е р и я в н у т р и в у з о в с к и х См е т о д и ч е с к и х у к а з а н и й С и б А Д И
Министерствоинауки высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования « ибирский государственный автомо ильно-дорожный университет (СибАДИ)»
Кафедра «Эконом ка проектное управление в транспортном строительстве»
ОСНОВЫбСИСТЕМНОГО АНАЛИЗА
МетодическиеАуказания к лабораторным работам
Составители:Д. .Конорева,
А.Б. Цырульникова И Омск ▪ 2018
УДК 625.7 ББК 39.311+65.9(2)373
О-75
Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите детей от информации, причиняющей вред их здоровью и развитию» данная продукция маркировке не подлежит.
Рецензент
канд. техн. наук, доц. М.С. Цицикашвили (СибАДИ)
СибАДИизучающих курс Основы системного анализа.
Работа утверждена редакционно-издательским |
советом СибАДИ |
в качестве метод ческ х указаний. |
|
О-75 Основы с стемного анализа [Электронный ресурс] : методические |
|
указания к лабораторным ра отам / сост. : А.А.Конорева, |
А.Б. Цырульникова. – |
( ерия внутр вузовск х методических указаний СибАДИ). – |
Электрон. дан. – |
||||||||
Омск |
: |
С бАДИ, |
2018. |
– |
URL: |
http://bek.sibadi.org/cgi-bin/irbis64r plus/ |
|||
cgiirbis |
64 |
ft.exe. - Реж м доступа: для авторизованных пользователей. |
|||||||
Разработаны с целью оказания практической помощи студентам при |
|||||||||
выполнен |
лабораторных ра от с целью приобретения навыков использования |
||||||||
системного подхода при руководстве предприятием. |
|
||||||||
Имеют интерактивное оглавление в виде закладок. |
|
||||||||
Рекомендованы студентам всех форм обучения направления подготовки |
|||||||||
Строительство |
( |
акалавриат |
дорожных |
профилей), |
специальности |
||||
Строительство уникальных |
зданий и |
сооружений (дорожная |
специализация), |
Подготовлены на кафедре «Экономика и проектное управление в транспортном строительстве».
Текстовое (символьное) издание (370 КБ)
Системные требования: Intel, 3,4 GHz; 150 Мб; Windows XP/Vista/7; DVD-ROM;
1Гб свободного места на жестком диске; программа для чтения pdf-файлов: Adobe Acrobat Reader; Foxit Reader
Техническая подготовка В. . Черкашина Издание первое. Дата подписания к использованию 19.11.2018
Издательско-полиграфический комплекс СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5 РИО ИПК СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1
ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2018
ВВЕДЕНИЕ
Началом развития системного анализа как науки считают начало 50-х
годов. В это время стала активно развиваться кибернетика - наука об |
|
управлении. НТР привела к возникновению таких понятий, как большие и |
|
С |
|
сложные системы, обладающие специфическими для них проблемами. |
|
Необходимость решения этих проблем вызвала к жизни множество |
|
методов, которые постепенно накапливались, развивались и затем |
|
системат з ровал сь в |
таких науках, как «Методы проектирования», |
«Методы нженерного |
творчества», «Системотехника», «Методология |
единыйэкспер мента» др.
В начале 80-х годов стало очевидно, что все эти дисциплины образуют поток - «с стемное движение». Так как большие и сложные системы стали предметом изучения, потребовалось обобщение методов
исследован бя с стем методов воздействия на них.
Одно л шь это переч сление научных дисциплин, которые могут быть полезны руковод телю в его практической деятельности, привело к вопросу: как весь этот разнородный материал связать воедино? Это возможно с помощьюАс стемного подхода. Его использование позволит принять во внимание множество факторов самого различного характера, выделить из них те, которые оказывают на объект наибольшее влияние с точки зрения имеющихся о щественных целей и критериев, и найти пути и
методы эффективного воздействия на них. Д И
3
Лабораторная работа № 1
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Цель работы: определить достаточное число наблюдений в выборке, интенсивность и форму связи между случайными величинами.
