Специально для групп С-12 / Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Электрической емкостью конденсатора называется физическая величина, равная отношению заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками:

Так же как и электрическая емкость проводника, электрическая емкость конденсатора не зависит ни от величины заряда конденсатора, ни от разности потенциалов между его обкладками, а зависит только от размера и формы конденсатора, а также от диэлектрических свойств среды между обкладками конденсатора. Электрическая емкость конденсатора не зависит от наличия вблизи него других проводящих или диэлектрических тел и электрических полей.

Поскольку электрическая емкость величина положительная, а под зарядом конденсатора понимается модуль заряда одной из обкладок, то модуль разности потенциалов между обкладками обозначается символом U. Обычно выражение электрической емкости конденсатора записывается в виде:

C = Q / U.

Термин «электрическая емкость» возник еще в середине XVIII в., когда отсутствовало понятие электрических зарядов, а электрические явления описывались поведением «электрической жидкости», которая «переливалась» из одного проводника в другой по проводам. Таким образом, емкость конденсатора определяла «количество электрической жидкости», которое он может в себя вместить. Поэтому первый конденсатор получил название «лейденская банка» (по названию города Лейден, в котором он был сконструирован).

Пример 17.2. Выведем формулу электрической емкости плоского конденсатора, изображенного на рис. 17.7, а. Определим напряженность электростатического поля, создаваемого зарядом + Q одной из пластин площадью S. Силовые линии такого поля изображены на рис. 17.8.

Eсли рассмотреть точки пространства, расположенные настолько близко к пластине, что расстояние от них до пластины существенно меньше, чем до ее границ (из этих точек пластина будет представляться как бесконечно большая плоскость), то искривлением силовых линий у границ пластины можно пренебречь (рис. 17.9). Таким образом, большая заряженная пластина площадью S создает однородное поле. Ввиду симметричности системы модуль напряженности поля во всех точках, равноудаленных от пластины, должен быть одинаковым,

º

а направление вектора E зависит только от положения исследуемой точки пространства (слева или справа от пластины).

231

Определим напряженность поля в некоторой точке с координатой x, отсчитываемой вдоль оси OХ, направленной перпендикулярно пластине. Для этого в качестве гауссовой поверхности выберем поверхность цилиндра, ось которого перпендикулярна плоскости, а основание имеет площадь S1 (рис. 17.10).

Модуль напряженности поля одинаков во всех точках оснований

º

цилиндра, исходя из симметрии системы. Угол между E и внешней нормалью к поверхности во всех точках боковой поверхности цилиндра равен π / 2, а во всех точках левого и правого оснований гауссова цилиндра этот угол равен нулю.

Определим поток напряженности поля через выбранную поверхность:

SSлев

где Sлев — площадь левого основания гауссова цилиндра; Sправ — площадь правого основания гауссова цилиндра; Sбок — площадь боковой поверхности гауссова цилиндра. Получаем

S

232

Определим алгебраическую сумму зарядов, охваченных цилиндрической гауссовой поверхностью. В данном случае электрический заряд, попавший внутрь неё, — это заряд «вырезанной» цилиндром части пластины. Его можно найти, умножив площадь основания цилиндра на поверхностную плотность заряда пластины:

Приравняем (17.9) и (17.10) с учетом коэффициента ε0, получим:

Полученное соотношение определяет модуль напряженности однородного поля бесконечно большой заряженной пластины.

Расположим две разноименно заряженные пластины на малом расстоянии одна от другой так, чтобы выполнялось условие однородности поля каждой из них. На рис. 17.11 показаны силовые линии поля каждой пластины. Видно, что в пространстве между пластинами напряженности полей пластин совпадают по направлению, а вне пластин противоположны. Поэтому с учетом (17.11) запишем напряженность поля по принципу суперпозиции:

E = 0, x < 0, x > d.

