23. Теорема про існування неперервної оберненої функції

Означення. Функція називаєтьсястрого монотонно зростаючою (спадною) на множині X, якщо для будь-яких з X().

Теорема. Якщо функція ,строго монотонно зростає (спадає) і неперервна, то існує однозначна неперервна строго монотонно зростаюча (спадна) обернена до неї функція,.

Доведення

Випливає з того, що функція встановлює між відрізками[a;b] і [c;d] взаємно однозначну відповідність і для всіх буде(якщо функція зростає).

Аналогічно для строго монотонно спадної функції.

24. Рівномірна неперервність. Формулювання теореми Кантора

Означення. Функція називається рівномірно неперервною, якщо одне для x, x₀ X і таке, що при .

Приклад: рівномірно неперервна на.

, оскільки  , то.

Щоб , потрібно, тобто, таким чином,.

Теорема Кантора. Якщо функція визначена і неперервна на відрізку, то вона рівномірно неперервна на цьому відрізку.

25 Похідна та її геометричний зміст

Означення. Якщо функція вй існує, то вона називаєтьсяпохідною функції в точці х₀ і позначається

Означення. Граничне положення січної М₀Р, коли , рухаючись по кривій, називаєтьсядотичним променем, проведеним до графіка функції в точку М₀.

Якщо дотичні промені праворуч і ліворуч від точки М₀ (тобто спрямовані в різні сторони) лежать на одній і тій самій прямій, то вона називається дотичною. А пряма, що проходить через точку М₀ і перпендикулярна до дотичної, називається нормаллю.

Геометричний зміст похідної полягає в тому, що похідна, обчислена в точці дотику, дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної. Тоді

рівняння дотичної: ,

рівняння нормалі: .

26. Диференціал функції

Нехай , тоді, де,;

, а − головна частина приросту функції в точці М₀.

Означення. Якщо рівність привиконується, то функціяназиваютьдиференційованою в точці х₀, а головна частина приросту функції, лінійна щодо приросту аргументу, називається диференціалом функції:

.

Зауваження. Якщо, то за визначенням, з іншого боку,, отжеі,.

.

Таким чином, алгебраїчна величина відрізка KN - диференціал функції.

Теорема. Якщо функція диференційована в М₀ , то вона й неперервна в цій точці.

Доведення

Т.як

Оскільки малому приросту аргументу відповідає малий приріст функції, то функція неперервна.

Зауваження. Якщо функція неперервна в точці, то вона може бути й недиференційованою в цій точці.

Наприклад:, тому що,.

Зауваження. , тобто приріст відрізняється від диференціала на н.м.ф. при

Тоді або.

Лекція 7

27. Односторонні похідні. Нескінченні похідні

Це питання розглянемо на прикладах.

1),, тому що, то, і оскільки, то , у цьому прикладі односторонні похідні існують, але не рівні між собою.

2) ,,

, таким чином, ,тут похідна не тільки одностороння, але й нескінченна.

3) ,,

, таким чином, не.

Дотичні промені лежать на одній прямій і спрямовані в один бік.

4) ,,

,

28. Правила обчислення похідних

Означення. Функція диференційована на множині Х, якщо вона диференційована в кожній точці цієї множини.

Нехай функції u(x) і v(x) диференційовані на множині Х, а с = const, тоді:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , якщо0 приX.

Доведення:

,

Аналогічно доводяться інші три формули.(Довести самостійно).

29. Таблиця похідних

	,
	,
.

Виведення деяких формул з таблиці

1) ,

, тоді

(з таблиці еквівалентних ~при)

, тоді ;

2) ,

;

(оскільки ~при)

3)

(оскільки ~при).