1

www.dismatem.ru – типовые расчеты по дискретной математике www.nstu.ucoz.ru – помощь студентам НГТУ

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	Итого
2	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+									215 р.

Задание 1.

Докажите тождества, используя только определения операций над множествами.

1)

или или (и)

или ) и или ) и

2)

или

или или

Задание 2.

Докажите утверждение.

+ =

Пусть |A|=, |B|=, то есть

A={}

B={}

Остается доказать, что |B+A|=.

Представим множество A+B следующим образом: в результирующем множестве сначала будет идти элемент из A, затем из B, затем опять из A и т.д., то есть

A+B={} – счетное, бесконечное множество, то есть |A+B|=

Поэтому + =.

Задание 3.

Докажите методом математической индукции, что кратно 6 для всех .

Найдем базис индукции:

n=0

– кратно 6

Предположим, что кратно 6 для некоторого n.

Докажем, что также кратно 6.

– кратно 6 по предположению

– кратно 6 (так как произведение четного и нечетного числа есть число четное, то - четное, значит, целое)

Значит, так как справедливость утверждения доказана для n+1, то верно утверждение, что кратно 6 для всех .

Задание 4.

A={a,b,c}, B={1,2,3,4}, Изобразите , графически. Найдите []. Проверьте с помощью матрицы [], является ли отношение рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным?

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

[]= []=

[]=

1) – по диагонали нет нулей – рефлексивно.

2) – поэтому – симметрично.

3) – неантисимметрично.

4)

////=отношение – транзитивно.

Задание 5.

Найдите область определения, область значений отношения P. Является ли отношение P рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным?

Область определения:

Область значений:

1) : P – нерефлексивно.

2) Пусть P – симметрично.

3) Так как но поэтому P – неантисимметрично.

4) Так как но, при этом, поэтому P – нетранзитивно.

Задание 6.

Является ли алгеброй следующий набор B=?

Число , число , но то есть операция сложения не замкнута на множестве набор не является алгеброй.

Задание 7.

Постройте подсистему B(X), если B=<Z;+, , X={–5}

–5+(–5)+( –5)+…= –5n,

,

(-5)(-5)+(-5)+(-5)+ (-5)+(-5)+ (-5)(-5)+…=5n,

(-5)(-5)+(-5)+(-5)+ (-5)+(-5)+ (-5)=0

B(X)=

Задание 8.

Используя многомодульную арифметику с вектором оснований , вычислить , , , . Каков знак числа ?

, , ,

(32 (mod 3) + 74 (mod 3))(mod 3) = (2 + 2)(mod 3) = 1

(32 (mod 7) + 74 (mod 7))(mod 7) = (4 + 4)(mod 7) = 1

(32 (mod 11) + 74 (mod 11))(mod 11) = (10 + 8)(mod 11) = 7

(32 (mod 2) + 74 (mod 2))(mod 2) = (0 + 0)(mod 2) = 0

(32 (mod 3) – 74 (mod 3))(mod 3) = (2 – 2)(mod 3) = 0

(32 (mod 7) – 74 (mod 7))(mod 7) = (4 – 4)(mod 7) = 0

(32 (mod 11) – 74 (mod 11))(mod 11) = (10 – 8)(mod 11) = 2

(32 (mod 2) – 74 (mod 2))(mod 2) = (0 – 0)(mod 2) = 0

(32) (mod 3) = 0

(32) (mod 7) = 5

(32) (mod 11) = 8

(32) (mod 2) = 0

(mod 3) = 2 (mod 3) = 2

(mod 7) = 5 (mod 7) = 5

(mod 11) = 2 (mod 11) = 2

(mod 2) = 1 (mod 2) = 1

(mod 3) (mod 3))(mod 3) = ((1)(mod 3) –

– 1)(mod 3))(mod 3) = (2 – 2)(mod 3) = 0

(mod 7) (mod 7))(mod 7) = ((6)(mod 7) –

– 3)(mod 7))(mod 7) = (5 – 1)(mod 7) = 4

(mod 11) (mod 11))(mod 11) = ((6)(mod 11) –

– 7)(mod 11))(mod 11) = (1 – 2)(mod 11) = 10

(mod 2) (mod 2))(mod 2) = ((1)(mod 2) –

– 1)(mod 2))(mod 2) = (0 – 1)(mod 2) = 1

Определим знак числа

Очевидно, что 2

[0, 3, 10, 1] или [3, 10, 1]

Вектор оснований сокращаем до = [7, 11, 2]

Для вычисления вычислим

[3, 9, 1]

Умножим на этот элемент, в результате получим [2, 2, 1]

Таким образом, 2

Вычитая из последнего выражения, получаем [0, 0, 1] или [0, 1]

Вектор оснований = [11, 2]

Вычисляем

[8, 1]

Умножаем на полученный элемент, в результате получаем [0, 1]

Поэтому 0

[0, 1] или [1] для вектора оснований = [2]

Находим

[1]

При умножении на получаем [1]

Отсюда следует, что 1

Поэтому число x – отрицательное.

Задание 9.

Даны графы и . Найдите , , , . Для графа найдите матрицы смежности, инцидентности, сильных компонент, маршрутов длины 2 и все маршруты длины 2, исходящие из вершины 1.

Для графа :

Матрица смежности A=

– матрица инцидентности

B=E+A+=

– матрица сильных компонент.

– матрица маршрутов длины 2.

Маршруты длины 2, исходящие из вершины 1:

(1;1;1), (1;3;1), (1;1;2), (1;2;2), (1;3;2), (1;1;3), (1;2;3), (1;2;4), (1;3;4)

Задание 10.

Найдите матрицы фундаментальных циклов, фундаментальных разрезов, радиус и диаметр, минимальное множество покрывающих цепей графа G. Является ли изображенный граф эйлеровым? Является ли изображенный граф планарным?

Для получения остова удалим из графа 12–8+1=5 ребер.

Матрица фундаментальных циклов:

C=

Матрица фундаментальных разрезов:

K=

Диаметр d(G)=4

Радиус r(G)=2

Минимальное количество покрывающих цепей графа – 2.

8,1,2,8,3,5,6,7,2

7,3,6,4,5

Граф не является эйлеровым, так как степени не всех его вершин четные.

Граф планарный.