nahman
.pdf
Вычисляя с точностью до двух знаков после запятой, получаем
C1 ≈ 0,16;
C2 ≈ −31,94.
Окончательно:
у(t) ≈e−t (0,16cos3t −31,94sin3t)−0,16cos3t +0,03sin3t –
искомое отклонение в любой момент времени t.
Ответ: у(t) ≈e−t (0,16cos3t −31,94sin3t)−0,16cos3t +0,03sin3t .
Задача 14. Пусть движение материальной точки на плоскости описывается системой дифференци-
альных уравнений |
x′ = 4x− y; |
Здесь t – время; x(t), y(t) – координаты точки в момент t; |
′ |
′ |
– ско- |
|
x (t); y (t) |
||||
|
y′ = 5x + 2y. |
|
|
|
|
рость точки в момент t. Найти неизвестные функции x(t) и y(t). Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение
4−λ −1 = 0,
52−λ
(4−λ)(2−λ)+5 = 0 ,
или |
λ2 −6λ +13= 0 , |
|
|
|
откуда |
λ1,2 = 3±2i; a = 3, |
b = 2. |
|
|
Следовательно: |
|
|
|
|
|
y |
= e3t cos2t; y |
2 |
= e3t sin2t; |
|
1 |
|
|
|
y = e3t (C1 cos2t +C2 sin2t) .
Далее из второго уравнения системы
x = 15 (y′−2y).
Поскольку
|
|
|
y′ = 3e3t (C1 cos2t +C2 sin2t)+e3t (−2C1sin2t + 2C2 cos2t), |
|||||||
то |
y′ = e3t ((3C1 +2C2)cos2t +(3C2 −2C1)sin2t). |
|
|
|
||||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
1 |
(e3t ((3C +2C |
2 |
)cos2t +(3C |
2 |
−2C )sin2t)−2e3t (C cos2t +C |
2 |
sin2t)) , |
|
|
|
|||||||||
|
|
5 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или
x = 15e3t ((C1 +2C2)cos2t +(C2 −2C1)sin2t).
x = |
1 |
e3t ((C |
+ 2C |
)cos2t + (C |
2 |
− 2C )sin2t); |
|||
|
|||||||||
|
5 |
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = e3t (C |
cos2t +C |
2 |
sin2t). |
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
Задача 15. Найти три первых отличных от нуля члена разложения по формуле Маклорена решения y = y(x) задачи Коши
y′ =1+ e−y + xy;
y(0) = 0.
Решение. Разложение по формуле Маклорена всякой (дифференцируемой n + 1 раз в точке x0 и ее окрестности) функции имеет вид
y(x) = y(0)+ y′1(!0) x+ y′′2(!0) x2 + y′′3′(!0) x3 +...+ y(nn)!(0) xn + Rn(x,0).
Поэтому достаточно найти лишь его коэффициенты y(0), y′(0), y′′(0), y′′′(0) , … Значение у(0) = 0 – дано, зависимость y′ от х и у известна. Следовательно,
y′(0) =1+ e−y(0) + 0 y(0) =1+ e0 = 2.
Далее
y′′ = (1+ e−y + xy)′ = −e−y y′+ y + xy′
(использована формула дифференцирования сложной функции). Подставляя х = 0, у(0) = 0, y′(0) = 2, получаем y′′(0) = −2. Осталось найти еще один ненулевой коэффициент. Имеем:
y′′′ = e−y (y′)2 −e−y y′′+2y′+ xy′′
и
y′′(0) = e0 22 −e0(−2)+2 2+0 =10.
Подставляя найденные значения в формулу Маклорена, получаем следующий ответ: y(x) = 2x− x2 + 53 x3 +... .
Задача 16. Найти приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
y′ = cosxy+ y/5;y(0) =1
в точке x1 = 0,5 с помощью метода Эйлера. Использовать разбиение отрезка [x0; x1] на n1 = 5 и n2 =10
равных частей. Получить уточненное решение с помощью формулы Рунге (вычисления проводить с точностью до 0,001).
|
Решение. |
Проводим расчет, разбивая отрезок на 5 частей. Так как x0 = 0, xk = 0,5, n = 5, то |
|||
h = |
xk − x0 |
= |
0,5−0 |
= 0,1. Из условия задачи y0 =1, f (x, y) = cosxy+ y/5. Находим значения приближенного |
|
n |
|
||||
|
|
|
5 |
|
|
решения в узлах:
yi+1 = yi |
+h(cosxi yi |
+ yi /5) . |
|
|||
Последовательно выполняя вычисления, получаем y5(xk ) =1,595. |
|
|||||
Аналогично, разбивая отрезок на 10 частей |
|
0,5−0 |
|
, имеем y10 |
(xk ) =1,592 . |
|
h = |
|
= 0,05 |
||||
10 |
||||||
|
|
|
|
|
||
Найдем уточненное значение решения, используя формулу Рунге:
Y*(xk ) = 2y10(xk )− y5(xk ) = 2 1,592−1,595 =1,589.
Ответ: y(0,5) ≈1,589 .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Бермант А.Ф., Арамонович И.Г. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1967. 736 с. 2 Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 1969.
640с.
3 Нахман А.Д. Дифференциальные уравнения. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 1999. 96 с.
4 |
Пискунов |
Н.С. |
Дифференциальное |
и |
интегральное |
исчисления. |
Т. 1, 2. М.: Наука, 1978. Т. 1: |
456 с., Т. 2: 576 с. |
|
|
|
||
5 |
Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1979. 129 с. |
|||||
6 |
Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 304 с. |
|||||