Специально для групп С-12 / Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Воспользуемся дифференциальной связью напряженности и потенциала электростатического поля (15.18). В результате получим, что

Левая часть полученного равенства представляет собой операцию суммирования вторых частных производных скалярной функции по координатам. В математике такую операцию называют оператором

Лапласа и обозначают 2 ≡ ϕ (не путайте с разностью потенциалов!). Таким образом, получим:

Это дифференциальное уравнение второго порядка, называемое уравнением Пуассона, позволяет по заданному распределению зарядов получить распределение потенциала электростатического поля, созданного этими зарядами.

241

Г л а в а 18

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ

Пример 18.1. Определить силу взаимодействия равномерно заряженной сферы радиусом R и зарядом Q с равномерно заряженным стержнем длиной l и зарядом q. Ближайший конец стержня находится на расстоянии r (r > R) от центра сферы.

Будем искать силу F, действующую со стороны сферы на стержень. Рассмотрим два положения стержня: исходное положение 1 и положение 2 (рис. 18.1), в которое стержень сместится на расстояние d r от сферы. Работа электростатического поля сферы по перемещению всего стержня в такое положение равна δA = F d r.

Однако положения 2 можно достигнуть иначе: можно самый

на правый конец стержня, не перемещая другие его части. В таком случае работа электростатического поля сферы составит:

Поскольку работа поля не зависит от траектории перехода из положения 1 в положение 2 , то

Рис. 18. 1

242

Поскольку из симметрии задачи следует, что v1 = v3, то закон сохранения энергии запишется следующим образом:

Проекции внешних сил, действующих на шарики, на горизонтальную плоскость стола отсутствуют, поэтому сохраняется проекция импульса системы: 0 = mv2 – 2mv1.

Решая составленные уравнения, получаем

Пример 18.3. Шар радиусом R1 заряжен с объёмной плотностью заряда ρ. Полость радиусом R2 находится в шаре так, что ее центр

расположен на расстоянии L от центра шара (рис. 18.3). Найти напряженность электростатического поля в полости.

Пусть O1 — центр шара, O2 — центр полости, а | O1O2| = L. Рассмотрим систему двух заряженных тел: сплошной шар радиусом R1 с объёмной плотностью заряда ρ с центром в т. O1 и сплошной шар

243

радиусом R2 с объёмной плотностью заряда – ρ с центром в т. O2. Очевидно, что

напряженности полей, создаваемых шаром 1 и шаром 2. Учтем, что

Мы получили весьма интересный результат: внутри полости в равномерно заряженном по объему шаре напряженность электростатического поля не зависит от положения исследуемой точки полости, т.е. электростатическое поле однородно.

Пример 18.4. Рассмотрим решение обратной задачи электростатики, когда необходимо по известному закону Er(r) восстановить

расположение и значения электрических зарядов, создающих такое поле. Пусть задано сферически симметричное электростатическое поле такое, что

где a = const; b = const; a > 0; b > 0. Определите значение заряда Q, находящегося внутри сферы радиусом r.

Воспользуемся для решения задачи теоремой Гаусса. Из соотношения (15.26) следует, что заряд, расположенный внутри замкнутой поверхности S, можно найти так:

º º

Q = ε0 E d S .

S

244

Рассмотрим поток напряженности через поверхность сферы радиусом r :

Тогда соответствующий заряд, охваченный сферой, составит

Однако в полученном выводе имеется противоречие: q → 0 при r → × , в то время как q > 0 при любом r. Иными словами: совокупность концентрических гауссовых сфер охватывает все меньший заряд, хотя внутри каждой сферы заряд положителен, но сумма положительных охваченных зарядов должна возрастать при увеличении размера охватывающей поверхности.

Определим заряд dQ, расположенный в сферическом слое радиусом r и толщиной dr. Для этого вычтем из заряда, сосредоточенного внутри сферы радиусом r2 , заряд, расположенный внутри сферы радиусом r1 ,

где r2 = r1 + dr :

dQ = 4πε0(r22Er + dr – r21Er) = 4πε0 d(r2E) .

