3-й семестр / Лекции / 04

Добавил:

Rumpelstilzchen Rumpelstilzchen2018@yandex.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

limr (x) lim

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.12.2020

Размер:

572.25 Кб

Скачать

☆

ЛЕКЦИЯ 4.

Функциональные ряды

1. Функциональный ряд, его область сходимости.

Определение. Пусть дана последовательность функций:

u (x),u	2	(x),..., u	n	(x),...
1	2		n

Выражение вида:

, определенных на некотором множестве


u (x) u	2	(x) ... u	n	(x) ...		u	n	(x)
1	2		n				n
					n 1
называется функциональным рядом, а множество									X – областью определения

этого ряда.

При подстановке произвольного значения x из множества X функциональный ряд становится числовым, причем при одних значениях x числовой ряд может быть сходящимся, а при других – расходящимся.

Определение. Множество значений переменной x, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Например, ряды:

xn

n 1

	1

		x
n 1	n

определены при любых значениях x.

Областью сходимости первого из них является интервал

( 1,1)

, а областью

сходимости второго – промежуток

(1,

)

. Сумма функционального ряда

S(x) представляет собой функцию, определенную на области сходимости ряда.

2. Равномерная сходимость функционального ряда.

Конечные суммы сохраняют свойства своих слагаемых. Например, сумма конечного числа непрерывных функций также непрерывна. Обладают ли бесконечные суммы функций, т.е. функциональные ряды, аналогичными свойствами? Рассмотрим пример.

	x	2
Функциональный ряд:	x						x 0

	(1 x2 )n представляет			собой		при		сумму
	(1 x2 )n представляет			собой		при		сумму
n 0
геометрической прогрессии со знаменателем			q	1	,	0 q 1 . Все члены

				x2
			1	x2

этого ряда равны нулю при x 0 . Следовательно, данный ряд определен и сходится при всех x, причем его сумма

	x	2
S (x)	x		1	x
				2	, если	x 0	,	S (0) 0	.
	1	1				x 0		S (0) 0


		x
	1	x
		2
Таким образом, сумма ряда терпит разрыв при										x 0	, несмотря на то,

что члены ряда непрерывны при всех x.

Функциональные свойства суммы ряда зависят от характера сходимости самого ряда.

Определение. Пусть функциональный ряд

un (x) n 1

сходится на

множестве X. соответственно.

S	n	(x), S(x)
	n

- частичная сумма и сумма этого ряда

Функциональный ряд

un (x) n 1

называется равномерно сходящимся на

множестве X, если этот ряд сходится при всех x, принадлежащих множеству

X, и для любого				0			найдется такой номер N, что для всех номеров	n N

и для любого			x X		будет выполнено неравенство:

S	n	(x) S(x)				.

Другими словами, ряд сходится равномерно на множестве X, если разность между частичной суммой и суммой ряда становится сколь угодно малой, начиная с некоторого номера, одновременно для всех x, принадлежащих множеству X.

Пример 1.

Ряд

	( 1)	n 1

	n x		2n
n 1

сходится при всех x как знакочередующийся ряд

Лейбница. В случае, когда	x 1 или x 1
ряда монотонно убывают	по модулю,
знаменатель дроби. В случае, когда		x

неравенство:

легко убедиться в том, что члены

т.к. с ростом		n увеличивается
1	проверим,	что выполняется

1		1
				,
	n 1 x2n 2		n x2n
которое равносильно неравенству:

n x	2n	n 1 x		2n 2	,


которое, в свою очередь, равносильно неравенству:
x2n (1 x2 ) 1 ,			а последнее верно при x ( 1,1) . Общий член данного

ряда стремится к нулю с ростом n при всех x. Воспользуемся оценкой остатка ряда Лейбница:

S		(x) S (x) u		(x)		1	1	.
	n		n 1
					n 1	x2n 2	n 1

Разрешая данное неравенство относительно n, получим:

В качестве номера N можно выбрать, например, число,

n	1	1	.
n		1

на единицу большее

целой части числа	1	. Тогда для любого		0	существует такой номер N,
				0


что для всех номеров		n N	будет верно неравенство:			S	n	(x) S(x)	,
что для всех номеров			будет верно неравенство:				n		,

т.е. данный ряд сходится равномерно на всей числовой оси.

Пример 2.

Ряд xn является суммой геометрической прогрессии и сходится при

n 1

всех x ( 1,1) . Вычислим сумму остатка этого ряда:

r (x) x	n 1	x	n 2	...	x	n 1
					x		.


n					1 x
					1 x

Если зафиксировать номер n, то		lim	r (x)
	x 1 0		n

Это доказывает, что для всех		x ( 1,1)

1 2

,	lim r		(x)
	x 1 0	n

невозможно

осуществить

выполнение неравенства	n
	r (x)

номере n. Таким образом,


, например, для

данный ряд сходится

1	, при одном и том же
2	, при одном и том же
2
на интервале		( 1,1)
на интервале

неравномерно.

При исследовании функциональных рядов на практике удобно пользоваться достаточными условиями равномерной сходимости.

