681

6.Выполните операцию деления над двоичными числами: 1001110002 : 11002; 10000010102 : 111012.

Вариант 11

1.Переведите числа из одной системы счисления в другую с последующей проверкой:

8810=A2; 2710=A3; 25110=A8; 319710=A16; 12049=A10; 753111=A10.

2.Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа (X10→А2; X10→А8; X10→А16): 567,69910; 883,6710; 124,07110.

3.Выполните операцию сложения над двоичными числами: 10110012 + 1110102; 11101012 + 10101102.

4.Выполните операцию вычитания над двоичными числами: 11101102 – 1010012; 100001112 – 11110012.

5.Выполните операцию умножения над двоичными числами: 10100112 · 1001002; 1000112 · 101012.

6.Выполните операцию деления над двоичными числами: 1100011112 : 101012; 111111112 : 11112.

Вариант 12

1.Переведите числа из одной системы счисления в другую с последующей проверкой:

6310=A2; 2010=A3; 47610=A8; 357510=A16; 200115=A10; 1C4213=A10.

2.Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа (X10→А2; X10→А8; X10→А16): 557,67710; 973,89910; 1330,56310.

3.Выполните операцию сложения над двоичными числами: 11101112 + 1110002; 100001012 + 10111102.

4.Выполните операцию вычитания над двоичными числами: 11111002 – 11010112; 101100002 – 11110102.

5.Выполните операцию умножения над двоичными числами: 10010102 · 10112; 11111112 · 10012.

68

6.Выполните операцию деления над двоичными числами: 1111100002 : 100002; 10101000112 : 110012.

Вариант 13

1.Переведите числа из одной системы счисления в другую с последующей проверкой:

6910=A2; 2510=A3; 6410=A8; 437910=A16; 33317=A10; 1020045=A10.

2.Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа (X10→А2; X10→А8; X10→А16): 158,48710; 2389,08910; 995,94710.

3.Выполните операцию сложения над двоичными числами: 100000012 + 11011012; 110110102 + 11000112.

4.Выполните операцию вычитания над двоичными числами: 111001112 – 100010002; 100000002 – 10100102.

5.Выполните операцию умножения над двоичными числами: 10110112 · 101002; 11100102 · 1102.

6.Выполните операцию деления над двоичными числами: 11010010002 : 1110002; 10111000002 : 1000002.

Вариант 14

1.Переведите числа из одной системы счисления в другую с последующей проверкой:

7810=A2; 3210=A3; 11910=A8; 534810=A16; 312215=A10; 205449=A10.

2.Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа (X10→А2; X10→А8; X10→А16): 986,79710; 1246,79310; 2151,51110.

3.Выполните операцию сложения над двоичными числами: 100000112 + 11101012; 100001102 + 11000012.

4.Выполните операцию вычитания над двоичными числами: 11110002 – 10001002; 100010012 – 10101102.

5.Выполните операцию умножения над двоичными числами: 1001112 · 111002; 1000012 · 101012.

69

6.Выполните операцию деления над двоичными числами: 10000111002 : 11002; 10011001002 : 100012.

Вариант 15

1.Переведите числа из одной системы счисления в другую с последующей проверкой:

8110=A2; 2810=A3; 9710=A8; 397610=A16; 11105=A10; 10011004=A10.

2.Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа (X10→А2; X10→А8; X10→А16): 1675,49310; 160,89310; 3580,79910.

3.Выполните операцию сложения над двоичными числами: 11100112 + 11000102; 100010012 + 11111012.

4.Выполните операцию вычитания над двоичными числами: 111010102 – 11110112; 1001011012 – 11010012.

5.Выполните операцию умножения над двоичными числами: 1110102 · 11012; 1111102 · 100112.

6.Выполните операцию деления над двоичными числами: 10011101012 : 1001012; 11001100012 : 100112.

70

Раздел 2. ИЗМЕРЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ

2.1. Основные сведения

Информация – сведения об объектах и явлениях окружающей среды, их параметрах, свойствах и состоянии, которые уменьшают имеющуюся о них степень неопределенности, неполноты знаний.

За единицу измерения количества информации принимается 1 бит. 1 байт = 23 бит = 8 бит.

Более крупными единицами измерения информации являются: 1Кбайт (килобайт) = 210 байт = 1024 байт.

1Мбайт (мегабайт) = 210 Кбайт = 1024 Кбайт. 1Гбайт (гигабайт) = 210 Мбайт = 1024 Мбайт. 1Тбайт (терабайт) = 210 Гбайт = 1024 Гбайт. 1Пбайт (петабайт) = 210 Тбайт = 1024 Тбайт.

Пример 1. Получено сообщение, объём которого равен 45 битам. Определите, чему равен объём сообщения в Кбайтах.

Решение:

Пример 2. Сколько файлов размером по 120 Кбайт каждый можно разместить на диске ёмкостью 210 Мбайт?

