МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

момент времени. Процесс исследуется в интервале x х за промежуток времениt . Чтобы получить выражения (2.107) и (2.108) для любого сечения и в любой момент времени, необходимо, чтобы t 0, x 0 .

В приведенном примере Q1 и Q12 принимались (и в дальнейшем принимаются) постоянными во времени, но они могут быть и переменными.

Q12 Q1 x x, t

Q22 Q2 x x, t

В момент времени t в сечении 1—1 насыщенность будет S1 (х, t), через промежуток времени t насыщенность станет S1 x,t t , а в сечении 2—2

G1 x x,t G1 x,t t S1 x x,t S1 x,t V 1 , (2.111)

где

S1 x x,t S1 x,t S1

Запишем выражение (2.108) для элемента объема V

Здесь S1 — изменение насыщенности во времени из-за накопления первой жидкости.

Отметим, что S1 x x,t , S1 x,t будут иметь одинаковые значения приx 0. Следовательно, изменение насыщенности S1 в объеме V (при x 0

81

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

можно выразить как S1 x,t t S1 x,t , так и S1 x x,t t S1 x x,t .

В выражении (2.111) левая часть умножена на t , так как масса жидкости G отнесена к единице времени, а процесс рассматривается в течение времени t .

Если масса первой жидкости в объеме V увеличивается, то накопление имеет положительный знак

S1 x,t t S1 x,t 0 .

Это может быть в случае, если G1 x x,t G1 x,t , т. е. масса первой жидкости, поступающей через сечение 1—1, больше отбора ее через сечение 2—2. Поэтому в (1.41) знак в правой части должен быть противоположным знаку в левой части, т. е.

Разделив обе части (2.113) на x, t и перейдя к пределу при

t 0, x 0

82

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Заметим, что (2.114, (2.115) и (2.110) являются независимыми уравнениями, а (2.116) и (2.117) могут быть получены из них. Или формула

(2.110) может быть получена из уравнений (2.114), (2.115), (2.116), (2.117).

Покажем это на примере.

Сложив (2.115) и (2.117), получим

Так как S1 S2 1 , то

S1 S2 0t

Откуда

Q1 Q2 0t

Как было отмечено выше, в рассматриваемом примере необходимо определить Q1 Q2 и S1 Зная же S1, можно определить S2 = 1— S1, т. е. для трех величин имеется два уравнения (2.115) и (2.117).

Рассмотрим движение смеси жидкости и растворенного в ней газа и выделенном объеме трубы (см. рис.2.7 6). Будем считать, что движение происходит при постоянной температуре, т. е. процесс изотермический. Принимается, что жидкость несжимаема, а газ, как обычно, сжимаем.

В данном случае через сечение 1—1 поступают жидкость с растворенным в ней газом и газ в свободном состоянии. В объеме V имеется насыщенность газом и жидкостью. Причем насыщенность газом в отличие от предыдущего случая может изменяться как в результате изменения количества газа в этом объеме, так и вследствие его сжимаемости.

Обозначения приняты те же, что и в предыдущем случае, но вместо первой жидкости взят свободный газ, а вместо второй — насыщенная газом жидкость.

Введем следующие дополнительные обозначения для масс газа и жидкости: G3 — масса газа в растворенном состоянии, поступающего через сечение 1—1 за единицу времени; G32 — масса газа в растворенном состоянии, выходящего через сечение 2—2 за единицу времени; G4 — масса растворенного газа в единице объема жидкости за единицу времени.

Принимаем, что масса растворенного в жидкости газа, по сравнению с массой самой жидкости очень мала. Поэтому ею можно

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

приведем следующий пример. Пусть имеется нефть, плотность которой (при 20° С) = 780 кг/м3, и газ, относительная плотность которого (по воздуху) = 0,7; газовый фактор Г = 100 м3/м3.

Относительная молекулярная масса газа будет М1 = М3 = 29-0,7 = 20,3,

где М3 — молекулярный вес воздуха.

Число киломолей газа, растворенных в 1 м3 нефти,

где 22,4 м3 — объем 1 кмоль газа при нормальных условиях. Кажущаяся плотность газа (при относительной плотности 0,7) в

нефти (плотность 780 кг/м3) к = 320 кг/м3. Следовательно, увеличение объема 1 м3 нефти, вызванное растворением газа, составит

V1 M 2 N 20, 3 4, 46 0, 283 м3 .к 320

Общий объем насыщенной газом нефти, отнесенной к атмосферным условиям, будет

V1 V V1 1 0, 283 м3

а, масса нефти с растворенным в пей газом

G G0 M2 N 780 20,3 4, 46 870,5 кг,

где Go — вес ненасыщенной нефти; V — объем ненасыщенной нефти. Плотность нефти с растворенным в ней газом рассчитывается по формуле

увеличивается.

