681

Результат: 0,562510=0,10012.

Пример 2. Переведите десятичную дробь 0,65625 в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

0, 65625

8

525000

8

2 00000

Результат: 0,6562510=0,528.

Результат: 0,6562510=0,А816.

Пример 3. Переведите десятичную дробь 0,7 в восьмеричную систему счисления.

56

8

48

8

64

8

32

…….

58

Данный процесс может продолжаться бесконечно. Такой бесконечный процесс завершается на некотором шаге, когда считается, что получена требуемая точность представления числа.

Пример 4. Переведите десятичную дробь 0,10110 в двоичную систему счисления. В двоичной записи числа сохраните четыре знака.

0, 101

2

0202

2

0404

2

0808

2

1616

…….

Результат: 0,1012=0,00012.

Перевод смешанных чисел

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся согласно приведенным выше алгоритмам. В итоговой записи в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой или точкой.

Пример. Переведите число 12,2510 в двоичную систему счисления. Переведем целую часть:

Переведем дробную часть:

050

2

100

59

Результат: 12,2510=1100,012.

1.4. Арифметические операции в позиционных

системах счисления

Рассмотрим арифметические операции на примере двоичной системы счисления. Рассмотрим таблицы сложения, вычитания и умножения.

Сложение в двоичной системе счисления

+ 0 1

0 0 1

1 1 10

Примеры. Выполните операцию сложения над двоичными числами:

Примеры. Выполните операцию вычитания над двоичными числами:

Умножение в двоичной системе счисления

0 1

0 0 0

1 0 1

60

Примеры. Выполните операцию умножения над двоичными числами:

1001 1011

Деление в двоичной системе счисления

Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму операции деления в десятичной системе счисления.

Примеры. Выполните операцию деления над двоичными числами:

Практические задания

1.Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления:

а) 75; 137; 2897; 433;

б) 17; 219; 7654; 8536.

2.Переведите целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления:

а) 35; 737; 2853; 4123; б) 58; 759; 165; 3289.

61

3.Переведите целые числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления:

а) 87; 234; 1987; 5124; б) 367; 79; 2222; 9876.

4.Переведите числа из одной системы счисления в другую:

а) 10111011002=А10; 1110010112=А10; 1010001102=А10; б) 1212203=А10; 123557=А10; 15748=А10; в) 21457=А10; 130104=А10; г) 1510=А3; 5610=А5; 76510=А12.

5.Переведите десятичные дроби в двоичную систему счисления (ответ записать с шестью двоичными знаками): 0,17; 0,56; 0,93.

6.Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа (X10→А2; X10→А8; X10→А16): 0,23; 0,79; 0,93.

7.Выполните операцию сложения над двоичными числами:

а) 10001110012 + 111100012; 1110001112 + 11000112; б) 111011012 + 11110112; 10001110012 + 111100012.

8.Выполните операцию вычитания над двоичными числами:

а) 1001100112 – 11101112; 1000111012 – 11011102; б) 11100110112 – 1110010112; 11100001112 – 11000112.

9.Выполните операцию умножения над двоичными числами:

а) 10112 · 110012; 1101012 · 1110012; б) 10111012 · 11012; 11000112 · 10112.

10.Выполните операцию деления над двоичными числами:

а) 10100000111002 : 10112; 110011101012 : 111012; б) 1000000101002 : 10112; 10010000101002 : 11012.

Самостоятельная работа

Вариант 1

1.Переведите числа из одной системы счисления в другую с последующей проверкой:

3910=A2; 4110=A3; 5610=A8; 87510=A16; 20123=A10; 25627=A10.

62

2.Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа (X10→А2; X10→А8; X10→А16): 173,27910; 10123,37810; 14567,032110.

3.Выполните операцию сложения над двоичными числами: 111010002 + 101011012; 10010112+11112.

4.Выполните операцию вычитания над двоичными числами: 110110012 – 11001002; 1110012 – 101012.

5.Выполните операцию умножения над двоичными числами: 101102 · 11012; 11102 · 10012.

6.Выполните операцию деления над двоичными числами: 1100100002 : 101002; 11002 : 1102.

Вариант 2

1.Переведите числа из одной системы счисления в другую с последующей проверкой:

6010=A2; 6210=A3; 7110=A8; 199510=A16; 2315=A10; 24637=A10.

2.Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа (X10→А2; X10→А8; X10→А16): 921,07910; 3275,091310; 10121,27110.

3.Выполните операцию сложения над двоичными числами: 11100002 + 11100112; 1000011102 + 101112.

4.Выполните операцию вычитания над двоичными числами: 1101101012 – 1001102; 10011002 – 1011012.

