Свойства произведения двух матриц

1) Произведение матриц ассоциативно (АВ)С = А(ВС) .

2) Для произведения матриц выполняется дистрибутивный закон (А + В) С = АС + ВС , С (А + В) = СА + СВ 

3) Произведение матриц некоммутативно .

4)Единичная матрица Е порядка n на n является нейтральным элементом по умножению, то есть, для произвольной матрицы А порядка p на n справедливо равенство  , а для произвольной матрицы А порядка n на p - равенство  .

5 ) Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: если С = АВ , то .

23) Для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

Свойства транспонирования

1. Д важды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

2. Т ранспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

3. Т ранспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

4. При транспонировании можно выносить скаляр

5. О пределитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

24) Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной, если ее определитель |A| ≠ 0. В случае, когда |A| = 0, матрица А называется вырожденной.

25) Обратной для квадратной матрицы А называется матрица А^-1, для которой выполняется: А^-1*А=А*А^-1=Е, где Е – единичная матрица

Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие обратной матрицы А^-1

Формула обратной матрицы:

где A_ij- алгебраическое дополнение элементов a_ij

26) Ранг матрицы А – наивысший порядок отличных от 0 миноров. r(A)

Свойства ранга матрицы:

1. В матрице размерностью m_×n , r(A) ≤ наименьшему из m_×n

2. r(A)=0, если все элементы матрицы = 0

3. Если матрица А квадратная, порядка n , то r(A) =n когда detA ≠ 0

4. Ранг матрицы не меняется при ее Элементарных преобразованиях, в этом случае ранг матрицы будет равен количеству не нулевых строк

27) Элементарные преобразования, не меняющие ранг матрицы:

1. Отбрасывание 0-го столбца (строки)

2. Перестановка строк (столбцов)

3. Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число ≠ 0

4. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца), соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число

5. Транспонирование

28) Основные методы вычисления ранга матрицы:

1. Метод окаймляющих миноров: пример

Поскольку в матрице есть ненулевые элементы, то её ранг не меньше единицы и, очевидно, что он не превосходит 4. Как действовать дальше?

Дальше необходимо начать перебор и вычисление миноров 2-го порядка. Если ВСЕ миноры 2-го порядка окажутся нулевыми, то ранг матрицы равен единице. Но это крайне маловероятно, рано или поздно (чаще всего рано), встретится ненулевой минор  , и данный факт означает, что ранг матрицы не менее двух.

На следующем шаге последовательно перебираем и рассчитываем миноры 3-го порядка. Если ВСЕ эти миноры равны нулю, то  . Если же встретился минор  , то делаем вывод о том, что ранг матрицы не менее трёх и переходим к следующему шагу.

Перебор и вычисление миноров 4-го порядка. Если ВСЕ миноры 4-го порядка равны нулю, то  , если встретился минор  , то  .

Таким образом, ранг матрицы равен максимальному порядку ненулевого минора.

2. Метод элементарных преобразований

М етод заключается в том, чтобы с помощь элементарных преобразований привести матрицу к треугольному (ступенчатому) виду. В этом случае ранг матрицы будет равен количеству не нулевых строк

=> r=3

29) Система линейных уравнений

- называется квадратной СЛУ, если число   уравнений равно числу   неизвестных. Где

a_ij – коэффициенты перед неизвестными

(x₁, x₂ …) – неизвестные

b_j – свободный член

30) Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам:

где Δ - определитель матрицы системы, Δ_i - определитель матрицы системы, где вместо i -го столбца стоит столбец правых частей.

Рассмотрим систему уравнений 

На первом шаге вычислим определитель   , его называют главным определителем системы.

Если  , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:  и 

Корни уравнения находим по формулам: , 

31) Матричный метод

Р ешение: Запишем систему в матричной форме: , где  

Найти обратную матрицу A и найти ответ по формуле

32) Система m-линейных уравнений с n-неизвестной называется система вида:

Где a_ij – коэффициенты перед неизвестными

(x₁, x₂ …) – неизвестные

b_j – свободный член

33) Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

34) Совместная система называется определенной, если имеет единственное решение и неопределенной, если имеет больше одного решения.

36) Основная матрица системы А – матрица, состоящая из коэффициентов при переменных.

Расширенная матрица системы A˜=(A∣B) - матрица, полученная из матрицы системы A , дописыванием справа после вертикальной черты столбца свободных членов

Теорема Кронекера-Капелли — Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём:

• система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных; r(A)=r(A*)=n

• бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных. r(A)=r(A*)<n

• Несовместна, и не имеет ни одного решения, если r(A)≠r(A*)

37) Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.

метод Гаусса - идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений, для решения систем уравнений, которые не являются квадратными. Работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.