493

полосами – до 1250 авт/ч (325 на одну полосу).

6.4. Смешанные распределения

Наибольшее практическое применение получило трехкомпонентное, смешанное распределение, предложенное Лобановым Е.М., которое называют составным распределением. Вероятность p(t) интервалов времени складывается из трех слагаемых:

p(t) A p1(t) B p2 (t) C p3(t),

где p1(t), p2(t), p3(t) – функции, выражающие распределения интервалов соответственно в свободном, частично связанном и связанном потоке. Коэффициенты A, B, C равны долям интенсивности движения в свободной, частично связанной и связанной части потока от общей интенсивности.

Смешанное распределение позволяет хорошо описывать распределение интервалов на магистралях с непрерывным движением: на дорогах с двумя полосами движения при интенсивности до 450 авт/ч, с четырьмя полосами – до 1000 авт/ч, и с шестью полосами – до 2000 авт/ч.

Кроме рассмотренных распределений иногда используют распределение Эрланга и Гамма. Формулы, выражающие эти распределения можно найти в книге /2/.

6.5. Области применения распределений

Рассмотренные распределения применяются для описания транспортных потоков типа А, Б и В (табл. 3).

Распределения являются основой для теоретического описания движения ТП при невысокой его плотности (коэффициент загрузки kз 0,5). Такие потоки образуются часто. Для них требуется применение мероприятий по повышению безопасности движения, а также планировочных мероприятий и мероприятий по организации движения.

Вероятностные законы применяют при решении следующих задач:

– оценка эффективности планировочных решений и средств

31

регулирования;

–оценка пропускной способности участков пересечения, переплетения и слияния потоков;

–выбор оптимального режима работы светофорных объектов;

–оценка аварийности движения.

Следует заметить, что на практике наиболее часто применяют распределение Пуассона. Оно наиболее простое, что значительно упрощает аналитический аппарат. Все основные решения, применяемые в теории массового обслуживания, получены на основе распределения Пуассона. Для других распределений аналитические решения, пригодные для практического применения, еще не разработаны. В связи с применением в светофорных объектах микропроцессоров последнее замечание не уже имеет принципиального значения. Современные микропроцессоры позволяют быстро вычислять интегралы и другие сложные функции.

§7. Моделирование движения плотных потоков

Потоки, в которых автомобили движутся в тесном взаимодействии друг с другом, относят к плотным потокам. Они образуются при уровнях удобства В и Г.

Для описания движения ТП при высокой плотности применяются три теории: динамическая теория следования за лидером, спектральная теория взаимодействия автомобилей в колонне и макроскопическая теория транспортного потока.

Существуют два подхода к описанию движения плотного потока:

1)учитывают взаимодействие между отдельными автомобилями;

2)представляют поток в виде сплошной среды.

Первый подход принято называть микроскопическим подходом, а второй – макроскопическим подходом.

При микроскопическом подходе используют закономерности взаимодействия одиночных автомобилей между собой в плотном потоке. Наибольшее внимание обращают на механизмы воздействия автомобилей друг на друга, детально рассматривая работу системы «автомобиль - водитель».

В плотном потоке режим движения автомобилей устанавливается в зависимости от решений, принимаемых водителями. Действия водителя

32

зависят от дистанции между автомобилями, скорости, состояния покрытия дороги, технического состояния автомобиля и обстановки на соседних полосах движения. Движение потока также зависит от времени реакции водителей. Частично используют сведения, полученные в курсе «Теория автомобиля».

Модели, получаемые при микроскопическом подходе, позволяют рассчитывать пропускную способность дорог, среднюю скорость движения, плотность ТП. Микроскопический подход дает хорошие результаты при рассмотрении коротких участков дорог.

При макроскопическом подходе поток представляют в виде сплошной среды, например, сжимаемой или несжимаемой жидкости. Это позволяет использовать математический аппарат, разработанный в гидродинамике или динамике газов.

