493

Водитель, следующего за ним автомобиля №3, тормозит с запаздыванием с максимальным замедлением 4,2 м/с2. Для выравнивания скорости водитель вынужден разгонять автомобиль, что сопровождается увеличением расхода топлива.

Рис. 24. Ускорения автомобилей в пачке при снижении скорости переднего автомобиля: 4 – передний автомобиль №4; 3 – №3; 2 – №2; 1 – №1

Водитель автомобиля №2, сначала тормозит с большим запаздыванием с максимальным замедлением 4,4 м/с2. Для выравнивания скорости затем разгоняет автомобиль с максимальным ускорением 1,2 м/с2.

Водитель последнего автомобиля №1, тормозит с максимальным замедлением 5,1 м/с2, и разгоняет автомобиль с максимальным ускорением уже 2,8 м/с2, применяя небольшое замедление для достижения скорости потока.

Расчеты показывают, если передний автомобиль в течение 1,5 с тормозит с замедлением 5 м/с2, то последний автомобиль уже тормозит юзом.

Графики на рис. 24 отражают напряженную работу водителей. Расстояния между автомобилями группы показаны на рис. 25. Расстояния изменяются плавно, что указывает на их невысокую информативность для оценки работы водителей.

На рис. 26 показаны графики изменения ускорений автомобилей в пачке при разгоне переднего автомобиля с ускорением 2 м/с2 в течение 0,7 с со скорости 16,7 м/с до 20 м/с. Интервал между автомобилями 34 м.

Водители автомобилей №3, №2, №1 нажимают на педаль «газ» с запаздыванием и автомобили движутся с ускорением, немного больше ускорения переднего автомобиля. Для выравнивания скоростей применяют замедление, которое можно получить при торможении двигателем.

41

Рис. 25. Расстояния между автомобилями в пачке при снижении скорости переднего автомобиля: 4 – №4 и №3; 3 – №3 и №2; 2 – №2 и №1

Существует другой подход к определению коэффициента чувствительности и времени реакции водителя в потоке. Он основан на том, что при движении по дороге водитель видит перед собой сечение Q находящегося перед ним автомобиля. Коэффициент связывают с площадью этого сечения и получают аналогичное дифференциальное уравнение:

где k* = f (Q0) коэффициент пропорциональности, m > 1 – степень, учитывающая нелинейность зависимости площади Q от расстояния между автомобилями, Q0, м2 – лобовая площадь автомобиля (площадь Миделя).

Это позволяет учесть состав транспортного потока. Например, известно, что водитель, движущийся за автомобилем большого сечения, для улучшения видимости выдерживает большую дистанцию.

При равномерном движении потока автомобилей расстояния между автомобилями выравниваются, и мы имеем устойчивое движение. Такое движение называют асимптотически устойчивым.

При движении потока с минимальными расстояниями между автомобилями образуются незатухающие колебания расстояний между автомобилями. Движение становится колебательным.

Если в потоке имеют место кратковременные торможения отдельных автомобилей под действием внешних факторов, то движение не стабилизируется, образуются заторы. К образованию заторов приводит установка лишних светофорных объектов, оборудование чрезмерного числа пешеходных переходов, и др.

42

Рис. 26. Ускорения автомобилей в пачке при разгоне переднего автомобиля со скорости 16,7 до 20 м/с: 4 – передний №4 автомобиль; 3 – №3; 2 – №2; 1 – №1

Теорию следования за лидером используют при расчете процесса разгона пачки автомобилей с перекрестка, при расчете заполнения очереди на перекрестке и др.

Теорию следования за лидером можно применять при расследовании ДТП, в которых имело место движение пачки автомобилей.

7.3. Макроскопическая теория ТП

Разработаны модели ТП, построенные на учете макроскопических явлений, имеющих место в потоке.

Поток нельзя представить как обычную не сжимаемую жидкость. Если такая жидкость движется по трубе переменного сечения, то в широком месте скорость потока снижается, а в узком месте увеличивается. В узком месте автомобили должны двигаться с большой скоростью с прежними пространственными интервалами. Это противоречит свойствам ТП: при увеличении скорости интервалы увеличиваются.

Поток нельзя представить в виде обычного газа. Газ может сжиматься, а транспортный поток при низкой скорости становится плотным и не сжимается.

