3-й семестр / Лекции / 11 - презентация
.pdfДоказательство.
( ) = + аналитична, следовательно, выполнены условия Коши-Римана:
1) |
|
|
|
= |
|
, дифференцируем равенство по |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) |
|
|
= − |
|
, дифференцируем равенство по |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
2 2 |
|
2 |
|||||||||
|
= |
|
|
|
, |
|
= − |
|
и сложим их: |
|||||||
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
+ |
|
= 0, |
|
|
|
||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||
Дифференцируем первое равенство по y, второе по x: 1) =
|
|
|
|
2 |
|
|
2 2 |
|
2 |
||||||
2) |
|
= − |
|
|
: |
|
|
= |
|
, |
|
= − |
|
, вычтем из первого |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||
второе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
получим: |
2 |
+ |
2 |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Теорема доказана.
Определение 16. Две гармонические функции, связанные условиями Коши-Римана, называются сопряженными.
Теорема 4. Если в области D заданы две гармонические функции( , ) и ( , ), удовлетворяющие условиям Коши-Римана,
то |
из |
них |
можно |
построить аналитическую функцию |
|||
( |
) |
|
( |
) |
+ |
( |
) |
|
|
= , |
|
, . |
|||
Замечание. Задание одной (действительной или мнимой) части при условии ее гармоничности определяет аналитическую функцию с точностью до константы.
Примеры. Найти аналитическую функцию по ее заданной действительной или мнимой части.
1). |
( |
|
) |
= |
3 |
− 3 |
2 |
+ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, : |
|
|
|
|
||||||||||||||
Проверим гармоничность функции |
( |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
||
|
= 3 2 |
− 3 2, |
|
2 |
= 6 , |
|
= −6 , |
2 |
|
= −6 . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
+ |
2 |
= 6 − 6 = 0, т. е. |
|
, |
|
|
удовлетворяет уравнению |
||||||||||||||||||||
Лапласа и является гармонической. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Функция |
|
( |
|
|
) |
= |
3 |
− 3 |
2 |
+ 2 |
и |
искомая функция |
( |
, |
) |
|||||||||||||
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
должны удовлетворять условиям Коши-Римана
= 3 2 − 3 2 = , интегрируем последнее уравнение по (считая постоянной), получаем
( , ) = ∫(3 2 − 3 2) + ( ) = 3 2 − 3 + ( ).
Из второго условия Коши-Римана
= − , −6 = −(6 + ′( ))′( ) = 0, ( ) = = Итак, ( , ) = 3 2 − 3 + с.
Следовательно,
( |
|
) |
( |
|
3 |
− 3 |
2 |
+ 2 |
) |
2 |
− |
3 |
+ с). |
||
+ |
|
= |
|
|
|
+ (3 |
|
||||||||
Для |
того, |
чтобы |
записать |
|
функцию , |
можно взять = 0, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
= |
3 |
+ 2 + c. |
|
|
|
||||
= , тогда |
|
|
|
|
|
||||||||||
2). ( , ) = 3 + 2 при условии (− ) = 2.
Проверим гармоничность функции ( , ):
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
= 3 + 2 , |
|
= 0, |
|
|
= 2 , |
|
= 0. |
|||||
|
2 |
|
2 |
||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
2 |
+ |
2 |
= 0, т. |
е. |
, |
|
удовлетворяет уравнению Лапласа и |
||||||
является гармонической. Первое условие Коши-Римана:
=
= 2 , интегрируем уравнение по (считая
постоянной), получаем
( , ) = ∫ 2 + ( ) = 2 + ( ).
Из второго условия Коши-Римана = − , ′( ) = −(3 + 2 )
( ) = −3 − 2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
( |
|
|
) |
= |
2 |
− 3 − |
2 |
+ . |
|
||||||||
Итак, , |
|
|
|
|
||||||||||||||
( |
|
) |
= |
( |
2 |
|
− 3 − |
2 |
+ |
) |
+ (3 + 2 ). |
|
||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
= 0, |
|||||||||||
Для |
того, |
чтобы записать |
функцию , можно взять |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
= |
2 |
+ + 3z. |
|
|||||||
= , тогда |
|
|
|
|||||||||||||||
Подставим начальные условия: 2 = −1 + + 3; = 0 |
|
|||||||||||||||||
|
( |
) |
= |
2 |
+ 3z. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. Интегрирование функций комплексного переменного
3.1. Интеграл от функции комплексного переменного и его свойства
Рассмотрим однозначную функцию ( ), определенную и непрерывную в области и кусочно-гладкую кривую , лежащую в . Зададим на этой кривой направление обхода: точка A – начало, точка B – конец.
Введем определение интеграла от функции комплексного переменного.
Разобьем L на n частей точками: 0 = ; 1; … = .
На каждом участке [ −1; ] выберем произвольную точку Jk, k=1,…,n
Составим интегральную сумму
∑ =1 ( ) ∙ ( − −1) = ∑ =1 ( ) ∙ ∆ .
Определение 1. Предел интегральной суммы при →
∞ и max ∆ → 0 называется интегралом от функции f(z) по кривой L, если он существует и не зависит от способа разбиения кривой точками zk и от выбора точек Jk. Обозначается:
|
( ) |
→∞ |
∑ |
( )∆ . |
|
∫ |
= lim |
|
=1 |
||
|
|
|
|
||
|
|
max | −−1 |
|→0 |
|
|
|
|
|
|
||
Теорема 1. Если f(z) определена и непрерывна на L, то ( ) существует.
Пусть = + , ( ) = + , где (, ), (, ) – действи-
тельные функции переменных и .
Вычисление интеграла от функции ( ) комплексного переменного сводится к вычислению обычных криволинейных интегралов от действительной и мнимой частей, а именно:
∫ ( ) = ∫ ( + ) ( + ) = = ∫ (, ) − (, ) + ∫ (, ) + (, ) .
Основные свойства криволинейных интегралов переносятся на интеграл от функции комплексного переменного:
1. Линейность
∫[ 1 1( ) ± 2 2( )] = 1 ∫1 ( ) ± 2 ∫2 ( ),
|
|
|
где 1, 2 – произвольные постоянные.
2.Аддитивность
∫( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ),
1 2 1 2
где 1 2 – кривая, составленная из кривых 1 и 2.
3. ∫ ( ) = − ∫ − ( ),
где − – кривая, совпадающая с , но проходимая в противоположном направлении.
4. Если функция ( ) аналитична в односвязной области , содержащей точки 0 и 1, то имеет место формула НьютонаЛейбница
1
∫ ( ) = ( 1) − ( 0) = ( ) | 1,
0
0
где ( ) – какая-либо первообразная для функции ( ), т.е.
′( ) = ( ) в области .