![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •3. Аналитическая геометрия
- •3.1. Прямая на плоскости
- •3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
- •Решение.Решим систему уравнений:
- •3.3. Плоскость в пространстве
- •3.4. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости
- •3.5. Уравнения прямой в пространстве
- •3.6. Взаимное расположение в пространстве двух прямых, прямой и плоскости
- •3.7. Кривые второго порядка. Окружность
- •3.8. Эллипс
- •3.9. Гипербола
- •3.10. Парабола
- •3.11. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка
- •3.12. Поверхности второго порядка. Сфера*
- •3.13. Цилиндрические поверхности*
- •3.14. Конические поверхности*
- •3.15. Эллипсоиды*
- •3.16. Гиперболоиды*
- •3.17. Параболоиды*
- •3.18. Поверхности вращения*
- •3. Аналитическая геометрия 34
3.17. Параболоиды*
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой декартовой системе координат уравнением:
,
(3.37)
где р и q одного знака.
Пусть
,
,
тогдаz
0, причемz
= 0 при х
= 0 и у
= 0. Следовательно, с плоскостью 0ху
эта поверхность
имеет единственную общую точку 0(0, 0, 0).
Рассмотрим сечение параболоида плоскостью
z
= h,
(эта плоскость параллельна плоскости
0ху):
Видим,
что сечение – эллипс с полуосями
.
Сечения с плоскостями 0ху
и 0уz
являются параболами:
причем
0z
является их
общей осью (рис. 3.39). Oсь
0z
является осью параболоида (3.37). Если
,
,
то параболоид будет располагаться ниже
плоскости 0ху.
Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой имеет вид:
,
(3.38)
где р и q одинакового знака.
Пусть
,
.
Рассмотрим сечения этой поверхности
плоскостями 0xz
и 0yz,
получим, соответственно, параболы
,
причем ветви первой направлены вверх,
а ветви второй – вниз (рис. 3.40). С плоскостью
0ху
параболоид имеет сечение
,
что равносильно двум системам:
(3.39)
Системы (3.39) задают в плоскости 0ху две прямые, проходящие через начало координат.
Пусть
плоскость
параллельна 0ху
и удалена от нее
на h
(
),
тогда в пересечении с параболоидом
(3.38) получится гипербола
(3.40)
При
гипербола (3.40) имеет действительную
полуось
,
мнимую полуось
(рис. 3.40,L3).
При
гипербола (3.40) имеет действительную
полуось
,
а мнимую –
(рис. 3.40,L4).
3.18. Поверхности вращения*
Пусть линия L лежит в плоскости 0ху и задается в пространстве системой
Рассмотрим поверхность, образованную вращением линии L вокруг оси 0у (рис. 3.41), и выведем уравнение этой поверхности.
ПустьМ(х,
у,
z)
– произвольная точка этой поверхности.
Проведем через М
плоскость, перпендикулярную 0у,
получим в сечении окружность с радиусом
AM.
М0(х0, у0, z0 ) – точка пересечения этой окружности с линией L, поэтому
AM = AM0 = x0, z0 = 0, y0 = y и F(x0, y0) = 0. (3.41)
Из
имеем:
отсюда
.Учитывая,
что у0
= у,
из равенств
(3.41) получаем:
,
(3.42)
т.е. координаты любой точки поверхности вращения удовлетворяют уравнению (3.42). Следовательно, это уравнение является уравнением данной поверхности вращения.
Если линия L лежит в плоскости 0уz и определяется системой
то
поверхность, образованная вращением L
вокруг оси 0z,
задается уравнением:
.
ЕслиL
вращается вокруг оси 0у,
то поверхность вращения будет иметь
уравнение:
.
Аналогично в случае, когдаL
вращается вокруг оси 0x.
Пример
3.11. Найти
уравнение и определить вид поверхности,
образованной вращением эллипса
вокруг оси 0у.
Решение.
Заменяя в уравнении
x2
на x2
+ z2,
получим уравнение эллипсоида:
называемого эллипсоидом вращения.
Пример
3.12. Парабола
,
лежащая в плоскостиу
= 0 вращается вокруг оси 0z.
Определить вид получаемой поверхности
и записать ее уравнение.
Решение.
Заменим х2
в уравнении z
= х2
на х2
+ у2,
получаем уравнение эллиптического
параболоида:
,
называемого параболоидом вращении.
Пример
3.13. Какие
поверхности образует гипербола
(3.43)
при вращении вокруг осей 0у и 0z?
Решение.
При вращении гиперболы (3.43) вокруг оси
0у
получаем:
– двуполостный гиперболоид (рис. 3.42), а
при вращении ее вокруг оси 0z
получаем однополостный гиперболоид
(рис. 3.43).