Колебания и волны
Колебания -
Обобщённая координата ξ -
Примеры: координата точки x угол отклонения α заряд конденсатора q
напряжение на конденсаторе u
Свободные (собственные) колебания -
Вынужденные колебания -
Гармонические колебания -
|
|
или |
|
(1) |
||
max sin 0t 0 |
max cos 0t 0 |
|||||
- уравнение гармонических |
колебаний в интегральной форме |
|
||||
max - амплитуда |
|
|
рад |
|||
0t 0 - фаза колебаний |
||||||
|
|
|||||
Фаза колебаний - |
|
|
|
|
||
При t 0 0 , |
ξ |
|
|
|||
0 - начальная фаза колебаний |
|
|
|
|
||
Период колебаний Т -
Т с
t
T
0 t T0 0 0t 0 2 |
|
0T0 2 |
T0 2
0
0 - циклическая (круговая) частота -
0 рад/с=c 1
Частота колебаний (линейная) -
0 |
|
1 |
|
с-1 , Гц |
|
T0 |
|||||
|
|
|
|||
max cos 0t 0
|
|
|
0 max sin 0t 0 |
|
||
|
|
t |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
cos 0t 0 |
|
|
|
t |
2 |
0 max |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Из сравнения (1) и (3) видно: |
|
|
|
||
|
(1)
|
|
- обобщённая скорость |
(2) |
|
|
|
|
- обобщённое ускорение |
(3) |
|
02
|
-дифференциальное уравнение |
02 0 |
гармонических колебаний |
Пружинный маятник
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x m x 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
-собственная |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частота пружинного |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
маятника |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k m 02 |
T0 2 |
|||||||
FупрX |
kx, |
|
Fтр |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
max A |
|||||||||||||
x деформация пружины |
x, |
|
vx , |
ax , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение движения |
|
x Acos 0t 0 |
|
|
|||||||||||||
ma Fi |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Оx : |
max |
kx |
|
vx |
x 0 Asin 0t |
|
||||||||||||||
|
dνx |
|
d 2 x |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ax |
|
dt |
|
dt |
2 |
x |
|
ax |
|
t |
2 |
0 Acos 0t 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
mx kx
Энергия гармонических колебаний
Fx |
kx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Wp |
kx2 |
1 kA2 cos2 |
0t 0 |
|
|||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Wk |
mv2 |
1 m 02 A2 |
sin2 0t 0 |
||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
W W |
W |
p |
1 m 2 A2 |
const |
|||||||||
|
|
|
k |
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Wгарм. |
|
A2 |
|
|
|
|
Wp |
kA2 |
||
|
|
|
|
колебаний |
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wгарм. |
|
const |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
Wp
Wk
W
t
t
t 
t
В общем случае полная энергия гармонических колебаний
W Wk Wp m 2 k 2 const, 2 2
где m - обобщённая масса,
k - обобщённая жёсткость.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W m2 |
2 0 |
|
|
||||||
|
k |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
2 |
|
k |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m k 0 |
|
|
|
m |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
-дифференциальное уравнение |
|||||
02 0 |
|
|
гармонических колебаний |
|||||||
Электромагнитные гармонические колебания
R
С |
L |
- колебательный контур |
|
С |
L |
- идеальный колебательный контур |
|
t=0 |
q=qm |
|
|
|
|
|
i=0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i
q
t 1 T0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q=0 |
|
i=imax |
|||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i
q
W WЭ max |
|
qmax2 |
|
W W |
W |
|
|
|
Э |
M |
|||
2C |
||||||
|
|
|
|
|
W W W |
q2 |
Li2 |
|
||
Э M |
2C |
2 |
|
W W |
|
Li2 |
max |
||
|
||
M max |
|
2 |
|
|
W WЭ WM q2 Li2
2C 2
t 1 T0 |
q=q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
W WЭ max |
qmax2 |
2 |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
2C |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
si u |
|
q |
|
|
|
|
si |
||||||
C |
|||||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
L q q |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|||||
|
|
q 1 |
q 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
LC |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
di |
dq |
|
di d |
q |
|
L dt |
|
|
2 |
|
|
i dt q |
dt dt2 |
q |
|||
- дифференциальное уравнение гармонических электромагнитных колебаний
- собственная частота колебательного контура
T0 2 LC
- период собственных колебаний в колебательном контуре