Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

361

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

448.9 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

3.2.Обзор и классификация вариантов задания Д-15

Взадании Д-15 требуется определить реакции опор составной конструкции, состоящей из двух твердых тел. Применение принципа возможных перемещений позволяет в любой последовательности определить все четыре реакции опор. Каждый раз при определении очередной реакции делается соответствующая расчетная схема и составляется одно уравнение работ или мощностей. Принципиально все варианты решаются по единому алгоритму. Однако можно выделить три разные группы вариантов в соответствии с имеющимися опорами. Первая

группа две шарнирно-неподвижные опоры, вторая группа три опоры, две из которых шарнирно-подвижные и одна шарнирно-неподвижная, третья группа одна опора шарнирно-подвижная, другая жесткая заделка.

Отметим, что возможные перемещения не зависят от нагрузки, а определяются опорами и внутренними связями твердых тел, входящих в конструкцию.

Варианты первой и третьей групп более просты по решению, причем вариант с жесткой заделкой разобран в примере выполнения задания Д-15 в сборнике А.А. Яблонского, поэтому в данной работе разбираются задачи второй группы вариантов с тремя опорами.

3.3. Задача по Д-15 6

Балки АС и СD соединены между собой шарниром С. Горизон-тальная балка АС, опирающаяся на ребро В призмы, нагружена парой сил с моментом М = 2 103 Нм. Балка СD нагружена посередине силой F = 4 103 Н. Определить модуль реакции опоры В (рис. 8).

				V	М = 2 10	3	Нм,
				D	М = 2 10		Нм,
					F = 4 103 Н.
					______________
	R		VC	D	RB = ?
				D

	B		F		Решение.
			SC		Решение.
			30		Для определения RB
А			30		Для определения RB
M	В	C	2		отбросим мысленно
1		1			призмуВ, заменивее
1		1			действие реакцией RB .
		Рис. 8			действие реакцией RB .
		Рис. 8	Балка	АС получила возможность
			вращаться вокруг неподвижного

шарнира А на угол . Покажем скорости точек С и D, где точка

это шарнирно-подвижная или скользящая опора. Балка СD с указанными

параллельными скоростями VC и VD может двигаться только

поступательно. Покажем возможное перемещение всей конструкции жирной штриховой линией. Запишем уравнение работ.

M RB 1 Fcos30 SC 0,

где SC AC. Рассчитаем RB , сократив .

RB 2 103 4 103 0,866 2 8,93 103Н.

Вместо уравнения работ можно было записать уравнение мощностей

M RB 1 F cos30 VC 0,

где VC = AC. Результат расчета тот же.

4. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

По второму закону Ньютона m a Fi ускорение материальной

точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление (рис. 9).

Рассмотрим точку М, движущуюся под		Ф
действием сил F1, F2	, …, Fn .
		М

Равнодействующая этих сил F Fi .

Даламбер предложил перенести m a в правую часть уравнения и обозначить силу инерции

материальной точки Ф m a, эту силу инерции он приложил к ускоряемой матери-альной точке.

Полученное уравнение Fi Фi 0

F1 F2 а

Рис. 9

выражает принцип Даламбера для свободной материальной точки геометрическая сумма задаваемых сил и силы инерции точки равна нулю.

Если рассматривается несвободная механическая система, то

добавляются реакции связей.	Fi Ri Фi 0.
При векторном умножении радиуса-вектора ri, определяющего
положение точки Mi , на	слагаемые предыдущего равенства

		Fi				Фi 0
получаем:	ri	Fi	ri	Ri ri		Фi 0
		F		R		ф
или	Miо		Miо		Miо		0,

то есть геометрическая сумма моментов всех сил (задаваемых сил, реакций связей и сил инерции относительно заданного центра) равна нулю. Из статики известно, что при приведении произвольной пространственной системы сил к заданному центру получаем два параметра: главный вектор, равный геометрической сумме сил и главный момент, равный геометрической сумме моментов всех сил относительно центра приведения. Если оба эти параметра равны нулю, то получаем условия равновесия произвольной системы сил. Согласно принципу Даламбера получены такие условия равновесия для системы точек, движущихся с ускорениями.

