Для исследования выпуклости и перегиба найдем вторую производную, ее нули (точки подозрительные на перегиб)

При возрастании x вторая производная в точке меняет знак с минуса на плюс (слева от этой точки график функции выпуклый вверх, а справа от этой точки график выпуклый вниз), значит,- это точка перегиба функции,

Пример решения К.Р. 2 по математике по теме

«Функции нескольких переменных», 1 семестр

Задача 1. Найти область определения и непрерывности функции

Решение. Аргумент логарифма должен быть больше нуля,

На плоскости (x,y) это вся плоскость с выколотым началом координат.

Задача 2. Записать уравнение семейства линий уровня функции

Какая линия уровня проходит через точку M₀(0,2)?

Решение. Семейство линий уровня записывается так:

Это семейство прямых.

Подставим координаты точки M₀ и найдем С:

Значит, через точку M₀ проходит прямая

Задача 3. Найти частные производные первого порядка от функций

Решение. Находим частные производные по каждому аргументу:

Задача 4. Вычислить полный дифференциал dz и полное приращение z функции z=2x²2y в точке M₀(2,2) при x=0,1, y0,1. Оценить абсолютную и относительную погрешности приближенного равенства zdz.

Решение. Найдем приращение в точке M₀:

Найдем полный дифференциал dz в точке M₀:

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Задача 5. Найти частные производные если неявно задана функцияz(x,y) при помощи уравнения F(x,y,z)=0, где

Решение. Найдем частные производные неявной функции:

Задача 6. Найти вторые частные производные если

Решение. Найдем первые, а затем вторые частные производные:

Задача 7. Составить уравнение касательно плоскости и нормали к поверхности в точкеM₀(1,1,2).

Решение. Уравнение касательной плоскости к поверхности имеет вид

В нашем случае

а в точке M₀(1,1,2)

Отсюда уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали к поверхности имеет вид

В нашем случае уравнение нормали:

Задача 8. Вычислить производную функции в точке

M₀(1;2;1) в направлении вектора

Решение. Найдем сперва частные производные:

а в точке M₀(1;2;1):

Вектор градиента в этой точке будет:

Вектор единичной длины, направленный вдоль вектора будет:

Искомая производная вычисляется по формуле

Задача 9. Найти градиент скалярного поля в точкеM₀(1;1;2), модуль градиента и объяснить смысл результата.

Решение. Найдем частные производные:

а в точке M₀(1;1;2):

Вектор градиента в этой точке будет:

Длина этого вектора равна

Смысл результата: градиент направлен по нормали к поверхности уровня

или

и указывает направление наибыстрейшего роста функции.

Задача 10. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Найдем частные производные:

приравняем их нулю, получим систему

Решив эту систему, найдем x=1, y=2. Следовательно, единственная критическая точка, подозрительная на экстремум, M₀(1,2).

Найдем вторые производные в этой точке:

Составим определитель

По теореме о достаточном условии экстремума, поскольку >0, A>0, то функция имеет минимум в точке M₀. Этот минимум равен

4. Краткие сведения по теме производная функции одной переменной

Производной функции называется конечный предел отношения приращения функциик приращению независимой переменнойпри стремлении последнего к нулю:

(1)

Обозначения производной в точке х₀:

и другие.

Если функция в точке х₀ (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.