В этом случае разность потенциалов между обкладками конденсатора можно определить следующим образом:

По определению (17.8) запишем электрическую емкость плоского конденсатора:

233

Следует учесть, что если пространство между обкладками любого конденсатора заполнить диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε, то при том же значении заряда обкладок напряженность поля между обкладками уменьшится в ε раз. Поэтому в ε раз уменьшится разность потенциалов между ними, а следовательно, в ε раз увеличится емкость конденсатора. Запишем формулу емкости плоского конденсатора, заполненного диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε:

Аналогично можно вывести формулу емкости сферического конденсатора:

Если конденсатор заполнен диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε, то

Подчеркнем еще раз, что электрическая емкость конденсатора зависит от его размера, формы обкладок и диэлектрических свойств среды, находящейся между его обкладками.

17.3.Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии

Рассмотрим процесс зарядки проводника. Чтобы его заряд достиг величины Q, будем сообщать проводнику заряд порциями dq, перенося их из бесконечно удаленной точки 1 на поверхность проводника в точку 2 (рис. 17.12).

Для передачи проводнику новой порции заряда dq внешние силы должны совершить работу против сил электрического поля:

δAвнеш = – dAполя = – dq(ϕ1 – ϕ2).

234

Если проводнику передан заряд q, то его потенциал ϕ = q / C. Работу внешних сил по зарядке проводника зарядом Q рассчитаем так :

Согласно закону сохранения энергии приращение электрической энергии проводника равно работе внешних сил:

Рассмотрим процесс зарядки конденсатора электрической емкостью С от источника ЭДС. Источник в процессе зарядки переносит заряды на пластины конденсатора, причем сторонние силы источника совершают работу по увеличению энергии конденсатора:

где Q — заряд конденсатора после его зарядки. Тогда энергия электрического поля в конденсаторе

2 º º

С учетом того, что Q = C | ϕ1 – ϕ2 | и ϕ1 – ϕ2 = ∫ E d l , энергию

1

электрического поля можно представить двумя способами:

Сопоставление двух соотношений позволяет задать вопрос: с чем связана энергия электрического поля — с электрическим зарядом, создающим поле (первая формула), или с напряженностью поля (вторая формула)? Оба записанных равенства согласуются с результатами экспериментов, т.е. расчет энергии поля можно одинаково правильно осуществлять по обеим формулам. Однако такое наблюдается только в электростатике, т.е. когда осуществляется расчет энергии поля неподвижных зарядов.

235

При рассмотрении теории электромагнитного поля в дальнейшем увидим, что электрическое поле может создаваться не только неподвижными зарядами. Электростатическое поле — это частный случай электромагнитного поля. Его энергия распределена в пространстве с определенной плотностью.

Определим энергию электрического поля плоского конденсатора. Подставим в (17.15) выражение для электрической емкости C = εε0S / d

и формулу связи разности потенциалов и напряженности однородного поля ϕ1 – ϕ2 = Ed. В результате получим :

где Sd = V — объем конденсатора, т.е. объем той части пространства, в которой создано электрическое поле. Введем величину

которая называется объемной плотностью энергии поля. Она равна отношению энергии поля, заключенного в некотором объеме пространства, к этому объему.

Следовательно, энергия однородного электрического поля W = wэV =

εε0E 2

=--------------- V . Если поле неоднородное, то можно выбрать такой эле-

2

ментарный объем пространства dV, в пределах которого значение напряженности поля будет практически одинаковым. Тогда по аналогии с предыдущей формулой выражение для энергии поля в эле-

Пример 17.3. Рассчитаем энергию электрического поля, созданного проводящим шаром радиусом R, заряженным зарядом Q и находящимся в среде с относительной диэлектрической проницае-

236

Поскольку напряженность поля зависит только от радиальной координаты r, то она будет практически постоянна в пределах тонкого сферического слоя с радиусом внутренней поверхности слоя r и

толщиной dr (рис. 17.13). Объем этого слоя dV = 4πr 2dr. Тогда энергия поля

Аналогичный результат можно получить, если вычислять энергию заряженного шара по формуле (17.15). Воспользовавшись выражением электрической емкости уединенного шара C = 4πεε0R,

получим:

Однако расчет по формуле (17.15) неприменим, если необходимо найти энергию электрического поля, заключенную не во всем объеме пространства, где присутствует поле, а лишь в части объема этого пространства.