На принципе Даламбера основан метод кинетостатики, то есть решение задач динамики с помощью уравнений равновесия. Для произвольной пространственной системы сил это будет шесть уравнений равновесия.

		0;	M		0;
X	i			ix

		0;	M		0;
Y	i			iy

			Miz
Zi 0;					0,

а для плоской системы сил три уравнения равновесия.

Xi 0;

Mi0 0,

где в сумме проекций сил на оси и в сумме моментов сил учтены силы инерции точек системы.

Главный вектор сил инерции Rф Фi mac имеет направление,

противоположное ускорению центра масс ac системы с массой m.

Главный момент сил инерции при вращении вокруг оси M фz J z

имеет направление, противоположное угловому ускорению , где J z

момент инерции системы относительно заданной оси. При поступательном

движении главный момент M ф J

0, так как

0, а при

вращательном движении вокруг неподвижного центра масс главный

вектор Rф ma

0, так как V

= 0. При плоском движении твердого

тела, например колеса движущегося автомобиля, существуют и главный

вектор и главный момент сил инерции.

4.1. Задание Д-16. Применение принципа Даламбера

к определению реакций связей 1

Определить реакции внешних связей механической системы в

момент времени t1 (рис. 10). Это реакции XA,

YA,

ZA,

XB, YB.

Дано:

b = 2a= 0,5 ;

r1 0,8 r2

YВ

m1 24 кг;

m2 30 кг;

= 0,5 м;

R 0,2 м;

20 0,1t Нм;

Ф1

t1= 200 с;

Ф2

при t = t1

координаты цент-ров

тяжести шкивовC и C

Xс

0,001 м;

Yс2

0,001 м.

Рис.10

Решение.

Для определения реакции связей применим принцип Даламбера.

Покажем на рисунке все активные силы, реакции связей и силы

инерции. Реакции опор А и В и силы тяжести G1 и G2

не создают

вращающего момента относительно оси Z. Для анализа вращательного

движения приведем дифференциальное уравнение вращательного

движения вокруг оси: J

M E .

В данной задаче система двух шкивов вращается под действием

переменного момента

Mz 20 0,1t и с переменным угловым ускорением

, соответствующим направлению Mz . Покажем на рисунке момент сил инерции MФz J z , противоположный угловому ускорению. Заметим,

что в расчетный момент времени t1= 200 с правая часть дифференциального уравнения Jz Mz равна нулю, так как

Mz 20 0,1 200 0. Тогда, при 0, вращательные силы инерции

отсутствуют, и на рисунке покажем только центробежные силы инерции

Ф1 и Ф2 .

Согласно принципу Даламбера для произвольной пространст-венной системы сил запишем шесть уравнений равновесия:

Ф 0.

(11)

0, Y

(12)

ZA G1 G2

(13)

(2a b) Ф

a G

0,001 0.

(14)

(2a b) Ф (a b) G 0,001 0.

(15)

Ф M

(16)

Mz MФz , или

20 0,1 t Jz ,

Из уравнения (16)

определяем

0,1

t .

Момент инерции системы из двух шкивов: Jz Jz1 Jz2 .

Моменты инерции однородных сплошных шкивов относительно оси их вращения, не проходящей через их центры масс, определяются в соответствии с теоремой о моментах инерции относительно параллельных осей:

m 0,0012

m r2

m 0,0012

0,48 кг м2;

С1z

1 1

m 0,0012

m r 2

m 0,0012

0,384 кг м2;

С2z

2 2

0,864

кг м2.

Запишем в общем виде d 20 0,1 t.

dt Jz Jz

Для определения 1

в момент времени

t1 разделим переменные и

проинтегрируем.