Решение: 210 Мбайт = 210 · 210 Кбайт.

210 210 215040 1792 (файла). 120 120

Известно несколько подходов к измерению информации:

1)алфавитный;

2)содержательный;

3)вероятностный.

2.2. Алфавитный подход к измерению информации

Использование алфавитного подхода при измерении информации позволяет определить количество информации, заключенной в тексте. Символы, используемые при записи текста, называются алфавитом. Полное число символов используемого алфавита называется мощностью алфавита. Обозначим мощность алфавита буквой N.

Учитывая, что каждый символ алфавита может появиться в очередной позиции текста в любой момент и несет i бит информации, мощность алфавита можно посчитать по формуле N = 2i.

71

Приведенная формула является показательным уравнением относительно неизвестной i. Решение такого уравнения имеет вид i = log2N – логарифм от N по основанию 2.

Следовательно, в 2-символьном алфавите каждый символ несет 1 бит информации (log22 = 1), в 4-символьном – 2 бита информации (log24 = 2), в 8- символьном – 3 бита (log28 = 3) и т.д.

Если весь текст состоит из K символов, то для расчета содержащейся в нем информации используется формула I = K · i.

Пример 1. Сообщение записано 32-символьным алфавитом и содержит 30 символов. Какой объём информации оно несёт?

Решение:. i = log2N = log232 = 5 (бит) информации содержит каждый символ данного алфавита. Так как в тексте содержится K = 30 символов, то

I = K · i = 30 · 5 = 150 (бит) информации содержит все сообщение.

Пример 2. Книга, набранная с помощью компьютера, содержит 250 страниц; на каждой странице 40 строк, в каждой строке 50 символов. Каков объем информации в книге в килобайтах?

Решение: Мощность компьютерного алфавита равна 256. Один символ несет 1 байт информации. Таким образом, страница содержит 40 · 50 = 2000 байт информации. Объем информации во всей книге равен: 2000 · 250 = 500000 байт. 500000 / 1024 = 488,28125 Кбайт.

Пример 3. Сообщение, занимающее 4 страницы, содержит 1/2 Кбайта информации. Каждая страница состоит из 256 символов. Какова мощность алфавита, с помощью которого записано сообщение?

Решение: Все сообщение состоит из 4 · 256 = 1024 символов. Один сим-

24 = 16 символов.

Практические задания

1.Сколько килобайт содержит сообщение из 64-символьного алфавита?

2.Для записи текста, каждая страница которого состоит из 20 строк по 60 символов, использовался 128-символьный алфавит. Какой объем информации содержат 3 страницы текста?

72

3.Сообщение, записанное с помощью 32-символьного алфавита, занимает 4 страницы по 24 строки каждая. Все сообщение содержит 42 байта информации. Сколько символов в строке?

4.Два сообщения содержат одинаковое количество символов. Во втором сообщении количество информации в 2 раза больше, чем в первом. Сколько символов содержит первый алфавит, с помощью которого записано сообщение, если известно, что размер второго алфавита равен

32?

5.Пользователь компьютера, хорошо владеющий навыками ввода информации с клавиатуры, может вводить в минуту 100 знаков. Какое количество информации в байтах может ввести пользователь в компьютер за 5 минут, если мощность алфавита равна 256?

2.3. Содержательный подход к измерению информации

Данный подход дает количественную оценку информации: нужная, важная, интересная, вредная и т.д. Все люди имеющуюся информацию могут оценить по-разному. Сообщение, уменьшающее неопределённость знаний человека в два раза, несет 1 бит информации.

Если в некотором сообщении сказано, что произошло одно из N равновероятных событий, т.е. ни одно событие не имеет преимуществ перед другим, тогда количество информации, заключённое в этом сообщении, i бит и число N связаны формулой Хартли: i = log2N.

Для задач с применением данной формулы используется табл. 2.

Таблица 2. Количество информации и числа равновероятных событий

73

Пример 1. В корзине 16 мячей разного цвета. Сколько информации несет сообщение о том, что из корзины достали мяч синего цвета?

Решение: Вытаскивание любого из 8 мячей равновероятно, следовательно, количество информации, заключенной в сообщении о вытаскивании одного такого мяча, находится по формуле i = log216 = 4.

Пример 2. При угадывании целого числа в диапазоне от 1 до M было получено 5 бит информации. Чему равно М?

Решение: Число М находится из формулы

5 = log2М, отсюда М = 25 = 32.

Пример 3. Сколько информации содержится в сообщении о том, что из колоды карт достали случайным образом даму пик (колода 36 карт)?

Решение: i = log 2 36 = 5,16993 бит.

Практические задания

1.В школьной библиотеке 16 стеллажей с книгами. На каждом стеллаже 10 полок. Библиотекарь сообщил Андрею, что нужная ему книга находится на втором стеллаже на третьей полке сверху. Какое количество информации библиотекарь передал Андрею?