5.Выполните операцию умножения над двоичными числами: 100012 · 1112; 11012 · 10012.

6.Выполните операцию деления над двоичными числами: 110012 : 1012; 1011012 : 10012.

Вариант 3

1.Переведите числа из одной системы счисления в другую с последующей проверкой:

63

7710=A2; 7210=A3; 8310=A8; 235710=A16; 1647=A10; 16249=A10.

2.Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа (X10→А2; X10→А8; X10→А16): 3678,37310; 9973,067210; 7632,172110.

3.Выполните операцию сложения над двоичными числами: 110112 + 1000012; 1111112 + 111012.

4.Выполните операцию вычитания над двоичными числами: 10001102 – 1000112; 11011112 – 10010012.

5.Выполните операцию умножения над двоичными числами: 100112 · 112; 110102 · 11002.

6.Выполните операцию деления над двоичными числами: 1100102 : 10102; 1010102 : 1112.

Вариант 4

1.Переведите числа из одной системы счисления в другую с последующей проверкой:

8910=A2; 7610=A3; 9310=A8; 257910=A16; 10245=A10; 55437=A10.

2.Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дроб-

ной части нового числа (X10→А2; X10→А8; X10→А16): 923,789110; 11231,47310; 993,567910.

3.Выполните операцию сложения над двоичными числами: 111112 + 1011112; 10011112 + 1001002.

4.Выполните операцию вычитания над двоичными числами: 10100012 – 1110112; 10111012 – 110002.

5.Выполните операцию умножения над двоичными числами: 1000002 · 10112; 1001112 · 100102.

6.Выполните операцию деления над двоичными числами: 1101112 : 1012; 11100112 : 101112.

Вариант 5

64

1.Переведите числа из одной системы счисления в другую с последующей проверкой:

3710=A2; 4310=A3; 12210=A8; 278910=A16; 2315=A10; 11769=A10; 101237=A10.

2.Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа (X10→А2; X10→А8; X10→А16): 213,67310; 3278,89710; 2216,95710.

3.Выполните операцию сложения над двоичными числами: 1111002 + 10001112; 11000012 + 1010002.

4.Выполните операцию вычитания над двоичными числами: 10000012 – 111002; 11000112 – 10100002.

5.Выполните операцию умножения над двоичными числами: 1001012 · 11012; 1010012 · 101102.

6.Выполните операцию деления над двоичными числами:

11111012 : 110012;

10011012 : 10112.

Вариант 6

1.Переведите числа из одной системы счисления в другую с последующей проверкой:

2910=A2; 2110=A3; 13610=A8; 312810=A16; 102467=A10; 124225=A10.

2.Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа (X10→А2; X10→А8; X10→А16): 1239,92310; 956,38110; 1247,57310.

3.Выполните операцию сложения над двоичными числами: 11001012 + 110112; 10101012 + 1111012.

4.Выполните операцию вычитания над двоичными числами: 1111112 – 1010112; 11000102 – 1011002.

5.Выполните операцию умножения над двоичными числами: 10000102 · 100112; 1000102 · 1100002.

6.Выполните операцию деления над двоичными числами: 100000102 : 1012; 10001002 : 1002.

65

Вариант 7

1.Переведите числа из одной системы счисления в другую с последующей проверкой:

6510=A2; 3110=A3; 14110=A8; 375610=A16; 40D15=A10; 32429=A10.

2.Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа (X10→А2; X10→А8; X10→А16): 917,033110; 1238,25710; 2151,09710.

3.Выполните операцию сложения над двоичными числами: 11011102 + 10010002; 11001102 + 1101102.

4.Выполните операцию вычитания над двоичными числами: 10111112 – 1101002; 11001112 – 1001012.

5.Выполните операцию умножения над двоичными числами: 1101012 · 100012; 10000012 · 11102.

6.Выполните операцию деления над двоичными числами: 11101002 : 1002; 11010012 : 11112.

Вариант 8

1.Переведите числа из одной системы счисления в другую с последующей проверкой:

4710=A2; 2310=A3; 13110=A8; 423110=A16; 102225=A10; 50469=A10.

2.Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа (X10→А2; X10→А8; X10→А16): 997,97910; 1993,5710; 215,29110.

3.Выполните операцию сложения над двоичными числами: 11110002 + 1011012; 11010002 + 101112.

4.Выполните операцию вычитания над двоичными числами: 10011002 – 1101012; 10011102 – 111102.

5.Выполните операцию умножения над двоичными числами: 111112 · 110002; 111012 · 11002.

6.Выполните операцию деления над двоичными числами: 10010112 : 11112; 11000112 : 10012.

66