3. Теорема Вейерштрасса (достаточное условие равномерной сходимости).

Если члены функционального ряда un (x) при всех x, принадлежащих

		n 1
множеству X, удовлетворяет неравенству: un (x) an ,			n 1,2,3,... ,

где ≥ 0 - члены	некоторого	сходящегося числового		ряда	a	n ,	то
					n 1
					n 1

функциональный ряд	un (x)	сходится абсолютно и		равномерно			на

n 1

множестве X.

Доказательство. Абсолютная сходимость функционального ряда при всех x X следует из признака сравнения и из сходимости числового ряда. Покажем, что функциональный ряд сходится равномерно на множестве X. Из условия теоремы следует, что для любого натурального числа k и для любого x X верно неравенство:

un 1 (x) un 2 (x)

un k (x)

un 1 (x)

un 2 (x)

un k (x)

an 1 an 2

an k n ,

где

n – остаток числового ряда. Переходя в этом неравенстве к пределу при

условии

k , получим:

r (x)

n ,

где

(x)

–

остаток

функционального ряда.

Т.к. по условию теоремы числовой ряд сходится,

то для любого 0

найдется

такой номер N,

что для всех номеров

n N

будет выполнено

неравенство: n ,

а, значит, и для остатка функционального ряда верно, что

r (x)

для всех x X , т.е. функциональный ряд сходится равномерно на множестве

Определение.

Числовой ряд

n ,

удовлетворяющий условиям теоремы

n 1

Вейерштрасса,

называется

мажорирующим

числовым

рядом

для

функционального ряда un (x) или числовой мажорантой.

n 1

cosnx

Пример 3. Доказать, что функциональный ряд

сходится равномерно

n 1

при всех x.

Мажорирующим числовым рядом для данного функционального ряда

cosnx

является ряд

2 , т.к.

при всех

А так

как ряд

n 1

сходится, то данный функциональный ряд сходится равномерно на всей числовой оси.

																																											x
Пример				4.					Доказать,										что					функциональный														ряд					x			сходится
Пример				4.					Доказать,										что					функциональный														ряд			n	3	x	3		сходится
																						0,																	n 1		n		x
																																							n 1
равномерно на промежутке																												.																	x 0,
равномерно на промежутке																												.
	Члены данного функционального ряда неотрицательны при																																														.
	Члены данного функционального ряда неотрицательны при																																														.
Для	построения												мажоранты													найдем								при			каждом			фиксированном n
максимальное значение функции																											n	(x)					3	x	3	. Для этого вычислим:
максимальное значение функции																											n						3		3	. Для этого вычислим:
																										u						n		x
																														n		n		x
																														n		3
																																3
			3					3				3						3					3	2 x3
		n	3	x				3		3x		3	2x					3	n				3							2
u (x)		n		x						3x			2x						n											2
u (x)					3				3		2				3				3			2					3	3			2 .
n			(n		3				3	)	2			(n	3				3		)	2			(n		3	3		)	2 .
			(n			x				)				(n			x				)				(n			x		)
u (x)			0			при					x			n				и			эта			точка является													точкой максимума									функции


n													3	2
													3	2
un (x)		(можно проверить,																			вычислив вторую производную).																						Максимальное
																												n
				u															n							3								2			1	3 4		1
																			n							3		2						2			1	3 4		1
									(x)				u
значение									(x)				u																											n2 .
значение							n				max					n			3	2					n3				n3					33 2			n2	3		n2 .
																n									n3
																												2

Значит, члены функционального ряда на множестве

удовлетворяют

				3	4		1
	0 u		(x)		4		1
неравенству:	0 u	n	(x)		3		n		2 .
неравенству:		n							2 .

									1
Поскольку числовой ряд									1
Поскольку числовой ряд								n		2
						n 1		n
						n 1

сходится, то числовой ряд, общий член


которого равен		3 4	1	, также						сходится. В силу теоремы Вейерштрасса
которого равен			2	, также						сходится. В силу теоремы Вейерштрасса
	3		n									0,
данный функциональный ряд сходится равномерно на промежутке												0,	.
данный функциональный ряд сходится равномерно на промежутке													.
	Свойства равномерно сходящихся рядов
						x	2
Рассматривая ряд						x					, который сходится при всех x и все члены

					(1	x		2	)	n
				n 0	(1	x			)
				n 0

которого непрерывны на всей числовой оси, мы обнаружили, что сумма ряда терпит разрыв в точке x 0 . Это объясняется неравномерностью сходимости данного ряда на любом множестве, содержащем точку x 0 . Покажем это, оценивая остаток ряда при x 0 :

												x	2
												x
		x	2				x	2				(1 x		2	)	n
r	(x)	x					x				...	(1 x			)
r	(x)			2		n		2		n 1	...
n		(1 x		2	)	n	(1 x	2	)	n 1		1	1
		(1 x			)		(1 x		)				1
													x
												1	x
																2

1
(1 x	2	)	n 1

Поскольку

, то остаток ряда не может быть

сколь угодно мал одновременно при всех x ни для какого номера n.
Ряд сходится неравномерно на множестве, содержащем точку	x 0 .

