Добавил:

Rumpelstilzchen Rumpelstilzchen2018@yandex.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

3-й семестр / Лекции / 05

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.12.2020

Размер:

425.76 Кб

Скачать

☆

ЛЕКЦИЯ 5.

Степенные ряды

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

a x a

...

n 0

Рассматриваются также степенные ряды более общего вида:

an (x x0 )n a0

a1 (x x0 ) a2 (x x0 )2 ... ,

n 0

которые с помощью замены

(x x

)

на новую переменную сводятся к рядам

вида an xn , изучением которых можно ограничиться. Выясним,

какой вид

n 0

имеет область сходимости степенного ряда.

1. Теорема Абеля.

a x

Теорема. Если степенной ряд

сходится в некоторой точке

, то

n 0

он абсолютно сходится в любой точке x, такой что

x x

0 .


Доказательство. Из сходимости ряда		a
Доказательство. Из сходимости ряда
	n 0

стремится к нулю, а, значит, ограничен, т.е.

M такое, что:	a	x	n	M	(n 0,1,2,3,...)	.
	a	x		M
		n 0

	x		n	следует, что его общий член
n		0

существует положительное число

Возьмем произвольное x, для которого

x x

и рассмотрим ряд

Оценим его общий член:

a x n

M qn

где

n 0



n	0

a		x	n
	n

Общий член рассматриваемого ряда меньше, чем соответствующие члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Значит, степенной ряд сходится абсолютно в точке x. Теорема доказана.

2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Заметим,

Рассмотрим ряд

что



n	0


любой степенной ряд				a	x	n	сходится при	x 0 .
				a	x
				n
			n 0
n!x	n	. Применим для нахождения его области сходимости
n!x

признак Даламбера:

	(n 1)!x		n 1
lim	(n 1)!x		x lim(n 1)	, если	x 0 .
lim	n!x	n	x lim(n 1)
n		n	n
n			n
Значит, данный ряд сходится только в одной точке						x	0	.
Значит, данный ряд сходится только в одной точке						0		.

Предположим, что для степенного ряда существуют отличные от нуля значения x, при которых он сходится. Если множество этих значений не ограничено, то согласно теореме Абеля ряд сходится всюду, причем абсолютно.

Пусть множество значений x, при которых степенной ряд сходится,

ограничено,	и положительное число R – точная верхняя					грань	этого
множества.	Если	x R	, то найдется значение	x	такое, что	x x	R	,
				0		0

при котором ряд сходится. Тогда согласно теореме Абеля ряд сходится абсолютно в точке x. Итак, степенной ряд сходится абсолютно в интервале ( R, R) и расходится вне этого интервала. На концах интервала, т.е. при

x R
может иметь место как сходимость, так и расходимость ряда.
Определение. Интервал	( R, R)	называется интервалом сходимости

степенного ряда, а число R – радиусом сходимости.

Если степенной ряд сходится на всей числовой оси, то его радиус сходимости

R	x 0	, то R 0 .
, а если ряд сходится только в одной точке

Замечание 1. Степенной ряд вида

		0
n		0		n
	a	(x x	)
n 0

сходится или в интервале

(x0 R, x0 R) с центром в точке x0 , или на всей числовой оси, или только в точке x x0 .

Замечание 2. Интервал сходимости степенного ряда может быть найден с помощью признаков Даламбера или Коши. Для установления сходимости или расходимости на концах интервала требуется дополнительное исследование с помощью других теорем.

Пример 1.

		(n 1)
Найти область сходимости степенного ряда			x n .
		2n

	n 0

Применим признак Даламбера:

(n 2)x

n 1

n 2

lim

x 2

n 1

(n 1)x

n n 1

( 2, 2)

– интервал сходимости,

R 2

– радиус сходимости.

Исследуем сходимость на концах интервала. Обозначая

ряда

(x)

, вычислим его значения на концах интервала:

u ( 2) ( 1)

(n 1)

(2) n 1

При

x 2

не

выполняется необходимое

условие

следовательно, на концах интервала ряд расходится.

Пример 2.

(x 1)

Найти область сходимости степенного ряда

( 1)

ln n

n 2

Применим признак Даламбера:

(x 1)

n 1

ln n

x 1

ln n

x 1

lim

n 1

ln(n

(x 1)

n ln(n

n 3

При вычислении

lim

ln n

используется правило Лопиталя:

n ln(n 1)

lim

lnt

lim

t 1

lim

ln n

t ln(t 1)

n ln(n 1)

t 1

Интервал сходимости определяется из неравенства:

2 x 2	.

общий член

сходимости,

( 4,

	x 1	1 x 1 3 3 x 1 3 4 x 2 .
	3

	– интервал сходимости, R 3 – радиус сходимости.

2) Исследуем сходимость на концах интервала: При

x 4

получим

	1
положительный ряд		. Сравним его с гармоническим рядом
	ln n
n 2

		1

		n
	n 1

Покажем, что для любого номера

n 2,3,4,...