Последнее выражение представляет собой полный дифференциал функции r 2E ( r). Объемная плотность заряда в рассматриваемом сферическом слое

Зная заданную в условии функцию E ( r), можно найти ее производ-

Вот теперь мы можем найти полный заряд во всем пространстве:

×

Q = ∫ ρ4πr 2 dr = –b .

0

В то же время при r → 0 из (18.1) мы получаем, что q → b > 0. Таким образом, в центре системы расположен положительный точечный заряд, а вокруг него в пространстве распределен отрицательный заряд, равный ему по модулю. Данное распределении заряда соответствует модели атома.

245

Пример 18.5. Точечный заряд Q расположен в вершине А куба. Определите поток вектора напряженности электростатического поля, созданного зарядом, через каждую из граней этого куба.

Силовые линии поля заряда скользят по трем граням куба, пересекающимся в вершине А. Следовательно, поток напряженности поля через каждую из этих граней равен нулю. Из симметрии задачи очевидно, что потоки напряженности поля через каждую из остальных граней куба одинаковы. Зададимся вопросом: «Какая часть силовых линий поля, созданного зарядом, проходит внутри данного куба?» Ответ очевиден: 1/8 часть, так как куб принадлежит одному из восьми октантов пространства с общей вершиной в точке А. Поэтому поток напряженности поля через любую охватывающую заряд замкнутую поверхность необходимо сначала разделить на 8 (число октантов пространства), а затем еще на 3 (число граней, не содержащих вершину А). Получаем ответ: Φ = 0 через каждую грань, содер-

Φ Q

жащую вершину А и = ----------- через каждую грань, не содержащую

24ε0

вершину А.

Пример 18.6. Точечный заряд – q находится на расстоянии h от бесконечно большой проводящей плоскости. Определите значение заряда, индуцированного на плоскости.

Для решения задачи воспользуемся «методом электрических изображений». Сущность метода заключается в следующем. Пусть электрическое поле в пространстве создается системой точечных

зарядов q1, q2, …, qN1, q1′ , q2′ , …, qN2′ (рис. 18.4). Пусть поверхность

S – одна из эквипотенциальных поверхностей поля. Она разбивает все пространство на две области I и II. Электрическое поле в зоне I можно определить, указав только значения зарядов q1, q2, …, qN1 и

потенциал поверхности S. Значения зарядов q1′ , q2′ , …, qN2′ для этого задавать не обязательно. Аналогично, поле в области II можно

246

определить, указав только значения зарядов q1, q2, …, qN1 и индуцированные заряды. Однако это означает, что поле индуцированных зарядов в зоне I эквивалентно полю зарядов q1′ , q2′ , …, qN2′ . Сово-

купность зарядов q1′ , q2′ , …, qN2′ называется «электрическим изображением» зарядов q1, q2, …, qN1 относительно поверхности S и

наоборот.

Вернемся к исходной задаче. Подберем такую систему зарядов, для которой заданная проводящая плоскость будет эквипотенциальной поверхностью. Очевидно, что можно рассмотреть систему заданного заряда – q и точечного заряда + q, расположенного на расстоянии h с другой стороны плоскости (рис. 18.5). Можно сказать, что заряд + q — «электрическое изображение» заряда – q, т.е. заряд + q создает такое же поле выше плоскости, что и индуцированные на ней заряды. Рассмотрим точку А, расположенную вблизи плоскости. Напряженность поля в этой точке найдем по принципу суперпозиции:

–q EA

247

определим так: qинд = ∫σ dS . Разобьем плоскость на систему кон-

центрических колец с центрами в т. О, радиусами r и толщинами dr (рис. 18.6). Элемент площади поверхности dS = 2πr dr. Тогда

Пример 18.7. Воспользуемся результатами предыдущего примера и решим такую задачу. Маленький заряженный шар радиусом r находится на расстоянии а (a > r) от большой заземленной проводящей пластины. Некая силовая линия поля выходит из шара параллельно этой плоскости. Определите точку вхождения этой линии в пластину (рис. 18.7).