Получают общие параметры, выражающие плотность, интенсивность и скорость ТП. Дополнительно получают параметр, характеризующий энергетическое состояние потока. Последний параметр не привычен для автомобилистов. Модели, получаемые по второму подходу, позволяют рассчитать общие параметры ТП и связи между ними. Однако опускаются механизмы взаимодействия автомобилей друг с другом, которые детально рассматриваются при первом подходе.

7.1. Простая динамическая теория движения плотного потока

Рассмотрим параметры, характеризующие взаимодействие автомобилей в плотном потоке.

Динамические модели, относящиеся к первой группе, построены на двух гипотезах: все автомобили движутся в потоке с одинаковой средней скоростью; расстояние между автомобилями достаточно для их полной остановки.

Скорость V потока считают независимым параметром. Основной задачей простой динамической теории является описание зависимости пространственного интервала lП от скорости и влияющих факторов. Плотность и интенсивность ТП находят по этому интервалу. Пространственный интервал lП связывают с минимальным, безопасным

где lа – длина переднего автомобиля; lр = V tр – путь, проходимый задним автомобилем за время реакции водителя; lо – запас пути. Фактически полагают, что тормозные пути переднего и заднего автомобилей одинаковые.

33

Применение формулы (7.1) дает большие погрешности, так как не учитываются сцепление шин с покрытием, различие тормозных свойств автомобилей и времени реакции водителей.

Во втором приближении расстояние d находят с учетом тормозного пути lт заднего автомобиля:

Тормозной путь lт вычисляют по приближенной формуле: lт = V2/(2 g ),

где – коэффициент сцепления шин с покрытием дороги, g = 9,81. Фактически полагают, что тормозной путь переднего автомобиля равен нулю.

Формула (7.2) лучше описывает экспериментальные зависимости интервала d от скорости на разных дорогах. Однако она дает завышенные значения интервала d, так как передний автомобиль не может мгновенно остановиться. Формула отражает процесс экстренного торможения автомобиля, но не учитывает различие тормозных свойств переднего и заднего автомобилей.

Для учета указанного различия формулу (7.2) усложняют:

d = lа + lр + lо + lт2 – lт1, (7.3)

где lт1, и lт2 – тормозной путь переднего и заднего автомобилей. Применение формулы вида (7.3) позволяет получить результаты,

более близкие к фактическим данным. При расчете можно подбирать значения параметров, отражающих влияющие факторы: время реакции водителя; эксплуатационное состояние тормозов; сцепление шин с покрытием дороги.

Однако результаты расчетов по формуле (7.3), полученные разными исследователями, существенно отличаются (рис. 24). Разница обусловлена различием значений параметров, отражающих влияющие факторы, которые используют исследователи.

Рис. 24. Зависимости пространственных интервалов от скорости, рассчитанные разными исследователями

Экспериментальные исследования, выполненные разными авторами,

34

показали, что фактически нет такого существенного различия в величинах расстояний d (рис. 25). Однако время реакции водителей изменяется в широких пределах. Например, при движении в потоке время реакции одного водителя изменяется в течение 2 часов от 0,45 до 1,2 c. Если у переднего автомобиля несправна система сигнализации и не работает сигнал торможения, то при больших расстояниях водитель заднего автомобиля реагирует на торможение иногда через 5 … 6 c.

Рис. 25. Экспериментальные зависимости пространственных интервалов от скорости: 1 – Хорошилов Н.Ф., 2 – Сильянов В.В., 3 – США

Эксперименты, выполненные Лобановым Е.М, показали, что время реакции водителя существенно зависит от времени рабочего дня. В первой половине рабочего дня время изменяется от 0,3 до 0,77 c при среднем значении 0,42 c. Во второй половине рабочего дня время изменяется от 1,13 до 2,25 c при среднем значении 1,4 c. То есть, увеличивается почти в два раза. Установлено, что время реакции водителя распределяется по нормальному закону (рис. 26). Лобановым Е.М. разработана методика расчета времени реакции водителя в различных дорожных условиях.