1.1. Основные задачи
Для решен я некоторых проблем управления применяют методы,
которые содержатся в таких дисциплинах, как системотехника, теория |
|
развитя. Так е групп ровки дают возможность сделать лишь общие |
|
вероятности |
математ ческая статистика, линейное и динамическое |
Спрограмм рован е с использованием вычислительной техники, |
|
инженерная пс холог я, ки ернетика и т.д. |
|
В стро тельных организациях при анализе результатов хозяйственной |
|
б |
|
деятельности |
спользуют методы группировки отдельных экономических |
показателей |
за определенный период, чтобы проследить динамику их |
выводы. Отсутств е конкретной количественной оценки влияния факторов затрудняет выявлен е имеющихся резервов и не соответствует современным тре ованиям строительного производства.
В связи с этим в практической работе строительных организаций необходимо использовать математические методы и приемы, которые позволили бы определить количественное влияние факторов.
Математическая |
статистика |
занимается |
|
установлением |
закономерностей, которым подчинены |
массовые |
случайные явления. |
||
|
А |
|
||
Установление этих закономерностей основано на изучении статистических |
||||
|
Д |
данных – результатов наблюдений. Первая задача математической статистики – указать способы сбора и группировки статистических
сведений. Вторая задача – разработать |
методы анализа статистических |
||||
данных в зависимости от целей исследования. |
И |
||||
|
|
||||
С |
помощью |
математической |
статистики |
осуществляется |
макроскопический взгляд на поведение динамической системы. Для получения статистических данных используется прежде всего отчетность.
1.2. Основные положения математической статистики
1.2.1. Генеральная и выборочная совокупности
Для описания процессов, происходящих в системах, необходимо знать некоторые зависимости. Например, как зависит ровность дороги от интенсивности эксплуатации дороги, как зависит производительность строительных машин от их возраста. Эти зависимости можно выявить
4
эмпирическим путем, т.е. замерив показатели, но измерять все это можно бесконечно долго. Поэтому случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число замеров и подвергают их изучению.
Группа предметов или явлений, объединенных каким-либо общим признаком, называется статистической совокупностью. Например, отчетные данные о выработке на одного трудящегося, о себестоимости, уровне механизации и т.д.
Различают понятия генеральной и выборочной совокупности [1]. Генеральная совокупность есть бесконечный набор значений
изучаемой случайной величины, распределение признаков в котором
совпадает с теорет ческ м распределением вероятностей. Таким образом, |
|
можно предполож ть, что генеральная совокупность объединяет очень |
|
С |
. Применительно к экономическим явлениям |
большое ч сло на |
генеральная совокупность о означает наблюдения по всем возможным предпр ят ям с родственной технологией за длительный период времени в будущем.
людений Исследованбе всей генеральной совокупности невозможно, поэтому
для сужден я о генеральной совокупности пользуются выборкой или выборочной совокупностью. Вы орочной совокупностью называется часть случайных величин генеральнойАсовокупности, отобранных из последней, для получения сведений о ней.
Чтобы правильно судить о о всей совокупности, необходимо иметь представительную (репрезентативную) выборочную совокупность. Например, если при исследовании выработки взять только передовые предприятия, то результаты исследованияДне будут характерны для всех предприятий, и по средним значениям, полученным из такой выборки, невозможно судить обо всех предприятиях. В целях исключения ошибок при отборе образцов обычно пользуются случайным методом отбора из генеральной совокупности. В экономике наиболее представительной является такая выборка, когда исследовательИберет все возможные в сопоставимых условиях наблюдения.
На практике часто приходится решать задачу: достаточно ли число наблюдений в выборке для того, чтобы судить по ней о генеральной совокупности.