Условие a >> r позволяет считать шар точечным зарядом, а распределение заряда по его поверхности – равномерным. Пусть заряд шара равен q. Выберем гауссову поверхность особым образом: её основания – диски (верхний – диаметральное сечение шарика, нижний расположен внутри пластины и имеет радиус r0 ), а боковая

поверхность образована всеми указанными в условии силовыми линиями. Поток напряженности через такую гауссову поверхность равен нулю, так как по боковой поверхности силовые линии скользят, а там, где располагаются основания поверхности, поля нет. Поэтому и охваченный поверхностью заряд равен нулю. Поскольку индуцированный на пластине заряд равен – q, то заряд диска радиусом r0 равен – q / 2 (попробуйте доказать это из свойств симметрич-

ности задачи). Если разбить диск на кольца, как в предыдущем примере, то получим:

Из этого выражения можно получить r0 = a3 .

r0

Рис. 18. 7

248

Г л а в а 19

ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

В предыдущих главах были рассмотрены основные вопросы электростатики. Явления и процессы, связанные с движением электрических зарядов, составляют особую часть учения об электричестве — электродинамику. В электродинамике вводится понятие электрического тока. Электрическим током называют всякое упорядоченное движение электрических зарядов. Электрический ток возникает в проводниках при условии, что внутри проводника напряженность электрического поля отлична от нуля. Нас будет интересовать лишь один класс проводников, а именно металлы. Рассмотрим условия существования непрерывного электрического тока, введем его характеристики — силу тока и плотность тока, познакомимся с основными представлениями классической электронной теории электропроводности металлов, с законом Ома для неоднородного участка цепи.

19.1. Электрический ток и условия его существования

Электрический ток проводимости — упорядоченное движение заряженных частиц относительно среды (внутри макроскопических тел). В металлах свободными носителями зарядов являются электроны; в жидкостях (электролитах) — положительные и отрицательные ионы; в газах — электроны и ионы; в полупроводниках — электроны и «дырки». Это значит, что электрический ток может быть обусловлен движением как положительно, так и отрицательно заряженных носителей. За направление тока принимается направление, в котором перемещаются положительные носители заряда.

Постоянный электрический ток — электрический ток, не изменяющийся во времени ни по значению, ни по направлению.

Упорядоченное движение свободных носителей зарядов возникает под действием сил электрического поля и характеризуется средней скоростью u. В то же время носители зарядов находятся в тепловом хаотическом движении со средней скоростью v. При наличии электрического тока нарушается равновесное распределение зарядов в проводнике: поверхность проводника уже не является эквипотенциальной, и силовые линии электрического поля не направлены перпендикулярно ей. Для движения зарядов необходимо, чтобы на

249

поверхности проводника тангенциальная составляющая напряженности электрического поля не равнялась нулю. Такое электрическое поле создается поверхностными зарядами, плотность которых изменяется по длине проводника (существует градиент поверхностной плотности заряда). Внутри проводника поверхностными зарядами создается электрическое поле, силовые линии которого повторяют форму проводника.

Необходимыми условиями для существования постоянного тока являются:

наличие свободных носителей зарядов, которые могли бы перемещаться на макроскопическое расстояние;

наличие замкнутой проводящей цепи;

наличие электрического поля, энергия которого затрачивалась бы на перемещение электрических зарядов (для того чтобы ток был длительным, энергия поля должна все время пополняться, т.е. нужен источник электрической энергии).

19.2. Сила тока, плотность тока. Уравнение непрерывности

Сила тока I — скалярная величина, численно равная заряду, переносимому в единицу времени через поперечное сечение проводника. Если за время dt переносится заряд dq, то по определению сила тока

Другой характеристикой тока является векторная величина —

º

плотность тока j . Модуль плотности тока равен отношению заряда, переносимого за единицу времени через поверхность, перпендикулярную к направлению движения носителей заряда, к площади этой поверхности.

Выделим внутри проводника с током поверхность площадью dS (рис. 19.1). За время d t эту поверхность пересечет заряд

d q = enu d t d S cos α = enu d t d S ,

dS

j

Рис. 19. 1

250