Рис. 26. Распределение времени реакции водителя на двухполосной дороге:

35

1 – при ожидаемом сигнале; 2 – при неожиданном сигнале

В книге Сильянова В.В. описано основное уравнение простой динамической модели плотного потока в следующем виде:

d = lо + lр + lт2 – lт1 + lj. (7.4)

Расстояние lо между остановившимися автомобилями принимается в зависимости от скорости движения:

V2 – скорость заднего автомобиля; tр – время реакции водителя; tmin – минимальное время, необходимое водителю для осознания ситуации (см. на рис. 26 смещение кривой 2 относительно кривой 1).

Разность lт2 – lт1 тормозных путей вычисляется по формуле: lт2 – lт1 = V (lт2 –lт1), lт1 = V12/(2 jmax)/k, lт2 = V22/(2 jmax),

где: V – параметр безопасности, зависящий от разности скоростей переднего V1 и заднего V2 автомобиля; если разность V2 > V1, то параметр

V 1; если V2 < V1, то V < 1;

параметр k 1 учитывают в том случае, если водитель заднего автомобиля тормозит с замедлением меньше максимального;

jmax – максимальное замедление переднего автомобиля, которое может ожидать водитель заднего автомобиля; оно ограничено коэффициентом сцепления шин;

Поправка lj учитывает способность водителя заднего автомобиля чувствовать величину замедления переднего автомобиля. Поправка вычисляется с помощью функции:

lj = f ( а, jmax, t, tр, V2),

где: а – дополнительный коэффициент, учитывающий способность водителя заднего автомобиля чувствовать замедление.

Формула (7.4) позволяет учесть все особенности процесса торможения двух автомобилей. Полный вид функции поправки можно найти в работе Wohl M, Martin V. “Traffic System Analysis”. 1967 – 570 p.

При практическом применении основного уравнения (7.4) необходимы значения 9 параметров. Они зависят от состава и скорости потока, состояния водителей, сцепления шин с дорогой и др. Значения параметров можно найти в специальной литературе.

Расстояния между двумя автомобилями, найденные по простой модели, распространяют на весь поток автомобилей. Такой подход нельзя

36

считать корректным, так как не учитывается разнородность состава плотного потока. На практике выполняют следующие действия:

–по формулам (7.3), (7.4) вычисляют расстояния для комбинаций разных моделей автомобилей;

–используя экспериментальные данные, находят по эмпирическим зависимостям те же расстояния для выбранных комбинаций;

–рассчитывают средние значения, полученные по расчетным и эмпирическим зависимостям.

7.2. Динамическая теория следования за лидером

Теория следования за лидером является развитием простых динамических моделей, рассмотренных выше. В основу тории положена гипотеза: в плотном потоке взаимодействие автомобилей подчиняется некоторому закону.

Движение автомобиля в потоке описывается дифференциальным уравнением. Поэтому применяются начальные условия. Полагают, что в начальном состоянии все автомобили движутся на расстоянии, определенном правилами дорожного движения. Положение (координаты) автомобилей на дороге определяют по переменной x.

Учитывают следующие расстояния, м:

lО – минимальное расстояние между стоящими автомобилями; ln – длина автомобиля номер n;

lРn – путь автомобиля номер n за время реакции водителя tР.

Задний автомобиль имеет номер n, передний – номер n + 1 (рис. 22). Задний автомобиль, движущийся со скоростью Vn, за время tР реакции водителя проходит путь tР Vn.

37

Рис. 22. Номера автомобилей на дороге

Запишем координату xn+1 переднего автомобиля, связывая ее с координатой xn заднего автомобиля:

xn+1 = xn + lО + tР Vn + ln+1. (6.5)

Дифференцируем формулу (6.5) по времени t. Учитываем, что расстояния lО, ln+1 являются постоянными:

Уравнение (6.7) называют первым дифференциальным уравнением теории следования за лидером. Оно выражает следующее: задний автомобиль движется с ускорением прямо пропорциональным разности скоростей переднего и заднего автомобилей. Время tР в дифференциальном уравнении является постоянной времени.

Отношение 1/tР называют коэффициентом пропорциональности или чувствительностью водителя заднего автомобиля и записывают уравнение в виде:

Основной принцип модели следования за лидером заключается в том, что водитель реагирует на разность скоростей, которая рассматривается как раздражение. Реакцией водителя является ускорение, которое создается разгоном автомобиля с помощью педали «газ» или торможением с помощью педали «тормоз».