200

0,1

200

t dt,

откуда

200

0,1

2002

2000

2314,8c-1.

0,864

Теперь

стало

возможным

рассчитать:

m ω2 0,001

m ω2

0,001 .

и X

Подставив

в уравнения (15) и (11), определяем X

а подставив Ф

в уравнения (14) и (12), определяем

и Y

. Величина

ZA G1 G2 зависит только от статических сил тяжести.

4.2.Обзор и классификация вариантов задания Д-16

Взадании Д-16 можно выделить четыре группы вариантов, которые принципиально отличаются по решению.

Самая распространенная первая группа вариантов, пример решения которой рассмотрен в сборнике заданий А.А.Яблонского 1 . Это вращение одного или двух связанных между собой стержней или стержня с грузом на конце вокруг вертикальной или горизонтальной оси, расположенной в плоскости рисунка.

Это варианты: 4, 5, 10, 12 15, 18, 19, 23, 24, 29, 30.

Внутри этой группы также можно выделить варианты с пружиной, соединяющей стержни с осью вращения, и без пружины. Для определения усилия пружины составляется отдельно для стержня уравнение его равновесия относительно шарнира, соединяющего стержень с осью вращения, при этом неизвестные реакции шарнира не входят в уравнение моментов, как не создающие моментов. В вариантах без пружины, как правило, при отсутствии в данных угловой скорости дается постоянный угол, образованный стержнем и осью вращения. Постоянство угла говорит о постоянстве угловой скорости вращения, которая также определяется из уравнения моментов отдельно для стержня относительно шарнира его крепления к оси. В примере по Д-16, рассмотренном в сборнике 1 , приведен метод определения точки приложения равнодействующей центро-бежных сил инерции стержня, отклоненного от оси вращения. Метод базируется на теореме Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси 2 . Стержень разбивается по длине на элемен-тарные

участки, определяется элементарная центробежная сила инерции, а затем
момент равнодействующей приравни-вается к интегралу, представ-
ляющему собой предел суммы элементарных моментов сил инерции
стержня. Равнодейст-вующая равна по модулю главному вектору сил
инерции Ф , а ее плечо h приложения относительно шарнира опреде-
ляется из уравнения. Это плечо оказывается равным 2				cos , где
			3
угол наклона стержня к оси вращения. Плечо можно указывать сразу, без
расчета, так как силы инерции стержня при его вращении распределены по
линейному закону закону треугольника, центр которого находится на
пересечении медиан на расстоянии 2/3 длины медианы или высоты
			треугольника от вершины угла, из
			которого они проведены (рис. 11).
О			После определения точки
			приложения равнодействующей
		cos
			сил инерции стержня реакции
			опор можно найти с помощью
		3
		2
			трех урав-нений равновесия для
	C	h
			плоской системы сил с учетом
		Ф
		G	сил инерции.
			Вторая группа вариантов с
		А	вращением диска или стержня
			вокруг оси, перпендикулярной
			плоскости, где он находится,
Рис. 11			это варианты 1, 2, 3, 6, 7, 8, 20.
			Разница в решении вариантов с
дисками или стержнями только в формулах определения их моментов
инерции. Существенное различие вариантов группы зависит от
используемых плоскостей XOY или YOZ. В вертикальной плоскости
вращение происходит под действием переменного момента силы тяжести,
тогда как в горизонтальной плоскости от постоянного вращающего
момента М. Здесь два уравнения равновесия в проекциях на оси координат
служат для определения двух составляющих реакций опоры после того,
как из 3-го уравнения моментов Mi0			0 определено угловое ускорение
; далее интегрированием найдены 1 и 1, соответствующие времени t1.
Если задан угол 1, соответ-ствующая ему угловая скорость определяется
следующим образом:

d	d	d	d		1	1
				,	d d .

dt d dt			d		0	0

Третья группа вариантов 16, 17, 21, 22, 25, 26, 27, 28 более проста по решению, потому что здесь центры масс вращающихся тел неподвижны и рассчитываются только моменты сил инерции MСФ JС , а для

поступательно движущихся грузов рассчитыва-ются только главные векторы сил инерции:

Ф1 m1 a1, Ф2 m2 a2 .

