![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§ 13. Определения Коши и Гейне предела функции, их эквивалентность. Критерий Коши существования предела
- •§ 14. Односторонние пределы
- •§ 15. Арифметические операции над функциями, имеющими предел
- •§ 16. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Первый замечательный предел
- •§ 17. Второй замечательный предел и его следствия
- •§ 18. Определение непрерывности функции. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Точки разрыва функции, их классификация
- •§ 19. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •§ 20. Равномерная непрерывность функций
§ 20. Равномерная непрерывность функций
В определении непрерывности функции
в точке
зависит, вообще говоря, не только от
,
но и от точки, т.е.
Такая ситуация имеет место в случае
произвольной функции
,
т.е. в общем случае. Если же наложить на
функцию
некоторые условия, о которых речь пойдет
дальше, то
и от точки
не зависит. В этом случае мы получаем
равномерно непрерывную на промежутке
функцию.
Определение 1. Функция,
заданная на некотором промежуткеХ,
называетсяравномерно непрерывной
на этом промежутке, если для любого
найдется такое
,
что неравенство
выполняется для любой пары точек
,
удовлетворяющих неравенству
.
Теорема Кантора. Если функциянепрерывна на отрезке
,
то она и равномерно непрерывна на этом
отрезке.
Георг Кантор (1845-1918) – немецкий математик, основатель современной теории множеств.
Доказательство. Предположим
противное, т.е. чтонепрерывна на отрезке
,
но не является на нем равномерно
непрерывной. Это значит, что существует
такое, что при любом
можно подобрать пару точек
,
таких, что
и
.
Возьмем последовательность значений
,
сходящуюся к нулю:
.
Для
найдутся такие точки
,
что
,
но
.
Для
найдутся такие точки
,
что
,
но
.
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
Для
найдутся такие точки
,
что
,
но
.
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
В результате из отрезка
выделятся две ограниченные последовательности
,
(20.1)
.
(20.2)
Из последовательности (20.1) по теореме
Больцано-Вейерштрасса можно выделить
сходящуюся подпоследовательность.
Чтобы не вводить новых обозначений,
будем считать, что уже сама последовательность
(20.1) сходится к некоторой точке
.
Покажем, что тогда последовательность
(20.2) тоже сходится к
.
Действительно, поскольку
,имеем
при
.
По условию
непрерывна в точке
.
Следовательно,
,
поэтому
,
а это противоречит тому, что
>0
для всех значенийn.
Полученное противоречие доказывает
теорему.
Установим теперь факт, который будет нам нужен в интегральном исчислении.
Определение 2. Если функцияопределена и ограничена на отрезке
,
то разность между ее точными границами
на этом отрезке называетсяколебанием
функции на
,
т.е. колебание
,
где
,
.
Следствие из теоремы Кантора. Если
функцияопределена и непрерывна на отрезке
,
то по заданному
можно разбить этот отрезок на конечное
число частей так, что на каждой из частей
колебание функции не будет превышать
.
Доказательство. По теореме Кантора
функцияравномерно непрерывна на
.
Поэтому по заданному
найдется
такое, что для любых точек
,
удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Если отрезок
разбить на такие части, чтобы длина
каждой из них была меньше
,
то на каждой из отдельно взятых частей
разность значений функции в любых двух
точках по абсолютной величине будет
меньше
.
В частности, это справедливо и для
разности между наибольшим и наименьшим
значениями функции на каждой из частей,
которая и составляет колебание непрерывной
функции на этой части. Следствие доказано.