Рассмотрим изменение массы жидкости в элементарном объеме, т. е. запишем закон постоянства масс жидкости (по аналогии с предыдущим случаем)

G2 G22 t S2 V 2 .

Запишем закон постоянства массы для газовой фазы. Изменение массы газа за время t — разность массы газа, поступающего через сечение 1—1 (см. рис.2.7 6), и массы газа, выходящего из сечения 2—2, т. е. G1 G3 G12 G32 t , соответствует изменению массы газа в рассматриваемом объеме и равно сумме изменения масс растворенного и свободного газа в объеме V , т. е. равноG4 VS2 G1 .

Таким образом, можно записать

84

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

В соответствии с ранее принятым (в предыдущем случае)

G32 G3 x x,t .

Изменение G1 происходит в результате изменения 1, S1 . Следовательно,

G1 u x,t t u x,t V; u 1S1 .

Для того чтобы уравнения записать для любого момента времени и для любого сечения, проделаем следующее.

Запишем уравнение (2.119 1.49), согласно принятым обозначениям, в

виде G2 x x,t G2 x,t t S2 x,t t S2 x,t F x 2 . (2 .120)

Если масса жидкости в объеме V увеличивается, то накопление имеет положительный знак, т. е. S2 x,t t S2 x,t 0 . Это может быть при

G2 x x,t G2 x,t , т. е. когда масса жидкости, поступающей в сечение

1—1, больше массы жидкости, отбираемой из сечения 2—2. Поэтому в (2.120 1.50) знак в правой части должен быть противоположным знаку в левой части

Разделив обе части уравнения (2.124) на x, t и перейдя к пределу

85

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Таким образом, в трех уравнениях (2.122), (2.125) и (2.126) имеются неизвестные: Gx, G2, G3, G4, S2 и 1 .

Приведенному выше примеру аналогичен случай движения газо - конденсатной смесив трубах или в пористой среде. В газоконденсатной системе в отличие от газонефтяной при снижении давления выпадает жидкость-конденсат. Следовательно, в выделенный объем поступает газ с конденсатом. Принимая, что выпавший конденсат неподвижен, и пренебрегая изменением массы газа от выпадения конденсата, можно применить закон постоянства массы для определения измене-ния насыщенности конденсатом рассматриваемого объема.

Через сечение 1—1 в единицу времени прошли масса газа G1 и масса конденсата G2. Через сечение 2—2 отобраны масса газа G12 и

масса конденсата G22. Тогда масса конденсата, накопившегося в объеме в единицу времени,

G2 G22 G2 .

Это приращение массы конденсата приведет при условии несжимаемости конденсата ( = const) к изменению объема в единицу

времени на величину G12 .

2

За отрезок времени t изменение объема будет G12 t . Это

2

изменение объема приведет к изменению насыщенности

86

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

конденсатом на величину S2 .

Аналогично предыдущему случаю запишем

Знак минус перед правой частью поставлен, исходя из следующих соображений: если G2 x x,t G2 x,t , то насыщенность конденсата в объеме

Так как было принято, что масса газа не изменяется при выпадении конденсата, то для газовой фазы можно написать закон постоянства массы в форме, записанной выше,

В уравнениях (2.128) и (2.129), описывающих процесс движения газоконденсатной системы, имеются четыре неизвестных.

Перейдем к примерам применения закона сохранения энергии для механических и тепловых процессов.

Как известно, для механических процессов сумма кинетической и потенциальной энергии постоянна.

А для тепловых процессах закон сохранения энергии отражается в виде первого закона термодинамики, который формулируется следующим образом: бесконечно малое изменение внутренней энергии состоит из двух частей — из количества тепла, полученного телом, и произведенной телом работы.

Работа при поступлении тепла зависит от начального и конечного состояния тела и от пути, по которому изменяется состояние тела. В связи с этим нельзя рассматривать тепловой эффект процесса как разность этих количеств в конечном и начальном состояниях.

теплоемкостью тела. В физике пользуются теплоемкостью при постоянном давлении ср и теплоемкостью при постоянном объеме cV .

87

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Применяя первый закон термодинамики для исследования процесса распространения тепла в теле, ограниченном сечениями сечения 1—1 и 2—2 (рис. 2.8) получим балансовое равенство для теплот. Пусть тело имеет какуюто определенную начальную температуру. К одному концу тела подводится источник тепла или холода. Соответственно этому в теле происходит нагревание или охлаждение.