Чтобы определить угловое ускорение вращающегося тела, составляется уравнение моментов всех сил относительно центра вращенияMiс 0 отдельно от остальной конструкции по шарниру С для

исключения других неизвестных величин, кроме , или для всей конструкции, если эти неизвестные силы не создают моментов. С помощью еще двух уравнений проекций сил на оси координат определяются неизвестные реакции связей.

Четвертая группа вариантов 9, 11 представляет собой конструкцию, на которую действует произвольная пространственная (а не плоская) система сил. Здесь составляются шесть уравнений равновесия. Пример такого задания рассмотрен выше в п. 4.1.

4.3. Задача по Д-16 6

Однородный стержень ОА длиной

0,5 м, массой 4 кг вращается в гори-

зонтальной плоскости под действием пары

сил с моментом М (рис. 12, а). Определить

Рис. 12, а

модуль силы реакции шарнира и момента М

в момент времени, когда угловая скорость

стержня 10

рад

и угловое ускорение 100

рад

с2

Yо

Дано:

ас

0,5 м;

Xо О

m = 4 кг;

10 с-1;

MсФ

100с-2.

_____________

Рис. 12, б

Ro ?

M ?

Решение.

Центр масс стержня движется с ускорениями a 2		и a		,
c	2	c	2
	2		2

поэтому существуют центробежная сила инерции Ф mаc и

вращательная сила инерции Ф mаc . Приведем эти силы инерции к

центру масс С. В результате чего появится момент сил инерции

MСФ JС , противоположный (рис. 12, б). Здесь Xo и Yo реакции

опоры. Реакция шарнира Ro Xo2 Yo2 . На основании принципа

Даламбера для плоской произвольной системы сил запишем три уравнения равновесия, из которых определяются три неизвестных величины.

Ф 0,

ma m 2

4 100 0,25 100Н.

Y 0,

Ф 0, Y

Ф ma m

4 100 0,25 100Н.

M 0, M Ф

Mф

0, М m

m 2

100 4 0,25

33,3Нм.

Ro 1002 1002 141Н.

Покажем, что тот же результат можно получить, если силы инерции стержня привести к центру О (рис. 12, в) или к равнодейству-ющей силе (рис. 12, г).

	Yо
Xо О	M
Xо О	M	C	А
		Ф
MоФ	Ф	Рис. 12, в

M Mф 0,

M Mф J

m 2

33,3Нм.

Ф 0,

Ф 100Н.

Y 0,

Y Ф 0,

Ф 100Н.

Здесь центробежные силы инерции распределены вдоль стержня, а вращательные перпендикулярно стержню по закону треугольника и их равнодействующая Ф проходит через центр масс этой распределенной по линейному закону нагрузки.

		Yо
Xо	О	M
Xо	О	M	C	А
				Ф
		2		Ф
		2
			3

Рис. 12, г

Уравнения равновесия здесь дают те же результаты.

0, ,

Ф 100Н.

Y 0, Y

Ф 0,

Y Ф

100Н.

M Ф

M m

m 2

33,3Нм.

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021447.6 Кб0357.pdf
#
07.01.2021448.23 Кб0358.pdf
#
07.01.2021448.31 Кб1359.pdf
#
07.01.2021226.69 Кб036.pdf
#
07.01.2021448.52 Кб11360.pdf
#
07.01.2021448.9 Кб1361.pdf
#
07.01.2021449.05 Кб2362.pdf
#
07.01.2021449.39 Кб0363.pdf
#
07.01.2021451.34 Кб6364.pdf
#
07.01.2021452.36 Кб3365.pdf
#
07.01.2021452.6 Кб2366.pdf