Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Ответы на вопросы к зачету 1 семестр .docx
Скачиваний:
16
Добавлен:
24.11.2020
Размер:
361.02 Кб
Скачать

Вопрсы к зачету по лин.Ал.У

1) Комплексное число (КЧ) Z - называют число вида , где   и   – действительные числа,   – мнимая единица.

Комплексное число считается записанным корректно, если записано именно в данном виде. Запись по типу:   – ошибка. Правильный вариант:  .

2) Два комплексных числа  и   называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. и .

В частности КЧ=0, когда x=y=0.

Знаками неравенств КЧ соединить нельзя.

3) 2 КЧ отличающиеся лишь знаком мнимой части называется комплексно-сопряженными

для

4) Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором R, изображающим КЧ , называется аргументом КЧ ( argZ или 𝞿)

Для нахождения arg существует правило

5 ) число  – мнимая единица, которая определяется из соотношения , при

6) Число   называется действительной частью комплексного числа   и имеет обозначение x=ReZ. Число   называется мнимой частью комплексного числа   и имеет обозначение y=ImZ.

Если x=0, z=0+iy=iy – чисто мнимое

Если y=0, z=x+io=x –обычно действительное

7) Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем комплексного числа IZI

8) Чтобы изобразить комплексное число   на комплексной плоскости необходимо, в первую очередь, изобразить саму плоскость, представляющую из себя обычную координатную плоскость, но с осями Re (вместо  ) и Im (вместо  ), на первой оси отметить значение  , на второй – значение  . Пересечение перпендикуляров к этим точкам и есть КЧ  .

9) Алгебраическая форма комплексного числа

Запись комплексного числа z в виде z=x+yi, где x и y -действительные числа, называется алгебраической формой комплексного числа.

Например. z=1−i

Тригонометрическая форма комплексного числа

Е сли  - модуль комплексного числа  а ϕ - его аргумент, то тригонометрической формой комплексного числа z называется выражение

Показательная форма комплексного числа

Показательной формой комплексного числа называется выражение

10)

Для нахождения arg существует правило => что

:

:

:

:

:

:

11) Сложение и вычитание комплексных чисел:

  • В алгебраической форме:

 (аналогично с вычитанием)

  • В тригонометрической форме:

 (аналогично с вычитанием)

12) Умножение комплексных чисел:

  • В алгебраической форме:

 (простое раскрытие скобок)

  • В тригонометрической форме:

Деление комплексных чисел:

  • В алгебраической форме:

 (раскрытие скобок с помощью домножения знаменателя на сопряженное)

  • В тригонометрической форме:

13) Возведение комплексного числа в степень  .

Чтобы возвести КЧ в натуральную степень нужно модуль возвести в степень, а аргумент умножить на показательную степень.

  • в тригонометрической форме (формула Муавра):

  • в показательной форме:

14) Извлечение корня из комплексного числа

Чтобы извлечь корень из комплексного числа, в первую очередь, нужно представить его в тригонометрической форме. Количество корней есть значение, равное степени корня. То есть, извлекая корень 4-й степени из комплексного числа, мы получаем 4 корня.

Как и для возведения в целую степень, будет справедливо:

+  – степень извлекаемого корня,  . Вычисляем извлеченные корни поочередно, в каждый из которых подставляем свое значение n. Важно помнить, что аргумент   и   должен находиться в диапазоне  , следовательно, нужно не забыть вычесть нужное количество   после всех операций вычисления.

Если комплексное число не равно нулю, то корни степени   существуют всегда, и их можно изобразить на комплексной плоскости: они будут представлять собой вершины правильного   -угольника, который вписан в окружность с центром в начале координат и радиусом  .

15) Определителем или детерминантом второго порядка, равное разности произведений элементов стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на побочной диагонали (определитель обозначается  илиdetA).

Определителем или детерминантом третьего порядка, называется число равное