17.4. Теорема Гаусса в дифференциальной форме. Уравнение Пуассона

Рассмотренные выше способы решения основной задачи электростатики, т.е. нахождения напряженности и потенциала электростатического поля по заданному распределению электрических зарядов, сводятся к двум основным методам.

Метод 1. В исследуемой точке пространства по заданному распределению зарядов находится напряженность электростатического

237

поля. Для этого применяется принцип суперпозиции (15.9) или теорема Гаусса (16.17). На следующем этапе ищется потенциал исследуемой точки поля. Для этого используется интегральная связь напряженности и потенциала (15.16).

Метод 2. В исследуемой точке пространства по заданному распределению зарядов находится потенциал электростатического поля. Для этого применяется принцип суперпозиции (15.17). На следующем этапе определяется напряженность в исследуемой точке поля. Для этого используется дифференциальная связь напряженности и потенциала (15.18).

Оба этих метода, основанные на первоначальном использовании или теоремы Гаусса, или принципа суперпозиции, имеют определенные недостатки. Во-первых, использование принципа суперпозиции очень часто приводит к интегрированию весьма сложных функций. Решение подобных задач в аналитическом виде иногда просто невозможно, и приходится применять методы численного интегрирования. Во-вторых, несмотря на всеобщий характер, теорема Гаусса удобно разрешима только для симметричных систем зарядов.

Попытаемся преодолеть эти трудности, рассмотрев использование теоремы Гаусса в дифференциальном виде. Допустим, что электрический заряд произвольным образом распределен в пространстве. Для несимметричной системы зарядов невозможно подобрать «удобную» замкнутую гауссову поверхность конечной площади, проходящую через исследуемую точку пространства. Поэтому охватим эту точку A некоторой произвольной замкнутой поверхностью, ограничивающей бесконечно малый объем пространства. В качестве такой поверхности выберем поверхность кубика с размерами dx × dy × dz (рис. 17.14). Тогда выражение (16.17) запишется в виде

238

где слева представлен элементарный поток электрического смещения через выбранную поверхность, а справа — элементарный свободный заряд, охваченный ею.

где знак «–» означает, что внешняя нормаль к левой грани кубика направлена противоположно оси ОY; Dy( y) — проекция вектора

смещения на ось ОY на левой грани кубика, т.е. в точке с координатой у ; а dS1 — площадь левой грани кубика, причем dS1 = dxdz.

º

Аналогично поток вектора D через правую грань кубика dΦ2 = Dy ºj dºS 2 = Dy( y + d y) dS2 ,

где dS2 — площадь правой грани кубика, причем dS2 = dxdz. Проек-

ция вектора смещения на ось ОY на правой грани кубика, т.е. в точке с координатой y + d y ,

Суммарный поток вектора смещения через левую и правую грани кубика

Таким же образом можно получить суммарный поток вектора смещения через верхнюю и нижнюю грани кубика

а также через переднюю и заднюю грани:

239

Полный поток через всю гауссову поверхность получим, сложив выражения (17.19) — (17.21):

Полученное соотношение представляет собой элементарный поток электрического смещения (выражение, стоящее в левой части формулы (17.18)). Выражение для правой части этой формулы можно найти, использовав понятие объемной плотности заряда. Элементарный свободный заряд, охваченный гауссовой поверхностью, равен произведению объемной плотности заряда и объема кубика:

Приравняв теперь выражения (17.22) и (17.23), получим:

Левая часть последнего выражения в векторной алгебре называется

º

дивергенцией вектора D :

Это соотношение называется теоремой Гаусса в дифференциальной форме. Решение дифференциальных уравнений всегда гораздо проще, чем решение интегральных уравнений, а поэтому в системах со сложным распределением зарядов (когда их объемная плотность различна в разных точках пространства) решение уравнения (17.24) позволяет найти функцию D (x, y, z) значительно легче.

Для однородной и изотропной среды выражение (17.24) можно преобразовать для нахождения напряженности электрического поля:

240