370

[x+ y]мобр =00,101 000

Единица переноса знакового разряда прибавляется к младшему разряду (циклический перенос)− особенность работы в обратном коде.

Складываются машинные изображения чисел. Ответ: 0,101 000.

[x +y]мобр= 11,000 101

Единица переноса, как и в примере б), прибавляется к младшему разряду.

Складываются машинные изображения чисел. Ответ: -0,111 010. Особенность сложения в обратных кодах: единица переноса

знакового разряда прибавляется к младшему разряду сетки (циклический перенос).

11

2.5. Операция сложения (вычитания) в форме с фиксированной запятой в дополнительном коде

При выполнении операции умножения в машинах с плавающей запятой их порядки складываются (вычитаются). Порядки записываются в разрядной сетке в виде целых чисел. В рассматриваемых примерах сетка имеет 8 разрядов, 1 разряд знаковый.

В разрядную сетку записываются целые числа, запись начинается с заполнения младших разрядов, незанятые разряды заполняются нулями. Примеры:

Складываются машинные изображения чисел. Ответ: 1100

1,1111 101 инвертируем

-0,0000 010

При переводе результата в обычную двоичную запись из младшего разряда вычитается единица, полученное число инвертируется. Ответ: -10.

12

полученная в знаковом разряде, отбрасывается. Ответ: -1100

отбрасывается 1

0,0000 010

Ответ: 10.

2.6. Переполнение разрядной сетки, простой и модифицированный сдвиги, нарушение нормализации числа

В рассматриваемых примерах сетка имеет 8 разрядов, 1 разряд знаковый. Операция сложения выполняется над мантиссами.

Примеры:

При сложении положительных чисел получили отрицательное число, произошло переполнение разрядной сетки. Признак переполнения: знак результата противоположен знакам слагаемых.

произошло переполнение разрядной сетки. Для получения правильного результата необходим простой сдвиг. Для коррекции результата, полученного в примерах а), б), необходимо выполнить простой сдвиг вправо. Рассмотрим,

13

=0,1000001, при этом показатель степени суммы должен быть увеличен на единицу. Аналогичные преобразования необходимо выполнить с результатом, полученным в примере б).

Запишем числа А и В в модифицированном обратном коде и выполним

В знаковых разрядах этих примеров имеем комбинацию 01, что является признаком положительного переполнения, и комбинацию 10, которая является признаком отрицательного переполнения, т.е. в результате выполнения операции сложения получилась сумма больше единицы. В этом случае необходимо выполнить модифицированный сдвиг вправо.

Операция, выполняемая над модифицированными изображениями,

зависит от кода: для дополнительного кода = 0, для обратного = 1.

При сдвиге вправо результата примера в) получим 00,1000 001, при этом показатель должен быть увеличен на единицу. Подобные преобразования должны быть выполнены в примере г).

Выше было отмечено, что числа с плавающей запятой в вычислительных

машинах должны быть записаны в в нормализованном виде: q-1 ≤ |m | < 1,

14

где q-1– признак нарушения нормализации слева, а 1 – признак нарушения нормализации справа. Когда результат по абсолютной величине оказывается меньше q-1, сдвиг выполняется влево, показатель степени при этом уменьшается на единицу.

2.7. Арифметические операции сложения (вычитания) над двоичными числами с плавающей запятой

В современных вычислительных машинах числа с плавающей запятой хранятся в памяти в прямом коде в нормализованном виде, т.е. представлены мантиссой и порядком.

При выполнении операции сложения необходимо выровнять порядки, операция выравнивания приводит к выталкиванию младших разрядов у чисел с меньшим порядком. Возникает погрешность.

Для выравнивания порядков число с меньшим порядком сдвигается вправо на разницу порядков. После перевода слагаемых в соответствующий код выполняется операция сложения (вычитания). В заключение осуществляется нормализация результата и коррекция значений порядка.

2.8.Умножение двоичных чисел, представленных в форме

сплавающей запятой

Внастоящее время разработано достаточно много методов умножения, включая ускоренные. Они отличаются друг от друга составом используемого оборудования, быстродействием, реализуемыми алгоритмами, точностью полученных результатов. При умножении двоичных чисел можно начинать умножение со старших разрядов и с младших.

Впроизведении двух чисел количество разрядов в пределе доходит до суммы количеств значащих цифр множимого и множителя. Следовательно, при умножении двух мантисс количество разрядов для хранения произведения должно быть удвоено.

Операция умножения состоит из ряда последовательных операций

сложения частных произведений. Операциями сложения управляют разряды множителя. Если в разряде множителя находится единица, то к сумме частных произведений добавляется множимое, если в разряде множителя нуль, то множимое не прибавляется. При этом возможны различные варианты сдвигов: либо должно сдвигаться множимое, либо сумма частичных произведений. Рассмотрим более подробно один из

15

возможных вариантов умножения двоичных чисел в форме с плавающей запятой.

Для запоминания двоичных цифр служит двоичный элемент, имеющий два четко различимых состояния. Этот элемент триггер. Совокупность из n таких двоичных элементов, позволяющая зафиксировать n-разрядное двоичное число, называется регистром (Р). Множимое и множитель хранятся в регистрах.

Умножение осуществляется в 4 этапа:

1)определение знака произведения,

2)определение порядка произведения,

3)перемножение мантисс сомножителей,

4)нормализация результата, если необходимо.

множимого и множителя используется разрядная сетка по шесть разрядов: один разряд используется для записи знака, пять – для записи значащих цифр. Для хранения мантиссы произведения потребуется 11 разрядов: 1 знаковый разряд, остальные 10 для хранения значащих цифр мантиссы.

16

Ответ: 0,01111 00011.

В рассмотренном примере реализован метод умножения, начиная с младших разрядов, со сдвигом содержимого множителя и сумматора. Для его реализации требуется 2n-разрядный регистр сумматора, два n- разрядных регистра для размещения множимого и множителя.

4.Нормализуем полученный результат: 0,11110 00110*20010.

2.9.Деление двоичных чисел, представленных в форме

сплавающей запятой, с восстановлением остатка

При реализации операции деления в форме с плавающей запятой необходимо выполнить следующие действия:

17

1)определить знак частного,

2)определить показатель степени частного,

3)найти частное,

4)нормализовать полученный результат.

Для определения знака частного, как и в операции умножения, используется функция сумма по модулю 2. Показатель у частного определяется в соответствии с правилами сложения чисел в форме с фиксированной запятой (см. п. 2.5).

Операция деления, как и в десятичной арифметике, является обратной операции умножения и сводится к последовательности операций сдвига и вычитания. Мантиссы должны быть представлены в дополнительном или обратном коде, и над ними выполняются следующие действия (табл. 3).

В табл. 3 символ В указывает на изменение знака операнда на противоположный.

Рассмотрим на примере получение мантиссы частного. А = - 0,100111 (мантисса делимого).

В = - 0,110001 Ошибка! Ошибка связи.

Запишем машинные изображения мантисс в обратном модифицированном коде.

А обрмод 11,011000

При делении мантисс результат будет получен в прямом коде. Найдем мантиссу частного (табл. 4), через Сi обозначим цифру,

которая записывается в частное.

18

Ответ: 0,110010.

Операция деления относится к числу неточных, результат получается с некоторой погрешностью. Признаком окончания операции может быть достижение заданной точности (количество разрядов в частном) либо получение остатка, равного 0. Как правило, контроль ведется за количеством сдвигов, равным количеству разрядов в частном.

19