Перейдем к изучению свойств функциональных рядов, сходящихся равномерно на некотором отрезке.

1. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.

Теорема. Пусть функции

u	n	(x)
	n

(n 1,2,3,...)

определены и непрерывны на

отрезке a, b , а ряд

un (x) n 1

сходится равномерно на этом отрезке. Тогда

сумма ряда S(x) непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. Зафиксируем произвольную точку x0 , принадлежащую отрезку a, b , и для любого значения x, также принадлежащего отрезкуa, b , оценим разность:

S(x) S(x

) (S(x) S

(x)) (S(x

) S

) (S

(x) S

))

S(x) S

(x) S(x

) S

(x) S

)

Выберем произвольное число

. В силу равномерной сходимости

ряда можно фиксировать номер

такой,

что неравенство

S (x) Sn

(x)

будет выполнено

для

всех

x a, b

, в том числе и

для

. При

фиксированном

частичная сумма

ряда Sn (x) является непрерывной на

отрезке a, b как сумма конечного числа непрерывных функций. Поэтому

для выбранного

найдется

такое

число

что

для

любого x,

удовлетворяющего неравенству

x x

, будет выполнено неравенство:

Sn (x) Sn (x0 ) .

Тогда разность:

S (x) S (x

)

что доказывает непрерывность суммы ряда в точке

, а т.к.

0 выбрано

произвольно на отрезке

a, b

, то

S(x)

непрерывна на

a, b

Другие свойства равномерно сходящихся рядов сформулируем без доказательства.

2. Почленное интегрирование.

Теорема. Если функции

u	n	(x)
	n

(n 1,2,3,...)

непрерывны на отрезке

, а

ряд

(x)

сходится равномерно на этом отрезке, то интеграл от суммы

n 1

a, b

ряда

S(x)

на отрезке

представляется в виде

суммы интегралов от

членов этого ряда:

S (x)dx un (x)dx .

n 1 a

Замечание.

Интегрирование

можно выполнить

на

любом отрезке,

принадлежащем отрезку

a, b

Пример 5. Вычислить сумму числового ряда

n 1

Пусть S - искомая сумма, представим S в виде:

n 1

3 n 1 3

Рассмотрим функциональный ряд


n x	n 1
n x
n 1

На любом отрезке,

принадлежащем интервалу ( 1,1) , этот ряд сходится равномерно, т.к.

мажорируется сходящимся числовым рядом. Пусть	(x)	– сумма этого ряда,

тогда:

	1
	3
	3

(	1	)
	3

Применим к построенному функциональному ряду теорему о
почленном интегрировании. Интегрирование выполним на отрезке			0, x ,
полагая, что	x ( 1,1)	.

	x	x					x
	(x)dx n x n 1dx x n						x	.

						1	x
	0	n 1 0			n 1	1	x
	0	n 1 0			n 1
		x	1
		x	1
Тогда	(x)			2	. Искомая сумма
Тогда	1	x	(1 x)	2	. Искомая сумма
	1	x	(1 x)

3. Почленное дифференцирование.

3 4

Теорема. Пусть функции un (x)

отрезке

a, b и имеют на этом отрезке

1,2,3,...)	определены и непрерывны на

непрерывные производные	u	(x)	. Ряд
	n

un (x) n 1

сходится, а ряд

	n
	n
	u (x)
n 1

сходится равномерно на отрезке

a, b

	n
	u (
n 1

, причем

Пример 6. Вычислить сумму числового ряда 2n n .

n 1

	x	n
Рассмотрим функциональный ряд	x
Рассмотрим функциональный ряд	n
n 1	n

( 1,1) . Обозначим исходную сумму

функционального ряда	S (x)	. Тогда
	S (x)

, который сходится на интервале

числового			ряда S, а	сумму
	1
S S
S S
	2	.	Рассмотрим	ряд из

производных x n 1 . Этот ряд сходится равномерно на любом отрезке,

n 1

принадлежащем интервалу ( 1,1) , т.к. мажорируется сходящимся числовым рядом, Применим к данному ряду теорему о почленном дифференцировании:

S (x)

Учитывая,

	1
S S
S S
	2

					1
x n 1 x n					1	.

				1	x
n 1		n 0		1	x
n 1		n 0
что	S (0) 0		,		получим
что			,		получим
	1
ln 1		ln 2 .
ln 1		ln 2 .
	2

ln(1

Искомая сумма

Соседние файлы в папке Лекции

#
25.12.2020572.77 Кб401.pdf
#
25.12.2020562.52 Кб302.pdf
#
25.12.2020407.81 Кб403.pdf
#
25.12.2020572.25 Кб304.pdf
#
25.12.2020425.76 Кб305.pdf
#
25.12.2020543.3 Кб206.pdf
#
25.12.2020581.83 Кб306 - презентация.pdf
#
25.12.2020428.79 Кб307.pdf
#
25.12.2020954.27 Кб307 - презентация.pdf