- •3. Аналитическая геометрия
- •3.1. Прямая на плоскости
- •3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
- •Решение.Решим систему уравнений:
- •3.3. Плоскость в пространстве
- •3.4. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости
- •3.5. Уравнения прямой в пространстве
- •3.6. Взаимное расположение в пространстве двух прямых, прямой и плоскости
- •3.7. Кривые второго порядка. Окружность
- •3.8. Эллипс
- •3.9. Гипербола
- •3.10. Парабола
- •3.11. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка
- •3.12. Поверхности второго порядка. Сфера*
- •3.13. Цилиндрические поверхности*
- •3.14. Конические поверхности*
- •3.15. Эллипсоиды*
- •3.16. Гиперболоиды*
- •3.17. Параболоиды*
- •3.18. Поверхности вращения*
- •3. Аналитическая геометрия 34
3.4. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости
Пусть плоскости изаданы общими уравнениями:
, ,
–нормальные векторы этих плоскостей соответственно.
Плоскости ипараллельны или совпадают тогда и только тогда, когда векторыколлинеарны. Записывая условие коллинеарности векторов (2.6), получаем: еслито плоскости параллельны; еслито плоскости совпадают.
Если же координаты векторов не пропорциональны, то плоскости пересекаются по некоторой прямойl. Очевидно, что
.
Отсюда получаем условие перпендикулярности плоскостей
.
Как и для двух прямых на плоскости можно вывести следующую формулу:
,
где – один из смежных двугранных углов между плоскостями. Расстояние d от точки М0(х0, у0, z0) до плоскости вычисляется по формуле:
Пример 3.5. Составить уравнение плоскости , проходящей через точкуM1(–1, 2, 5) параллельно плоскости :.
Решение. Нормальный вектор ={2, –3, 0} плоскостиявляется также нормальным вектором плоскости. Используя равенство (3.11) получаем:
– уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, найдем– общее уравнение плоскости.
3.5. Уравнения прямой в пространстве
Прямую линию в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Рассмотрим систему двух уравнений:
. (3.14)
Каждое из уравнений определяет в пространстве плоскость. Если коэффициенты при переменных x, у, z не пропорциональны, то эти плоскости пересекаются по некоторой прямой l. Координаты любой точки удовлетворяют системе (З.14) тогда и только тогда, когда точка лежит на прямой l. Поэтому уравнения (3.14) являются уравнениями прямой l и называются общими уравнениями прямой.
Итак, прямая в пространстве задается двумя линейными уравнениями.
Выведем другие виды уравнений прямой в пространстве.
Пусть задана точка М1(х1, у1, z1), лежащая на прямой l и ее направляющий вектор . ПустьM(x, y, z) произвольная точка прямой l, тогда векторы иколлинеарны и по формуле (2.6) получаем:
(3.15)
– канонические уравненияпрямойl(уравнения прямой по точке и направляющему вектору). Из канонических уравнений, введя параметрt(коэффициент пропорциональности), который может принимать любые действительные значения:
получаем параметрические уравнения прямой l:
При изменении параметра t координаты точки М(х, у, z) изменяются и она перемещается по прямой l.
Заметим, что для прямой на плоскости можно вывести аналогичные параметрические уравнения:
Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки (уравнения прямой по двум точкам) М1(х1, у1, z1) и М2(х2, у2, z2), предлагается вывести самостоятельно, они имеет вид:
Рассмотрим переход от общих уравнений прямой к параметрическим.
Пусть прямая l задана уравнениями (3.14), т.е. является линией пересечения плоскостей и, которые имеют нормальные векторы:
= {A1, B1, C1} и = {A2, B2, C2}
(рис. 3.14). Запишем канонические уравнения прямой l. Для этого из системы (3.14) найдем одно решение (х1, у1, z1) – координаты точки М1(х1, у1, z1), лежащей на l (система (3.14) имеет бесконечное множество решений). Поскольку
,
поэтому вектор параллелен прямойl, следовательно, – направляющий векторl. Координаты вектора найдем по формуле (2.10), вычислив векторное произведение:
Подставив найденные числа в уравнения (3.15), получим канонические уравнения прямой l.
Пример 3.6. Прямая l является пересечением плоскостей:
: 2х – у + z – 4 = 0 и :х + у – 2z – 1 = 0.
Найти канонические уравнения прямой l.
Решение. 1) Решим систему уравнений:
получим тройку чисел (–1, 2, 0) – точку пересечения прямой l с координатой плоскостью 0ху.
2) Найдем направляющий вектор прямой l:
Подставляя полученные данные в уравнения (3.15), находим:
канонические уравнения прямой l.