носят название октаэдрических площадок. Нормальное напряжение, действующее на каждой из таких площадок, соответствует, согласно определению октаэд-

ные напряжения на октаэдрических площадках также равны между собою по величине и могут быть определены по формуле

Важную роль при исследовании напряжённого состояния в точке тела элемента конструкции, когда определяют зоны пластичности, играет параметр, называемый интенсивностью нормальных напряжений i , оп-

ределяемый через главные напряжения по формуле

Подобно тому, как изменяются компоненты напряжений внутри тела, если изменить положение площадки, проходящей через рассматриваемую точку тела, так и компоненты деформации зависят от направле-

11

ния плоскости, проходящей через ту же точку. Доказано, что между теорией напряжений и теорией деформаций имеется полная математическая аналогия.

Тензором деформаций Tд называется совокупность линейных и угловых деформаций, возникающих в трёх взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через рассматриваемую точку тела элемента конструкции.

Инварианты тензора деформаций по аналогии с тензором напряжений имеют следующий вид:

В каждой точке тела элемента конструкции существуют три взаимно перпендикулярные направления, называемые главными осями деформации, которые обладают тем свойством, что волокна, направленные по ним, испытывают только изменение длин, а сдвиг в главных осях деформации отсутствует. Кубическое уравнение для определения главных деформаций аналогично уравнению (7) и имеет вид

Соотношения между главными деформациями такие же, как и между главными напряжениями: 1 2 3.

Компоненты тензора деформаций можно найти, используя соотношения обобщённого закона Гука (19) в прямой форме.

12

Тензор деформаций, как и тензор напряжений, может быть представлен в виде суммы двух тензоров [3,4,5,7]:

Инварианты девиатора деформаций, используемые в теории пластичности, аналогично девиатору напряжений имеют следующий вид:

В теории пластичности большое значение имеет величина, пропорциональная квадратному корню из второго инварианта девиатора деформаций. Эта величина носит название интенсивности деформаций i и

13

выраженная через главные деформации имеет следующий вид:

Контрольные вопросы

1.Что называется тензором напряжений и что он описывает?

2.Написать тензор напряжений и пояснить физический смысл его компонент.

3.Написать и пояснить формулы для определения напряжений на наклонных площадках.

4.Что называется инвариантом напряжений?

5.Написать первый инвариант напряжений.

6.Дать определение главных площадок.

7.Написать шаровой тензор напряжений и пояснить его физическую суть.

8.Написать девиатор напряжений и пояснить его физическую суть.

9.Написать формулу для определения интенсивности напряжений.

10.Что называется тензором деформаций и что он описывает?

11.Написать тензор деформаций и пояснить физический смысл его компонент.

12.Написать первый инвариант деформаций.

13.Написать шаровой тензор деформаций и пояснить его физическую суть.

2.ЧИСЛОВОЙ ПРИМЕР ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

В ТОЧКЕ УПРУГОГО ТЕЛА ПРИ ИЗВЕСТНОМ ТЕНЗОРЕ НАПРЯЖЕНИЙ

Исходные данные:

Напряжения: x 10 МПа; у 20 МПа; z 30 МПа.ху 20 МПа; yz 30 МПа; zx 40 МПа.

Модуль упругости Е = 2 105 МПа; коэффициент Пуссона = 0,32.

1.Изображение векторов напряжений на координатных площадках

иопределение тензора напряжений.

Если нормаль к площадке совпадает с положительным направлением одной из осей координат, то все положительные направления на этой площадке направляем вдоль положительных направлений осей координат. Если нормаль к площадке совпадает с отрицательным направлением одной из осей координат, то все положительные направления на этой площадке направляем вдоль отрицательных направлений осей координат.

14

В соответствии с указанным правилом знаков на рис. 5 показаны, согласно исходным данным к этой задаче, векторы напряжений.

Тензор напряжений имеет вид

2. Определение напряжений, действующих на наклонной площадке. Определение напряжений на наклонной площадке будем осуществ-

лять по формулам (2):

z

B

zx 40

xy 20

x 10

x

yz 30

z 30

A

Рис. 5

y

Рис. 5

15

Тогда величина полного напряжения, действующего на наклонной площадке, будет равна

P Px2 Py2 Pz2 8,66 2 7,32 2 19,6 2 22,65МПа.

Величина нормального напряжения на этой площадке

Касательное напряжение

P2 2 22,65 2 11,15 2 19,71МПа.

Напряжения, действующие на наклонной площадке, показаны на рис. 6.

Py 7,32

A

y

Рис. 6

3. Определение инвариантов напряжённого состояния в точке тела.

J1 x y z 10 20 30 20 МПа.

16

J2 x y y z z x xy2 yz2 zx2

10 20 20 .30 30 10 202 402 302 34 102 (МПа)2.

10 20 30 2 20 30 40 10 302 20 402 30 202

53 103 (МПа)3.

4.Определение величин главных напряжений.

Для определения величин главных напряжений необходимо решить

уравнение 3 J1 2 J2 J3 0.

В настоящей задаче оно принимает вид

Величина q определится по уравнению

38,2962 (МПа)3.

Вслучае выполнения условия p3 q2 0 все корни уравнения будут действительными. В настоящей задаче это условие принимает вид

11,7777 102 3 38,2962 2 1633,734 1453,857 106 0.

Условие выполняется.

Найдём следующие параметры, выраженные через вспомогательный угол :

17

x2 2p cos 120o 68,63751 0,5943 40,7554; x3 2p cos 120o 68,63751 0,3992 27,4056.

В результате главные напряжения примут следующие значения:

Проверкой правильности определения значений главных напряжений является соблюдение первого инварианта напряжённого состоянияx y z 1 2 3. В соответствии с этим можно записать:

10 20 30 74,87 20,74 34,13. Значения главных напряжений найдены правильно.

5. Определение положения главных площадок.

Для определения значений направляющих косинусов ,m,n, определяющих положение главных площадок, используется следующая система уравнений (9).

Определим значения направляющих косинусов 1,m1,n1 для главно-

После подстановки в эти уравнения соответствующих значений напряжений и решения полученной системы были найдены значения направляющих косинусов, определяющих положение главной площадки для на-

пряжения 1 74,87 МПа; 1 0,57; m1 0,35; n1 0,74.

Для определения значений направляющих косинусов 2,m2,n2 система уравнений примет следующий вид:

18

После подстановки в эти уравнения соответствующих значений напряжений и решения полученной системы были найдены значения направляющих косинусов, определяющих положение главной площадки для напряжения 2 20,74МПа; 2 0,82; m2 0,17; n2 0,54.

Для определения значений направляющих косинусов 3,m3,n3 система уравнений примет следующий вид:

После подстановки в эти уравнения соответствующих значений напряжений и решения полученной системы были найдены значения направляющих косинусов, определяющих положение главной площадки для напряжения: 3 34,13МПа; 3 0,06; m3 0,92;

n3 0,39.

6. Определениешаровоготензоранапряженийидевиаторанапряжений.

Для определения шарового тензора необходимо найти значение

Девиатор напряжений в настоящей задаче примет следующий вид:

19