Поэтому поток представляют в виде сжимающейся жидкости, которая имеет одновременно свойства жидкости и газа. Он состоит из близко расположенных друг к другу автомобилей, образующих сплошную среду. Такой, гидродинамический подход, разработан Д. Дрю (США).

Законы движения сжимающейся жидкости известны. Они разработаны в гидродинамике: закон неразрывности; закон сохранения количества движения; закон сохранения энергии.

Для описания транспортного потока применяют, рассмотренное

43

выше, основное уравнение, связывающее его интенсивность , плотность и скорость V:

= V .

Объем жидкости, проходящей через трубу, определяется величиной подаваемой на ее вход жидкости. Движение сжимающейся жидкости во многом соответствует движению не сжимаемой жидкости: объем жидкости, входящей в трубу равен объему жидкости, выходящей из трубы. Это свойство выражает закон неразрывности.

Закон неразрывности накладывает ограничение на поток: движение должно быть установившемся. Процесс заполнения трубы противоречит закону неразрывности жидкости. Это не позволяет моделировать заполнение свободных дорог автомобилями, остановку транспортного потока перед светофором (гидроудар), и др. Поэтому макроскопическую модель применяют для описания установившегося (стационарного) транспортного потока.

Пусть поток располагается в некоторой трубе (рис. 27), и движется вправо по переменной x. Движения потока происходит по времени t.

Выделим в потоке участок длиной x (см. рис. 27). Пусть за интервал времени t на этот участок прибывает N1 автомобилей и выбывает N2 автомобилей. Тогда число N автомобилей, находящихся на этом участке, будет равно разности: N = N1 – N2. Если N > 0, то плотность на участке увеличится, если N < 0, то плотность уменьшится.

Рис. 27. Схема к составлению уравнений макроскопической модели ТП

Однако для равномерно движущейся жидкости масса, входящая на участок x, равна массе жидкости, выходящей из участка. Поэтому транспортный поток представляют стационарным, и принимают следующие условия (ограничения): если на участке увеличивается плотность, то уменьшается скорость движения; если уменьшается плотность, то скорость – повышается.

Дифференцируем основное уравнение ТП: d /dt = V d /dt + dV/dt = 0.

В эту формулу не входит расстояние, что не позволяет составить модель ТП. Поэтому принимают: плотность связана с расстоянием x, а

44

интенсивность со временем t, и составляют уравнением неразрывности:

Оно содержит частные производные по расстоянию и времени. Сумма скорости изменения интенсивности по расстоянию и скорости изменения интенсивности (за счет изменения плотности) по времени равна нулю. Уравнение отражает, что число Nвх входящих слева в поток автомобилей равно числу Nвых выходящих из него справа автомобилей (см. рис. 27).

Запишем уравнение движения потока автомобилей, используя известное уравнение, описывающее движение потока сжимаемой жидкости:

где C – постоянная, отражающая сжимаемость потока.

Запишем смысл этого уравнения: ускорение ТП (–dV/dt) прямо пропорционально производной плотности потока по расстоянию, и обратно пропорционально величине плотности потока.

Если на участке x плотность потока снижается (d /dx < 0), то скорость V потока увеличивается. Если на участке плотность потока увеличивается, то скорость V потока уменьшается. Увеличение и снижение скорости потока зависит от его плотности и сжимаемости. При малой плотности поток быстро реагирует на изменение плотности на участке. При большой плотности скорость потока изменяется медленно.

Вывод сложных формул, выражающих закон сохранения количества движения и энергии потока, опускаем.

Из уравнений (6.14) и (6.15) составляют систему дифференциальных уравнений с частными производными с неизвестными V и . Интенсивность выражают через скорость и плотность, используя основное уравнение ТП. Задают начальные условия. Теперь их называют граничными условиями. Магистраль представляют состоящей из различных участков. Для каждого участка в уравнения (6.14) и (6.15) вводят соответствующие граничные условия и коэффициенты, учитывающие ширину дороги на участке, наличие препятствий движению и др.

Получают математическую модель ТП, по которой рассчитывают квазистационарное его движение. Однако эта модель является сложной и редко применяется в практических расчетах.

Библиографический список

1. Автомобильные перевозки и организация дорожного движения:

45

Справочник. Пер. с англ. /В.У. Рэнкин, П. Клафи, С. Халберт и др. – М.:

Транспорт, 1981. – 592 с.

2. Теория транспортных потоков в проектировании дорог и организации движения. Сильянов В.В. М.: Транспорт, 1977, 303 с.

46