выполнено неравенство:

1	1	ln n	1.
ln n	n	n

Для этого рассмотрим функцию

		1 ln x					x e .
f (x)			x2	0	при

Так	как		f (2)		ln 2	1,		f (3)	ln 3
					2
								3

f (x)	ln x	и вычислим ее производную:
	x

1 ,

а при

x e

f (x) убывает, то ее

значения меньше 1 при всех n 2,3,4,... . Члены полученного ряда больше, чем соответствующие члены гармонического ряда, т.е. при x 4 ряд

( 1)

расходится. При

x 2

получим ряд

, который сходится условно как

ln n

знакочередующийся ряд Лейбница.

Пример 3.

Найти область сходимости степенного ряда

n 0

Применим признак Даламбера:

n 1

lim

при всех x.

(n 1)!

n n 1

Следовательно, область сходимости данного ряда – вся числовая ось.

3. Равномерная сходимость степенного ряда, его почленное

интегрирование и дифференцирование.

Теорема (о равномерной сходимости степенного ряда). Степенной ряд


an x		n
an x
n	0

сходится равномерно на любом отрезке, принадлежащем интервалу

сходимости.

Доказательство. Пусть	( R, R)	– интервал сходимости степенного ряда и

a, b – произвольный отрезок, принадлежащий этому интервалу. Обозначим

x0 – максимальное из чисел

a ,

. Тогда для всех

x a, b

будет

выполняться неравенство

. Степенной ряд сходится абсолютно в точке

x	, т.к.	x	(
0	, т.к.	0

мажорируется

R, R) . Кроме того: на отрезке a, b

a		x	n	a	x	n	,
	n
					n 0

сходящимся

т.е. степенной ряд положительным числовым

рядом, а, значит, согласно теореме Вейерштрасса, сходится на этом отрезке равномерно. Теорема доказана.

Степенные ряды обладают свойствами равномерно сходящихся функциональных рядов.

1.Сумма степенного ряда непрерывна на любом отрезке, принадлежащем интервалу сходимости, а, значит, непрерывна на всем интервале.

2. Интеграл от суммы степенного ряда

S (x)

на любом

отрезке, принадлежащем интервалу сходимости, равен сумме ряда, полученного из данного степенного ряда путем почленного интегрирования на том же отрезке:

b S (x)dx

Если в

an x

n 0	a

качестве

ndx .

отрезка интегрирования взять отрезок 0, x , где x

принадлежит интервалу сходимости, то равенство приобретает вид:

x		an		an 1
S(x)dx			xn 1		xn ,
		n 1		n
0	n 0		n 1

т.е. в результате почленного интегрирования степенного ряда на отрезке 0, x получается также степенной ряд. Пользуясь, например, признаком Даламбера, можно показать, что радиус сходимости полученного ряда совпадает с радиусом сходимости исходного ряда.

3. При почленном дифференцировании степенного ряда


an xn	получим также степенной ряд an n xn 1	an 1 (n 1) xn с
n 0	n 1	n 0

тем же радиусом сходимости. Это означает, что сумма степенного ряда дифференцируема на интервале сходимости, и производная суммы

равна сумме ряда из производных. Почленное дифференцирование можно применить повторно к ряду из производных первого порядка, второго и т.д. Значит, сумма степенного ряда имеет внутри интервала сходимости производные всех порядков.

Замечание. При почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда интервал сходимости сохраняется. Сходимость на концах интервала может появляться или исчезать.

			x	n
Пример 4. Найти сумму ряда	( 1)	n 1	x		.
		n 1
			n

n 1
n 1			1, 1
Данный ряд сходится на промежутке			1, 1			. Обозначим
Данный ряд сходится на промежутке						. Обозначим

применим теорему о почленном дифференцировании:

S(x)

его сумму и

S (x)

( 1)

n 1

( 1)

n 1

n 0

1 x

Полученный

в результате почленного

дифференцирования степенной

является суммой геометрической прогрессии и сходится на интервале

(

ряд

1,1)

Учитывая, что

S (0)

, найдем

S (x) ln(1


Пример 5. Найти сумму ряда	(n 1) x		n	.
	(n 1) x

n 0
Данный ряд сходится на интервале		( 1,1)			. Обозначим
Данный ряд сходится на интервале					. Обозначим

применим теорему о почленном интегрировании:

S(x)

его сумму и

S (x)dx

n 1

n 0

n 1

Полученный

результате

почленного интегрирования степенной

ряд

является суммой геометрической прогрессии и сходится на интервале

( 1,1)

S (x)

2 .

1 x

(1 x)

Соседние файлы в папке Лекции

#
25.12.2020572.77 Кб401.pdf
#
25.12.2020562.52 Кб302.pdf
#
25.12.2020407.81 Кб403.pdf
#
25.12.2020572.25 Кб304.pdf
#
25.12.2020425.76 Кб305.pdf
#
25.12.2020543.3 Кб206.pdf
#
25.12.2020581.83 Кб306 - презентация.pdf
#
25.12.2020428.79 Кб307.pdf
#
25.12.2020954.27 Кб307 - презентация.pdf
#
25.12.2020339.7 Кб308.pdf