2.В коробке лежат 7 цветных карандашей. Какое количество информации содержит сообщение, что из коробки достали красный карандаш?

3.Сколько бит информации несет угадывание числа из заданного диапазона, в котором находится 128 чисел?

4.Какое количество информации несет в себе сообщение о том, что нужный файл находится на одной из четырех дискет?

5.После прочтения статьи неопределенность знаний уменьшается в 8 раз. Какое количество информации содержит текст?

2.4. Вероятностный подход к измерению информации

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1. На ровную поверхность мы бросаем монету. При этом она окажется в одном из двух положений: «орел» или «решка». Каждое из этих событий произойдет с равной вероятностью.

Решение: Обозначим рр – вероятность выпадения «решки», ро – вероятность выпадения «орла», тогда рр = ро = 1/2 = 0,5.

74

Пример 2. В коробке лежат 12 карандашей разного цвета. С равной вероятностью из коробки могут достать карандаш любого цвета.

Решение: р = 1/12.

Количество информации i и число равновероятных событий N связаны между собой формулой Хартли: i = log2N.

Пример 3. В вазе лежат 16 конфет разного вида. Сколько информации несет сообщение о том, что из вазы взяли конфету «Ромашка»?

Решение: То, что из вазы возьмут любую из 16 конфет, равновероятно, следовательно, количество информации об одной такой конфете находится по формуле i = log216 = 4 бита.

Зависимость вероятности события и общего числа этих событий определяется по формуле N = 1/p.

Отсюда формула Хартли примет вид i = log2(1/p). Данная формула применяется и для тех случаев, когда вероятности результатов опыта неодинаковы.

Пример 4. В коробке лежат 6 желтых, 10 красных, 8 синих и 6 зеленых

кубиков. Сколько информации несет сообщение о том, что достали синий кубик, желтый кубик, красный кубик, зеленый кубик?

Решение: Обозначим рж – вероятность попадания при вытаскивании желтого кубика; рк – вероятность попадания при вытаскивании красного кубика; рс – вероятность попадания при вытаскивании синего кубика; рз – вероятность попадания при вытаскивании зеленого кубика. Тогда

Вероятностный метод используется и для алфавитного подхода. В этом

Пример 5. Какое количество информации будет получено при бросании несимметричной четырехгранной пирамиды, если вероятности отдельных со-

бытий будут равны р1 =1/4; р2 = 3/8; р3 = 1/8; р4 =1/4.

Решение: Количество информации, полученное при реализации одного из четырех возможных событий, равно

I = – (1/4 · log21/4 + 3/8 · log23/8 + 1/8 · log21/8 + 1/4 · log21/4) = = – (–1/2 +3/8 · 1,58 – 9/8 – 3/8 – 1/2) = 1,9075.

75

2.Письмо, набранное на компьютере, содержит 1000 символов. Определите объем информации в килобайтах, полученный при прочтении письма.

3.Группа спортсменов пришла в бассейн, в котором 8 дорожек для плавания. Сколько информации получила группа, если тренер сообщил, что они поплывут по второй дорожке?

4.В авиакомпании есть 15 самолетов. Сколько информации несет сообщение о том, что вы полетите на самолете ТУ-154, если их в авиакомпании 5?

5.Вероятность первого события равна 0,4; второго – 0,1; третьего – 0,2; четвертого – 0,3. Какое количество информации мы получим после реализации одного из них?

Вариант 3

1.Какую часть диска емкостью 210 Мбайт занимают 2 файла, объем информации которых равен 60 байт и 150 Кбайт соответственно?

2.Объем сообщения, написанного 32-символьным алфавитом, составляет 8 байт. Определите, сколько символов содержит сообщение.

3.Каково было количество возможных событий, если после реализации одного из них было получено 4 бита информации?

4.В таксопарке 16 автомобилей «Волга» и 8 автомобилей «Лада». Сколько информации несет сообщение, что вы поедете на автомобиле «Лада»?

5.В аэропорту готовятся к вылету 5 самолетов ИЛ-86, 3 – А-310, 7 – ТУ134 и 2 – «Боинг-737». Сколько информации несет сообщение о взлете самолета?

Вариант 4

1.Информация записана на диск емкостью 700 Мбайт и занимает 1/8 его часть. Каков объем информации в байтах?

2.Учебное пособие, набранное с помощью компьютера, содержит 75 страниц по 45 строк, в каждой строке по 70 символов. Определите объем информации учебного пособия.

3.Какой объем информации содержит текст, если неопределенность знаний после его прочтения уменьшилась в 16 раз?

4.В пруду водится 100 рыб различных пород, из них 20 карпов. Рыбак поймал карпа. Сколько информации несет данное сообщение?

5.На автостоянке стоят 45 автомобилей «Лада», 32 автомобиля «Нива», 14 автомобилей «Тойота» и 9 автомобилей «Волга». Какое количество информации несет сообщение о выезде автомобиля со стоянки?

77