МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Подставляя это значение в (6.3.1), получим

Уравнение (4.26) является дифференциальным уравнением поперечных колебаний струны.

Сформулируем дополнительные условия для струны с закрепленными

Помимо граничных условий (4.28) возможны граничные условия других типов. Наиболее распространенными являются следующие

и– известные постоянные.

Приведенные граничные условия называют соответственно граничными условиями первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, если концы объекта (струна, стержень и т.д.) перемещаются по заданному закону; условия II – в случае, если к концам приложены заданные силы; условия III – в случае упругого закрепления концов. Если функции,

141

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

заданные в правой части равенств, равны нулю, то граничные условия называются однородными. Так, граничные условия (4.27) – однородные.

4.4. Вывод дифференциального уравнения крутильных колебаний валов.

Пусть в сечении I-I (Рис.4.4), перпендикулярном к оси вала, момент

инерции вала через I0(x), полярный момент инерции площади сечения вала через J0(x), модуль сдвига через G(x) и угол поворота сечения вокруг оси вала через φ(x,t). Согласно принципу Даламбера можно написать

–

(4.30)

(4.31)

Рис 4.4

142

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Согласно закону Гука касательное напряжение в сечении на расстоянии r от центра сечения равно

Где – угловое смещение сечении вала.

Момент внутренних касательных сил относительно центра сечения равен:

Следовательно,

–

(4.32)

Уравнение является дифференциальным уравнением 0 среде.

При ; ; ; получим дифференциальное уравнение свободных крутильных колебаний однородного вала в идеальной среде:

Обозначив получим

143

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

4.5. Вывод дифференциального уравнения нестационарного движения сжимаемой идеальной жидкости в длинном трубопроводе.

Выделим в потоке жидкости в трубе два поперечных сечения с расстоянием x между ними (Рис 4.5). Введем обозначения: ρ – плотность жидкости или газа; p – среднее давление в сечении; f – площадь поперечного сечения; v –

осредненная по площади продольная скорость; x – координата; t – время. Составим баланс массы втекающей и вытекающей из элемента потока x.

плотности. Если в момент времени t плотность выделенного объема была равна , то уменьшение массы жидкости в объеме равно

(4.33)

Разность масс, входящих и выходящих через соответствующие сечения I- I и II-II за промежуток времени t, равна

(4.34)

Приравняв (6.5.1) и (6.5.2), получим

Подстановка сюда выражения M дает

.

Это уравнение представляет собой уравнение неразрывности потока для сжимаемой жидкости в длинном трубопроводе с постоянным поперечным

сечении II-II P(x+ x,t), то проекция равнодействующей этих сил на ось x будет

144

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

(4.35)

Тогда уравнение движения примет вид

или

Уравнение (6.5.5) есть дифференциальное уравнение движения сжимаемой жидкости в длинном прямом трубопроводе с постоянным поперечным сечением.

Уравнения (6.5.3) и (6.5.5) образую систему

(4.37)

в которую входят три неизвестные величины:

Следовательно должно быть задано физическое уравнение, устанавливающее зависимость между плотностью и давлением. Для случая капельной сжимаемой жидкости, согласно закону Гука, изменение плотности жидкости принимается пропорциональным изменению давления

(4.38)

где – модуль объемного сжатия жидкости; – плотности при давлении

Из (4.38) получаем .

(4.39)

Подставляем (4.39) в (4.37) получим:

(4.40)

Для малых дозвуковых скоростей движение идеальной жидкости с равномерным распределением скоростей в сечении в уравнениях движения

можно пренебречь членами . Тогда система (4.40) примет вид

145

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Дифференцируя первое уравнение системы по x и второе по t

Тогда получим

Обозначив получим

(4.44)

Уравнение (4.44) есть дифференциальное уравнение описывающее изменение давления капельной идеальной жидкости в длинном трубопроводе постоянного сечения.

В качестве начальных условий могут быть заданы распределения скорости и давления по длине трубопровода:

Используя зависимость (4.39), начальные условия (4.45) можно(4.45) представить только для или . Так, например, при помощи зависимости

(4.46)

условие (4.45) можно представить в виде

(4.47)

Обычно переходный режим в трубопроводе создается при пуске насоса, турбины компрессора, открытии или закрытии задвижек. При этом указанные агрегаты могут быть присоединены к трубопроводу непосредственно или же через устройства, предназначенные для регулирования расхода или уменьшения колебаний давления (например, воздушный колпак, уравнительная шахта, буферный резервуар компрессора и т.п.).

Вслучае если к одному концу трубопровода непосредственно

присоединен насос с расходом а на другом конце задано давление, граничные условия можно представить в виде

(4.48)

где F – поперечное сечение трубопровода.

146

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

(4.49)

Тогда задача о распределении давления в длинном трубопроводе, к одному концу которого присоединен насос с расходом , а на другом конце поддерживается давление , формулируется следующим образом:

(4.50)

Если насос отделен от трубопровода воздушным колпаком, для составления граничных условий при следует составить уравнение баланса для жидкости и уравнение состояния для воздуха, находящегося в воздушном колпаке.

Обозначим расход жидкости, вытекающей из колпака через , увеличение объема жидкости (или уменьшение объема газа) в колпаке через , площадь трубопропвода через F, средний объем и абсолютное давление

(4.51)

Если принять, что уравнение состояния для воздуха описывается законом Бойля-Мариотта, получится

откуда

(4.52)

Учитывая (6.5.14) получим

Отсюда

147

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

(4.53)

Выражение (4.53) является граничным условием для длинного трубопровода, к одному из концов которого через воздушный колпак присоединен насос. В этом случае задачу о переходном процессе в трубопроводе можно сформулировать в виде:

(4.54)

4.6. Вывод дифференциального уравнения колебаний мембраны.

Мембраной называется плоская тонкая пластинка, несопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Мембрана способна значительно прогибаться под действием поперечной нагрузки и поэтому применяется в качестве чувствительного элемента в приборах для измерения давления, в акустических приборах, упругих муфтах и т.п.

Рассмотрим мембрану (Рис.4.6), натянутую по контуру силой, величина которой на единицу длины равна T. Плотность единицы площади мембраны обозначим через . Примем, что плоскость xOy совпадает с плоскостью мембраны при ее недеформированном состоянии. Мембрана нагружена по поверхности внешней нагрузкой с интенсивностью . Предполагается что деформация мембраны мала и происходит в направлении перпендикулярном плоскости xOy. В связи с этим так же предполагается, что натяжение мембраны и после деформации остается постоянным; увеличением площади мембраны в процессе колебаний пренебрегают. Отклонение точки мембраны от плоскости xOy обозначим через .

148

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Рис.4.6

Для составления дифференциального уравнения колебаний мембраны из нее выделяется элемент с контуром L. Положительным направлением обхода этого контура принимается направление, противоположное

направлению вращения

Рис.4.6’

часовой стрелки. На длину данного контура действует сила натяжения

выделенного элемента мембраны с контуром L на плоскость xOy. Проекция равнодействующей сил натяжения, действующих по контуру L, на ост Ou обозначим через , тогда согласно принципу Даламбера имеем:

(4.55)

Вектор, по величине равный dl и касательный к контуру L в точке

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Для фиксированного значения t и для случая выпуклой поверхности направляющие косинусы углов между нормалью и осями Ox, Oy и

Ou можно определить из выражений:

150

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts