Контрольная -97 -2003

Контрольная работа

1) Твердое тело начинает вращаться вокруг оси с угловой скоростью, проекция которой изменяется во времени, как показано на графике. На какой угол (рад) относительно начального положения окажется повернутым тело через 10 секунд после начала движения?

Дано

t=10c

ω_z(10)=4 рад/c

t=0

ω_z(0)=ω₀=0

Найти φ -?

Решение

Угол поворота при вращательном движении твердого тела определяется законом движения в виде:

где ε – угловое ускорение

ω₀ -начальная угловая скорость

Угловое ускорение определим из закона изменения угловой скорости

откуда

Тогда справедливо выражение:

Если учесть, что ω₀=0, то последнее выражение можно переписать в виде

Для момента времени t=10c угол поворота равен

2) В известном аттракционе “автомобиль на вертикальной стене” автомобиль движется по внутренней поверхности цилиндра в горизонтальной плоскости. Каков должен быть коэффициент трения между шинами и поверхностью цилиндра R = 5 м, чтобы автомобиль не сползал вниз при скорости v = 72 км/ч?

Дано

R=5м

υ=72км/ч=20м/c

Найти μ -?

Решение

Рассмотрим условия движения автомобиля по внутренней поверхности цилиндра в горизонтальной плоскости

На автомобиль при движении по внутренней поверхности цилиндра действуют пять сил: сила тяжести mg - направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции внутренней поверхности стенки цилиндра на колеса автомобиля N - направленная перпендикулярно к внутренней поверхности цилиндра, сила тяги автомобиля F, и сила трения возникающая между шинами автомобиля и внутренней стенкой цилиндра направленная по касательной к траектории f и сила трения скольжения удерживающая автомобиль от вертикального скольжения по внутренней поверхности цилиндра F_тр

Сила трения, возникающая между шинами автомобиля, и внутренней стенкой цилиндра направленная по касательной к траектории f и сила тяги автомобиля F взаимно уравновешивают друг друга, поэтому мы их рассматривать не будем

Сила трения, действующая по нормали к трущимся поверхностям колес и стенки, является суммарной силой трения, определяемой силой реакции N внутренней стенки цилиндра на колеса автомобиля

Согласно второму закону Ньютона можно записать

где m – масса автомобиля

Перепишем выражение (3) в скалярной форме (в проекциях на радиус)

Если учесть, что нормальное ускорение

где R – радиус окружности, по которой движется автомобиль

то последнее выражение можно переписать в виде

Подставляя это выражение для N в (2) а затем выражение силы трения по (2) в формулу (1) и сократив на массу получим

откуда

Вычисления дают

3) Автомобиль массой 2 т прошел по горизонтальной дороге при аварийном торможении путь 50 м. Найти работу силы трения и начальную скорость автомобиля, если коэффициент трения равен 0,4.

Дано:

m=2т=2000кг

s=50м

μ=0,4

Найти A-?

υ₀-?

Решение

Работа силы трения определяется по формуле

работа силы трения отрицательна (силы трения образуют с вектором перемещения угол 180⁰)

Силу трения F_тр можно найти из следующих соображений

Рассмотрим силы действующие на автомобиль на горизонтальной дороги, при аварийном торможении. На автомобиль действуют три силы: сила тяжести mg, сила реакции N сила трения F_тр

Запишем основное уравнение динамики поступательного движения (второй закон Ньютона):

где a – ускорение с котором движется автомобиль

Так как все силы, лежат в одной плоскости, выберем прямоугольную систему координат xoy как показано на рисунке

Запишем уравнение динамики в проекциях на координатные оси

Дополним данную систему уравнений – уравнением

Решая совместно уравнения (2) и (3) получим, выражение для силы трения

Подставляя в равенство (1) выражение силы трения по формуле(4), получим

Вычисления дают

Неизвестную величину начальной скорости υ₀ найдем, воспользовавшись теоремой об изменении кинетической энергии

В конечный момент времени автомобиль остановился, следовательно, его скорость равна нулю υ=0 и последнее выражение можно, переписать в виде

Принимая во – внимание (5) последнее выражение приведем к виду

откуда

Вычисления дают

Два груза массами m₁ = 100 г и m₂ = 200 г связаны нитью, перекинутой через блок массой m=100 г, установленный на наклонной плоскости (см. Рис.). Угол наклона плоскости к горизонту равен 30°. Коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью равен 0,2. Определить ускорение грузов.

Дано:

m₁=100г=0,1кг

m₂=200г=0,2кг

μ=0.2 коэффициент трения груза о плоскость

α=30⁰-угол наклона

m=100г=0,1кг

Найти a -?

Решение

Когда рассматривается движение системы связанных тел то второй закон Ньютона можно записать для каждого тела, в отдельности заменяя действие другого тела силой натяжения нити. Рассмотрим силы, действующие на первое тело

На тело при движении вверх по наклонной плоскости действуют четыре силы:

Сила тяжести m₁g направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры плоскости N перпендикулярная к плоскости, сила трения F_тр , направленная против движения тела , и сила натяжения нити T₁ направленная вдоль нити параллельно длине наклонной плоскости.

Запишем второй закон Ньютона для первого тела в векторной форме

Так как все силы, лежат в одной плоскости, выберем прямоугольную систему координат xoy как показано на рисунке

Запишем уравнение динамики в проекциях на координатные оси

Дополним данную систему уравнений – уравнением

Решая совместно данную систему уравнений, получим уравнение движения первого тела

Рассмотрим силы, действующие на второе тело. На второе тело при его движении вертикально вниз действуют две силы: сила тяжести m₂g направленная вертикально вниз и сила натяжения нити T₂ направленная вдоль нити

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для второго тела

Направим ось Oy вертикально вниз и спроектируем на нее все силы, действующие на груз индекс «игрек» у проекций сил опустим, так как величина проекций и сами силы совпадают. Направление сил учтем знаком «плюс» или «минус»

Напишем уравнение движения второго тела

Согласно основному закону динамики вращательного движения вращающий момент M приложенный к диску, равен произведению момента инерции диска I на его угловое ускорение ε

Определим вращающий момент. Силы натяжения нитей действуют не только на грузы, но и на диск. По третьему закону Ньютона силы T'₁ и T'₂ приложены к ободу диска, равны соответственно силам T₁ и T₂, но по направлению им противоположны

При движении грузов диск ускоренно вращается по часовой стрелке, следовательно,

Вращающий момент, приложенный к диску, равен произведению разности этих сил на плечо равное радиусу диска

Момент инерции диска относительно его геометрической оси равен

Угловое ускорение связано с линейным ускорением грузов соотношением

Подставим в формулу (5) выражения для M,I,ε получим

откуда

Так как T′₁=T₁ и T′₂=T₂, то можно заменить силы T'₁ T'₂ выражениями из формул (3) и (4)

тогда

откуда

Подстановка числовых данных задачи, приводит к следующему результату

5) Сплошной однородный цилиндр радиусом r = 10 см и массой m =2 кг скатывается без проскальзывания с высоты 1 м вдоль наклонной плоскости. Определите момент импульса цилиндра относительно оси вращения у основания наклонной плоскости.

Дано

r = 10 см=0,1м

m =2 кг

Н=1м

Найти L-?

Момент импульса цилиндра относительно оси вращения у основания наклонной плоскости выражается формулой

где I – момент инерции однородного цилиндра относительно оси, проходящей через его центр тяжести равный

ω₂ – угловая скорость вращения цилиндра у основания наклонной плоскости, равная

С учетом равенств (2) и (3) равенство (1) примет вид

Кинетическая энергия диска, складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения

С учетом равенств (2) и (3), последнее выражение примет вид

По закону сохранения механической энергии

откуда

Подставляя это выражения для скорости в равенство (4) получим

Вычисления дают

Однородный сплошной цилиндр радиусом r=0.4м и массой m=2кг может вращаться вокруг горизонтальной оси (точка О). Его отклонили из положения равновесия на угол 90 градусов и отпустили. Определить постоянный момент силы трения, который ось прикладывает к цилиндру, если при прохождении положения равновесия угловая скорость цилиндра ω=5 рад/с.

Дано

r=0.4м

m=2кг

ω₂=5 рад/с.

φ=90⁰=1, 57(рад)

Решение

Согласно основному закону динамики вращательного движения вращающий момент M приложенный к диску, равен произведению момента инерции диска I на его угловое ускорение ε

Момент инерции диска относительно его геометрической оси равен

Угловое ускорение маховика связано с начальной ω₀ и конечной ω угловыми скоростями соотношением

откуда

C учетом равенств (2) и (3) равенство (1) примет вид

Вычисления дают

8