Запишем уравнения (6.7) для двух автомобилей:

xn (xn 1 xn )/tр.

где xn+2 – перемещение переднего, третьего n + 2 автомобиля. Мы получили систему двух дифференциальных. Однако эта система фактически выражает запаздывание движения автомобиля n + 1 относительно автомобиля n + 2, и запаздывание автомобиля n

38

относительно автомобиля n + 1. Оно выражается в сдвиге по времени расстояний и уменьшении амплитуды их изменения.

Исследования, выполненные зарубежными учеными Д. Гейзис, Р. Герман и Р. Потс, показали, что коэффициент не является постоянным. Он зависит от расстояния d между автомобилями и характерной, средней скорости потока v0:

следования за лидером. Из него следует: ускорение заднего автомобиля прямо пропорционально разности скоростей переднего и заднего автомобилей, и обратно пропорционально расстоянию между ними. В этом уравнении теперь не присутствует время реакции водителя (см. уравнение

6.7).

Системы дифференциальных уравнений, составленные из уравнений (6.11), описывают движение автомобилей в пачке, состоящей из трех и более автомобилей.

По уравнению (6.11) реакция водителя зависит не только от расстояния до следующего перед ним автомобиля. Для анализа этой взаимосвязи предложена обобщенная формула коэффициента чувствительности водителя заднего автомобиля, учитывающая число m

автомобилей в пачке:

= З v0m/dсk,

где З 1 – коэффициент, учитывающий чувствительность водителя заднего автомобиля; dс – среднее расстояние между автомобилями в группе. Степень k обычно принимают в пределах от m – 2 до m.

Запишем коэффициент в том виде, в каком он участвует в формуле (6.10): = v0/d. Подставляем размерности и получаем: (м/с)/м = с–1. То есть, обратная величина 1/ также является постоянной времени T.

Пусть поток движется со скоростью 8 м/с (менее 10 км/ч), T = 3 с. Построим график изменения скорости заднего автомобиля при скачкообразном увеличении скорости переднего автомобиля на 4 м/с (рис. 23).

Зависимость скорости от времени выражается экспоненциальным законом с постоянной времени 3 с, для которого на рис. 23 величина

= = 0,63 4 = 2, 52 м/с.

Выполнены расчеты движения пачки из 4 автомобилей. Выявлены следующие особенности и закономерности.

39

Рис. 23. График приближения скорости заднего автомобиля к скорости переднего автомобиля 12 м/с

Уравнения (6.7) и (6.11) фактически уже не учитывают расстояния lО и ln между автомобилями в пачке, которые были использованы в расчетной схеме, хотя они имеются в начальных условиях. При увеличении скорости переднего автомобиля пачка растягивается по пути, а при снижении скорости – сжимается. В результате расстояния d между автомобилями не связаны с расстояниями lО, ln и lРn.

Для уточнения уравнений предлагается ввести в формулы дополнительный член:

xn v0 (xn 1 xn )/d (xn 1 xn )/ d , (6.12)

где – пространственный интервал между автомобилями при средней скорости потока (см. рис.20); d = (2 … 4) v0/d – время реакции водителя на изменение интервала между автомобилями. По величине дополнительный член меньше первого члена в 2 … 4 раза. Он учитывает стремление водителей выдерживать безопасное расстояние или образовывать пачку автомобилей.

При расчете приходится учитывать ограничение максимального замедления автомобиля сцеплением шин с дорогой, и ограничение максимального ускорения по внешней, скоростной характеристике двигателя.

Рассмотрим движение пачки из 4 автомобилей при служебном торможении первого автомобиля с замедлением 3,5 м/с2 в течение 1,5 с. Отношение v0/d примем 0,5 с. Ограничим максимальные ускорения автомобилей 3 м/с2, минимальные замедления – минус 7 м/с2. Примем начальную скорость 60 км/ч. Результаты расчета отобразим на рис. 24 и рис. 25.

Пусть передний автомобиль №4 снизил скорость и движется с этой скоростью равномерно.

40