Температура в какой-либо точке тела будет зависеть от расстояния точки до места подвода тепла и времени

Т = Т(х, t).

На текущее распределение температуры в теле оказывает влияние начальное распределение температуры, а также условия в концевых сечениях тел, в частности от температуры на обоих концах тела.

В приведенном примере через сечение 1—1 в единицу времени подводится количество тепла, равное Q (х, t). Через сечение 2—2 в единицу времени отводится количество тепла, равное Q x x,t . Разность

между этими количествами теплаQ Q x x,t Q x,t (2.130)

Рис. 2.8

в соответствии с первым законом термодинамики затрачивается на изменение температуры в отсеке между сечениями 1—1 и 2—2.

а во втором — T 0 .

При изменении количества подводимого и отводимого тепла па величинуQ температура тела (в соответствии с законом сохранения энергии и определением теплоемкости) должна изменяться на величину

(2.132 ) поставлен знак минус.

Подставив в (2.130) значения Q и T соответственно из (2.130), (2.131

88

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Таким образом, в одном уравнении получаем два неизвестных Q и Т.

Рассмотрим, каким образом можно получить недостающие уравнения. Например, для движения смеси двух несжимаемых жидкостей необходимо составить еще одно уравнение. Но в этом случае процесс определяется и давлением. Поэтому необходимо иметь два уравнения для нахождения Q1

и Q2.

При изотермическом совместном движении газа и жидкости в

где р — давление.

Однако при этом появляется новое неизвестное р, т. е. опять не хватает одного уравнения. Приведенное выше уравнение соответствовало закону постоянства массы. Для исследуемого явления необходимо применить еще закон сохранения энергии, например в виде уравнения Бернулли. Но в этом случае появится новое неизвестное — работа сил трения, т. е. требуется опять одно уравнение для определения силы трения. Это уравнение устанавливается экспериментально.

Для совместного движения несжимаемых жидкостей закон сохранения энергии приводит также к необходимости определения силы трения. Указанный процесс характеризуется и давлением. Поэтому и в этом случае необходимо экспериментально составить одно уравнение для сил трения. Если движение неизотермическое, то следует применить и первый закон термодинамики. Тогда появятся два неизвестных Q и Т, связанных одним уравнением типа

т. е. и в этом случае необходимо определить одну экспериментальную зависимость для Q.

При изотермическом движении газированной жидкости в трубопроводе или при фильтрации газированной жидкости в пористой среде плотность газа р связана с давлением р. Появляется еще одно неизвестное р. Вводя понятие массовой скорости для жидкости w1 и газа w2, можно через них вычислить соответственно G1 и G2. Неизвестными в этом случае являются w1, w2 ,G3 ,G4 , S2 , , p . Таким образом, необходимо экспериментально определить

зависимости для w1, w2 и G3.

89

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

При использовании закона сохранения энергии в этом случае необходимо знать работу силы трения, т. е. силу трения (новое неизвестное), причем применение закона сохранения энергии не уменьшает числа недостающих уравнений. Наоборот, количество уравнений увеличивается, соответственно этому увеличивается и количество неизвестных. При движении газоконденсатной смеси в трубах или в пористой среде имеем два уравнения и четыре неизвестных G1,G2 , 1, 2 . Плотность р1 связана с давлением при помощи

уравнения состояния.

Таким образом, необходимо экспериментально определить две зависимости — для G1 и G2.

При исследовании процесса распространения тепла в теле имеем два неизвестных Q и Т и одно уравнение. Закон постоянства массы выполняется тождественно и недостающее уравнение для Q определяется экспериментально.

Пример Движения в круглой цилиндрической трубе вдоль кольца.

Покажем применение закона сохранения механической энергии. Обозначим через — касательное напряжение. Выведем дифференциальное уравнение движения в круглой цилиндрической трубе вдоль кольца. Для этого выделим в зоне на расстоянии r от оси трубы элементарный кольцевой слой толщиной dr и длиной l и составим уравнение равновесия сил, действующих на выделенный элемент. Этими силами будут: тормозящая сила 2 r r l , ускоряющая сила 2 rl , сила давления и сила

инерции 2 rl vt .

По принципу Д'Аламбера, сумма этих сил должна равняться нулю. Если при этом учесть, что первая и последняя из этих сил действуют в направлении, обратном действию остальных двух сил, то

Пренебрегая величиной drdx по сравнению с другими членами, получаем

90

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts