396

Вдискретном ряду значение медианы определяют по накопленным частотам.

Винтервальном ряду сначала определяют интервал, в котором лежит медиана, – это первый интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину общего числа наблюдений. Затем определяют численное значение медианы по формуле

SМе-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному; fМе – частота медианного интервала.

3. Средняя арифметическая для дискретного ряда распределения определяется по формуле

хх f ,

f

где х – варианты значений признака; f – частота повторения данного варианта.

Средняя арифметическая для интервального ряда распределения

хх f ,

f

где х′ – середина соответствующего интервала значения признака; определяется как средняя из значений границ интервала.

2.2. Показатели вариации признака

Для характеристики размера вариации признака используются абсолютные и относительные показатели.

К абсолютным показателям относятся:

1. Размах колебаний (размах вариации)

13

R Xmax Xmin ,

где Хmax, Хmin – соответственно максимальное и минимальное значения признака.

2. Среднее линейное отклонение определяется по формулам:

а) для несгруппированных данных

d xn x ;

б) для интервального ряда

d x x f .f

3. Среднее квадратическое отклонение определяется следую-

щим образом:

а) для несгруппированных данных

б) для интервального ряда

4. Дисперсия определяется по формулам: а) для несгруппированных данных

σ2 (хn х)2 ;

б) для интервального ряда

σ2 (х х)2 f .

f

14

Относительные показатели вариации применяются при срав-

нении колебаний различных признаков в одной и той же совокупности. К ним относятся:

1)коэффициент осцилляции

КR Rx 100 %;

2)относительное линейное отклонение

3) коэффициент вариации

ν σx 100 %.

2.3. Показатели формы распределения

Показатели формы распределения используются для выражения особенностей формы распределения.

Для сравнительного анализа степени асимметрии нескольких распределений рассчитывается относительный показатель асим-

метрии:

АS x σMo.

Величина показателя асимметрии может быть положительной и отрицательной. Положительная величина указывает на наличие правосторонней асимметрии, отрицательная – левосторонней. Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем больше степень скошенности. Принято считать, что если коэффициент асимметрии меньше 0,25, то асимметрия незначительная, если свыше 0,25, то асимметрия значительная.

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности):

μ

Ех σ44 3,

15

где μ4 – центральный момент четвертого порядка.

Эксцесс может быть отрицательным и положительным. У высоковершинных распределений показатель эксцесса положительный, а у низковершинных – отрицательный. Предельным значением отрицательного эксцесса является значение Ех=-2, величина положительного эксцесса бесконечна.

Задача № 2

По имеющимся данным о возрастном составе 30 рабочих цеха проанализировать распределение рабочих по возрасту. Для этого построить интервальный ряд распределения, дать графическое изображение ряда, определить показатели центра распределения, показатели вариации, показатели формы распределения. Сформулировать вывод.

По табл. 6 по аналогии с задачей № 1 выбирается шифр из трех цифр. Затем из табл. 7 выписывается в строку 3 столбца чисел данные о возрасте 30 работников.

16

Окончание табл. 7

Порядок выполнения задачи № 2

1. Определение количества групп и величины интервала с применением формулы Стерджесса и построение интервального ряда распределения.

2.Графическое изображение ряда – построение гистограммы и полигона распределения рабочих по возрасту и кумуляты распределения.

Кумулята представляет собой ломаную линию, построенную по накопленным частотам.

По кумуляте графическим способом определить медиану, по гистограмме – моду.

3.Расчет показателей центра распределения.

4.Расчет показателей вариации.

5.Расчет показателей формы распределения.

17

3. СЛОЖЕНИЕ ДИСПЕРСИЙ ИЗУЧАЕМОГО ПРИЗНАКА

Оценить влияние факторов, определяющих колеблемость вариант признака, можно с помощью метода группировок, при котором рассчитывается общая средняя для всей совокупности, средние по отдельным группам (частные или групповые) и три показателя дисперсии:

1. Общая дисперсия характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц данной совокупности.

Общая дисперсия определяется по формуле

σо2 (х хо)2 f ,

f

где хо– общая арифметическая средняя для всей изучаемой совокупности.

2. Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию, то есть различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки.

Межгрупповую дисперсию можно определить по формуле

δ2 (хi xo)2 ni ,

ni

где xi – средняя по отдельной группе; ni – число единиц в отдельной группе.

3. Средняя внутригрупповая дисперсия характеризует случай-

ную вариацию, возникающую под влиянием неучтенных факторов, и не зависит от признака, положенного в основу группировки.

Средняя внутригрупповая дисперсия определяется по формуле

σ2 σi2 ni ,

ni

где σi2 – дисперсия по отдельной группе.

18

Указанные дисперсии взаимосвязаны между собой следующим равенством:

σo2 δ2 σ2.

Это тождество отражает закон сложения дисперсий, опираясь на который можно определить, какая часть общей дисперсии складывается под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки.

Задача № 3

Имеются данные 10%-ного случайного бесповторного выборочного обследования рабочих механического цеха.

По табл. 9 определить исходные данные для решения задачи по варианту, по табл. 10 – требования к решению задачи.

19

4. ЭЛЕМЕНТЫ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА

Дисперсионный анализ является одним из методов изучения влияния одного или нескольких факторных признаков на результативный признак. В зависимости от количества факторов дисперсионный анализ подразделяется на однофакторный и многофакторный.

В основе дисперсионного анализа лежит расчленение общей вариации изучаемого признака по источникам ее происхождения на два вида вариации:

–систематическую вариацию, которая обусловлена изменением признака-фактора;

–остаточную (случайную) вариацию, обусловленную действием прочих, случайных, не связанных с данным фактором обстоятельств.

Для разграничения этих вариаций всю совокупность наблюдавшихся единиц разбивают на группы по факторному признаку и вычисляют средние значения результативного признака по группам.

Групповые средние определяются по формуле

общая средняя

~хo nxi ,

где хi – индивидуальные значения признака в группе; ni – число единиц, входящих в группу; n – общее число наблюдений.

Если сравнение групповых средних показывает определенное различие в их уровне, то необходимо установить, является ли это различие существенным и вызвано ли оно влиянием признака-фактора.

Для ответа на поставленный вопрос определяют два показателя дисперсии:

1) показатель S12, характеризующий колеблемость групповых средних вокруг общей средней (межгрупповая дисперсия):

21

S2 (~xi ~xo)2 ni ,

1 K1

где ni – число единиц в группе; К1= m–1; m – число групповых средних (число выделенных групп по признаку-фактору);

2) показатель S22, отражающий остаточную, внутригрупповую дисперсию:

S2 (x xi )2 ,

2 K2

где К2 = n – m.

Полученные показатели сравнивают, получая фактическое дисперсионное отношение:

S2

Fрасч S12 .

2

По таблице F-распределения Р.Фишера (приложение) при определенном уровне доверительной вероятности и числе степеней свободы (К1 и К2) определяется табличное дисперсионное отношение

Fтабл.

Если Fрасч > Fтабл, то следует считать, что гипотеза о влиянии признака-фактора не опровергается.

Задача № 4

По 25 рабочим механического цеха собраны данные о прохождении этими рабочими технического обучения и проценте выполнения норм выработки. Результаты обследования представлены в табл. 11 и 12.

Посредством дисперсионного анализа определить, влияет ли повышение квалификации рабочих на выполнение плана.

22