Уточним обозначения: n – число наблюдений в выборке; S – среднеквадратичное отклонение, полученное по результатам выборки; Р – вероятность приближенного равенства σо ≈ S, где σо – стандартное отклонение генеральной совокупности; ε – точность наблюдений; k = n – 2 число степеней свободы; qs – аргумент функции распределения вероятности L(qsk) (прил.1). Аргумент qs определяется из выражения ε = qsS. Функция L(qsk) = Р характеризуется тем, что вероятность Р зависит только от q и k. Можно с заданной вероятностью Р построить доверительный интервал, в котором будет находиться стандартное
5
отклонение σо. Этот интервал можно записать в виде следующего соотношения:
Р L(qsk) {S - qsS < σо< S + qsS} = Р. |
(1.1) |
Пример 1.1. Определить достаточное число наблюдений nдост при |
|
заданной вероятности Р = 0,95; S = 0,12; ε = 0,06. |
|
Определим qs = ε / S = 0,06/0,12 = 0,5. |
|
С |
|
По прил.1 находим k = 14, следовательно, nдост = k +2 = 16. |
|
Такой метод оценки репрезентативности выборки пригоден для любого |
n. Если n > 20, то можно пользоваться упрощенным методом, основанным
на гипотезе нормального распределения стандартного отклонения σо как |
|||||
При |
|
|
|||
случайной вел ч ны. |
этом |
|
|
||
где xр – |
|
nдост≥ (xр2S2) / (ε2аср2), |
(1.2) |
||
аргумент, |
характеризующий |
вероятность |
нормального |
||
распределен я |
в |
нтегральной функции |
распределения |
Ф(x); xр |
|
определяется по пр |
л. 2 в зависимости от заданной вероятности Р; аср – |
||||
б |
|
|
среднее значен е случайной величины в выборке. Если выполняется соотношен е (1.2), ч сло на людений достаточно.
1.2.2. Корреляциионно-регрессиионный анализ
Регрессионный анализАсоставляет часть от корреляционного анализа. Функция регрессии решает первую задачу корреляционного анализа. Она помогает узнать, в какой степени изменяется значение зависимой
Одними из важнейших понятий математической статистики являются понятия «регрессия» и «корреляция». Корреляционный анализ, изучающий связи между случайными величинами, находится в зависимости от
регрессионного анализа, задачей которого является изучение форм связи.
Для глубокого изучения корреляционногоДанализа этого недостаточно. Второй задачей исследований корреляционного анализа является измерение интенсивности связи между случайными величинами.
переменой в соотношении с изменением независимой переменой.
большую, чем интенсивнее связь. ВычислениемИкоэффициента корреляции оценивают, в какой степени связи этих величин приближаются к линейному закону.
Оценки, полученные с помощью регрессии, имеют точность тем
Линейная зависимость является частным случаем многочлена (у = а + bx). В виде параболы второго порядка зависимость выражается формулой у = а + bx + сx2. Если степень независимого переменного равна трем, то эта парабола третьего порядка и т.д.
Корреляция является прямой, если с ростом значения х растут значения
у, и обратной, если наоборот. |
|
Коэффициент корреляции вычисляется по формуле [3] |
|
r = m /(SxSy), |
(1.3) |
6
где m = 1/n ∑(xi-xср)(yi-yср) – эмпирический корреляционный момент; n – выборка (совокупность случайно отобранных наблюдений); xср = 1/n∑
xi, yср = 1/n ∑ yi – выборочные средние; Sx,Sy – среднеквадратичные отклонения; Sx2 = Дx= 1/n ∑(xi-xср)2, Sy2 = Дy = 1/n ∑(yi-yср)2 – дисперсии.
Отсюда получаем коэффициент корреляции
С |
|
|
|
r = ∑(xi-xср)(yi-yср) /√∑(xi-xср)2∑(yi-yср)2 . |
(1.4) |
Он лежит в пределах: 0≤|r|≤+1. Знак плюс означает прямую, а знак минус – обратную связь. Если х и у связаны точной линейной
зависимостью, то r = 1, если прямая связь и r = -1 – обратная. |
||
корреляции |
||
Коэфф |
ент |
л нейной корреляции ±0,15 свидетельствует об |
отсутств |
связей |
между признаками. Плохая связь характеризуется |
коэфф ц ентом |
от ±0,16 до ±0,2; слабая – от ±0,21 до ±0,3; |
умеренная – от ±0,31 до ±0,4; средняя – от ±0,81 до ±0,9; полная – от ±0,91
до ±1 [3]. |
б |
|
1.2.3.Метод наименьших квадратов |
Для ч сленного выражения параметров линии регрессии, выражающих связь между двумя вел чинами, о ычно применяется метод наименьших квадратов. Сущность его заключается в том, что выбирается такая линия, при которой сумма квадратов разностей между фактическими наблюдениями зависимой переменной и расчетными значениями,
Для нахождения параметровАлинии регрессии (а, b) построим поле корреляции. Корреляционным полем называют нанесение на график в определенном масштабе точек, соответствующих одновременным
полученными по регрессионной формуле, минимальна.
значениям двух величин. |
|
|
|
|
Рассмотрим поле корреляции уi ≈ а + bxi (рис.1). |
y |
|
||
Необходимо найти такое уравнение прямой, чтобы |
|
. . |
. |
|
|
И |
|||
оно наилучшим образом удовлетворяло тенденции |
. |
. |
||
развития процесса, описанного полемДкорреляции. . |
. |
|||
Обозначим расстояние от точки до прямой u. Это |
. |
. |
||
расстояние надо минимизировать для того, чтобы |
|
|
|
|
прямая прошла как можно ближе ко всем точкам. |
0 |
|
x |
|
n |
|
|
||
|
Рис.1. Поле корреляции |
|||
u = ∑[ уi – ( а + bxi)]2 → min. |
|
|
(1.5) |
|
i=1 |
|
|
|
|
Обозначим |
i=уi–(а+bxi), |
|
|
(1.6) |
отсюда следует, что |
|
|
||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = ∑ i2. |
|
|
(1.7) |
i=1
7
(1.8)
n
du / da = -2∑ [ уi – ( а + bxi)] = 0;
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
du / db = -2∑[уi – (а + bxi)] xi = 0. |
(1.9) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
Полученную с стему преобразуем: |
|
|
||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
аn + b∑ xi = ∑ уi; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
i=1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
∑ xi + b∑ xi2 = ∑ (xi уi). |
(1.10) |
|||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
i=1 |
|
Реш м с стему |
|
|
|
|
|
относительно а и b методом определителей: |
||||
уравненийа = θ1/θ; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
b = θ2/θ, |
|
(1.11) |
||
где θ – главный определитель. |
= n ∑xi2 – (∑xi)2; |
(1.12) |
||||||||
θ = |
n |
∑xi |
||||||||
б2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
∑xi |
∑xi |
|
|
|
|
|
θ1 = |
|
∑ уi |
∑xi |
= ∑ уi ∑ xi 2 - ∑(xi уi)∑xi ; |
(1.13) |
|||||
|
||||||||||
|
|
|
∑(xi уi) ∑xi2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
А |
|
|||||
θ2 = |
|
|
|
|||||||
n |
∑ уi |
|
= n ∑(xi уi)- ∑ хi∑ уi. |
(1.14) |
||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
∑xi |
∑(xi уi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (12) – (14) в (11), получаем следующие коэффициенты |
||||||||||
регрессии: |
|
|
|
|
|
|
Д |
|
||
а = [∑ уi ∑ xi 2 - ∑(xi уi)∑xi]/[n∑xi2 – (∑xi)2]; |
(1.15) |
|||||||||
b = [n∑(xi уi)- ∑ хi∑ уi]/[ n∑xi2 – (∑xi)2]. |
(1.16) |
|||||||||
Параметры линии регрессии можно вычислить и с помощью |
||||||||||
коэффициента корреляции: |
|
|
|
|
|
|||||
b = r Sy / Sx = (m/(SxSy)) (Sy / Sx) = m/Sx2 . |
(1.17) |
|||||||||
Отсюда следует, что |
|
|
|
И |
||||||
|
|
|
b = ∑(xi-xср)(yi-yср) / ∑(xi-xср)2. |
(1.18) |
Подставляя b, xср и yср в канонический вид уравнения прямой у – уср = b(x – хср) и раскрывая скобки, найдем коэффициент а уравнения у = а + bх. Таким образом, все параметры регрессии найдены.
8